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专题 02 勾股定理（考点清单，5 考点梳理+6 题型解读）
清单 01 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，
那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
清单 02 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定
理.
清单 03 勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．要点归纳：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆 时，此关系只有当 是斜边时才成立．
若 是斜边，则关系式是 ；若 是斜边，则关系式是 ．
2．直角三角形斜边上的高
①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
②根据直角三角形的面积不变，即 ，求出h．
要点归纳：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样
就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
（3）理解勾股定理的一些变式： ， ， .
3.勾股数
x2 y2 z2
满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
x、y、z
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
a、b、c t at、bt、ct
如果( )是勾股数，当 为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形
清单 0 4 勾股定理的逆定理
1．勾股定理逆定理如果三角形的三边长分别为 ，且 ，那么这个三角形是直角三角形．
要点归纳：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足 时， 是斜边， 是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方
及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．
2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解
决问题．
要点归纳：
要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大
的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2
验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若 ，
则△ABC不是直角三角形.
要点归纳：
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为三角形
的最大边.
【考点题型一】勾股定理的相关计算（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各数中，能与 组成一组勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴ 不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵ ，
∴ 不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵ ，
∴ 不是一组勾股数，该选项不合题意；
、∵ ，
∴ 是一组勾股数，该选项符合题意；
故选： ．
【例1-2】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，蚂蚁在圆柱侧
面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注： 取3）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两
点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【详解】在侧面展开图中，
的长等于底面圆周长的一半，即 ，
∵
根据勾股定理得： ，
∴从点A爬到点B的最短路径长 ，
故选：B．【例1-3】（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国
古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正
方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思
想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，斜边长为 ，根据小正方形的面积
为可解得 ，则大正方形的面积为 ，即可求解．
【详解】解：设直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，斜边长为 ，如下图，
则 ， ，
又∵小正方形的面积为 ，
∴可解得 或 （舍去），
∴ ，
∴大正方形的面积 ．
故选：C．
【例1-4】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以 的三边为边长向外侧作正方形，面积
分别记为 ， ， ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得 再由
正方形面积公式得 ，求出 ，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解： 是以 为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为 ，
故选：A．
【例1-5】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在 中， ， 的平分线交 于点
D，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)过点D作 ，垂足为E，求 的长．
【答案】(1)8
(2)3【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质：
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质结合等积法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
（2）∵ 的平分线交 于点D， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ．
【变式1-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而
成．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，
则 的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为 （不妨令 ），斜边为 ，由勾股定
理得到 ，再由正方形面积公式表示出 ， ， ，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化
简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为 （不妨令 ），斜边为 ，则由勾股定理可得
，
， ， ，
，
，即 ，解得 ，
的值是 ，
故选：B．
【变式1-2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲
行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙
二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，
后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意
下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三
角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得 、
、 ，然后根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了 步，乙向东走了 步，
即： ， ， ，
根据题意可得： ，即 ，
故选A．
【变式1-3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，两个阴影部分都是正方形，它们的面积分别为 ，
，则边长 的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，正方形的面积为边长的平方，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8 ．
【变式1-4】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是 ，这个实数的小
数部分为 ．【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案，
解题时注意点A在数轴的负半轴上．
【详解】解：根据题意得：半径为 ，
∴ ，
∴点A表示的实数是 ；
这个实数的小数部分为 ．
故答案为： ；
【变式1-5】（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是
等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面
积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为 ，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰
直角三角形的腰长为 ，即中等正方形的边长为 ，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为 ，即最小
正方形的边长为 ，计算即可得到答案．
【详解】解： 最大的正方形的面积为 ，设最大正方形的边长为 ，
，，
所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为 ，
，
，
中等正方形的边长为 ，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为 ，最小正方形的边长为 ，
图③中所有正方形的面积和为 ，
故答案为： ．
【变式1-6】（23-24八年级下·云南红河·期末）已知直角三角形的两条边长分别为2和5，则第三边边长为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况，①当5为斜边，②5不是斜边时，分别根据勾股定理求出第
三边边长即可．
【详解】解：分两种情况：
①当5为斜边时，第三边边长为 ；
②当5不是斜边时，第三边边长为 ；
综上所述，第三边边长是 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式1-7】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，三角形纸片 ， ，将纸片沿过点C的直
线折叠，使点A落在边 上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交 于点E．若 ，
，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得 是直角三角形，得到 ，
设 ，则 ，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠可得 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1-8】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）作图题．
(1)如图1，在 的方格纸中，线段 的两个端分别落在格点上，请只用直尺在图1中画一条与线段相交的线段 ，要求P、Q两点在格点上，同时满足 且 ．
(2)已知如图2所示，直线 与线段 ，点B在L上，点A在 外，请用直尺和圆规在直线L上找出满足
条件的所有点C（共4个，可表示为 、 ），使得 为等腰三角形．（不写作法，保留作
图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理、尺规作图—作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）根据网格特点结合勾股定理作图即可得解；
（2）以点 为圆心，线段 为半径画弧交直线 于 、 ，则 、 为等腰三角形；以点
为圆心，线段 为半径画弧交直线 于 ，则 为等腰三角形；作线段 的垂直平分线交直线
于 ，则 为等腰三角形．
【详解】（1）解：如图： 即为所求，
，
由勾股定理可得： ，
由网格特点可得： ；
（2）解：如图， 、 即为所求．
【变式1-9】（23-24八年级下·吉林白城·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代
数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着
人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示 的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于 ，在l上取点C，使 ，
以点A为圆心， 为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至C处时，踏板离地的垂直高度
，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳 的长．（作 于D）
【答案】(1)
(2)秋千绳 的长为
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出 ， 的长，掌握直角三角
形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）根据勾股定理求出 ，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为 ，根据题意可得 ，利用勾股定理可得 ，即可得
到结论．【详解】（1）在 中，
，
，
点 表示的数是 ；
（2）设秋千绳索 的长度为 ，
由题意可得 ，
四边形 为矩形， ， ， ， ，
， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 的长度为 ，
答：绳索 的长为 ．
【考点题型二】勾股定理的证明方法（ ）
【例2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问
题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理 ．
(2)如图2，在 中， 是 边上的高， ，求 的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54， ，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)3【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式
表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到 ，根据等面积法列式求解即可得到 ；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
； ； ；
，即 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴由勾股定理可得 ，
是 边上的高，
由等面积法可得 ，
， ，
∴ ；
（3）解：由已知可得： ，即 ，
，
小正方形的边长为 ．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股
定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称
为“无字证明”、“无字证明”可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，体现
了数形结合的思想方法，展现了数学美，下面图形验证的内容是（ ）A．乘法公式 B．勾股定理
C．直角三角形中边和角的关系 D．中位线定理
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的图形验证．利用正方形面积公式和梯形面积公式用两种不同方式表示
图形的面积即可解决问题．
【详解】解：图中五边形的面积为：大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
即： ，
五边形的面积还可以表示为：两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
即： ，
∴
即 ，
∴能利用面积验证勾股定理；
故选：B．
【变式2-2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法
很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对
图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．
如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：如图2，圆柱的高为 ，底面半径为 ，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短
路径是多少厘米？（结果可保留 ）【答案】(1)见解析
(2)从点A爬到点B的最短路径是 厘米
【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案；
（2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明和求最短路径；
【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积，
∴
∴
∴
（2）画出圆柱侧面展开图：
根据底面半径为 ，得出
∵圆柱的高为 ，
∴
∴从点A爬到点B的最短路径是 厘米
【变式2-3】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，
我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行证明．
定理表述
（1）请根据图①中的直角三角形叙述勾股定理．（用文字或符号语言）
尝试证明
（2）以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底， 为高的直角梯形（如图②），请你利
用图②，验证勾股定理．
拓展延伸
（3）利用图中②的直角梯形，我们可以证明 ，请将证明步骤补充完整．∵ ， ______，
在直角梯形 中， ______ （填“＜”或“＞”或“＝”），即______， ，
∴
【答案】（1）解答见解析部分；（2）证明见解析部分；（3）
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质等知识，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）证明 ，推出 是直角三角形．再结合
，可得结论；
（3）根据 ，构建不等式，解决问题即可．
【详解】（1）解：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方，如果直角边为 ，斜边为 ，那
么 ．
（2）证明：在 和 中，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得 ．
（3）解：∵ ，
，
，
又∵在直角梯形 中有 ，即 ，
，
故答案为： ．
【变式2-4】（23-24八年级上·广东河源·期末）如图， 为 上一点， ， ， ，
， 交于点 ，且 ．
(1)判断线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(2)连接 ， ，若设 ， ， ，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，
（1）根据 证明 ，可得答案；
（2）根据 ，可得答案．
【详解】（1）解： ．
理由如下：
如图，
， ，
．
又 ，
．
， ，
．
在 和 中，
，
．
， ．
又 ，
；
（2）证明： ，
，
，
．
【变式2-5】（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形 中 于点O， ， ， ，请直接写出 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据 均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求
出 的值.
【详解】（1）解： ，
另一方面 ，
即 ，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①， ②， ③， ④
可得 ；
可得 ；
即： ，
，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．
【变式2-6】（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，
顶点D在 边上，顶点B、F重合，连接 ．设 交于点G，若 ，
， ， ．请你回答以下问题：
(1)填空： ， ；
(2)请用两种方法计算四边形 的面积，并以此为基础证明勾股定理．
【答案】(1) ，
(2) ， ，证明见解析
【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明
（1）根据全等的性质得到 ，然后利用互余的性质证明即可；
（2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可；
熟知数形结合思想的运用是关键
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
，
，
故答案为：90， ；
（2）方法一
∶
方法二：根据上面的方法可得出
【考点题型三】勾股定理的应用（ ）
【例3-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时
为 当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离 与梯子底端B向外移的距离 相等时， 的长是 ．
【答案】
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实
际问题常用的方法，先根据勾股定理求出 的长，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：
设
解得：
故答案为： ．
【例3-2】（23-24八年级下·河南安阳·期末）学校旗杆上的绳子垂到地面还多3 ，将绳子的下端拉开9
后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ．
【答案】12
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为 ，可得 ， ，由勾股定理得 ，即可求解；能将问题转化为勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：设旗杆的高度为 ，
如图，
，
，
，
，
解得： ，
，
旗杆的高度为 ，
故答案： ．
【例3-3】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为 ，
竖直距离为 ，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得： ，利用勾股定
理即可求出结果．
【详解】解：如图，根据题意得： ，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞 ，
故选：B．
【例3-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1
米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量 米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【答案】大树的高度为 米
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到 ，再由
即为树高，进而得到答案.
【详解】解：由题可得： ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 米.
答：大树的高度为 米.
【例3-5】（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，原
文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一
个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇
拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为 尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为 尺，
根据题意，得 ，
故答案为：A．
【例3-6】（23-24八年级下·云南德宏·期末）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只
从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海
里/时的速度沿北偏东 的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东 的方向向B地出发，
2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 ．
【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出 ， ，
（海里）， （海里），证明 为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：由题意，得：
， ， （海里）， （海里），
∴
，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ （海里），
答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离 是40海里．
【例3-7】（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问
题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学
欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结
果轮船在水中实际航行的路程 比河的宽度 多2米，则河的宽度 是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知 为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出
直角边 的长度．【详解】解：根据题意可知 米，
设 ，则 ，
中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ．
∴该河的宽度 为24米．
故选：D．
【例3-8】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，一辆汽车在一条限速 的笔直的公路上沿直线
匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方 处的点C处， 后汽车行驶到距离车速检测仪A
点 的点B处．
(1)求B、C间的距离；
(2)这辆汽车超速了吗?请说明理由．
【答案】(1)B、C间的距离为
(2)这辆汽车未超速，理由见解析
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据 ， 间的距离求得小汽车在 内行驶的速度，再和限速 比较大小即可．
【详解】（1）解：在 中，由 ， ，且 为斜边，
根据勾股定理可得 ．
答： ， 间的距离为 ．
（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而 ，
，∴这辆小汽车没有超速．
【例3-9】（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福
建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（ ）
方向以 的速度向 移动， 地在距离 地 的正北方，已知 地到 的距离 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)8小时
(2)5小时
【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股
定理求出 的长度．
（1）根据勾股定理计算 的长，再根据时间 路程 速度进行计算；
（2）根据在 范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间
路程 速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）在 中，根据勾股定理，
得 ，
∴ （小时），
则台风中心经过8小时从B移动到D点；
（2）如图，设∵距台风中心 的圆形区域内都会受到台风破坏的危险，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵ ，
∴ （小时），
答：游人在5小时内撤离才可脱离危险．
【例3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，棱长为 的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处
有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则
蜘蛛所走的最短路程是多少？
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内根据两点之间，线段最
短，再根据勾股定理即可得出最短的路径．
【详解】解：如图所示： 即为最短路线，
则在 中，
故蜘蛛所走的最短路程是 ．
【变式3-1】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端
距离墙角O处为 ．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了 ，木板顶端向下滑动了
，则小猫在木板上爬动的距离为（ ）m ．A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设
， ，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求 的长度，在
中，根据 即可求 ．
【详解】解：如图，
已知 ，
设 ，
则 ，
则在 中， ，
在 中， ，
联立方程组解得： ，
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级下·河南商丘·期末）在一棵树的 米高的 处有两只猴子．一只猴子爬下树走到
离树 米的池塘的 处．另一只爬到树顶 后直接跃到 处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距
离相等，则这棵树高多少米？【答案】这棵树高 米．
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由题意知 ， ， ，设
，则 ， ，再由勾股定理即可求解，理解题意，构造直角三角形是解题
关键．
【详解】由题意知 ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答：这棵树高 米．
【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一
棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
【答案】10
【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图所示， 为树，且 米， 米， 为两树距离8米，
过 作 于E，则 ，
在直角三角形 中， ．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此
题的关键．
【变式3-4】（23-24八年级下·吉林白城·期末）“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算
术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，
一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈
尺）
【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形 ，其中一直角边 长3尺，其余两
边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度．
【答案】折断后竹子的高度是 尺
【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未
知数的方程．
已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 ，通过勾股定理建立方
程，求出答案．
【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为 尺．
由勾股定理得： ，
解得： ，
答：折断后竹子的高度是 尺．
【变式3-5】（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，已知钓鱼杆 的长为5米，露在水面上的鱼线长为3米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 长
度为4米，则 的长为 米．
【答案】1
【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求出 和 ，再根据 即可得
出答案，根据勾股定理求出 和 是解题的关键．
【详解】在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【变式3-6】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为 的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始
时拉紧的绳子 的长为 ，此人把绳子收紧 后船移动到点 D 的位置(即绳子 的长为9米)，问船
向岸边移动了多少米?(结果保留根号)
【答案】
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在 中，利用勾股定理计算出
长，再根据题意可得 长，然后再次利用勾股定理计算出 长，再利用 可得 长．
【详解】解：在 中：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：船向岸边移动了 米．
【变式3-7】（23-24八年级下·重庆巴南·期末）某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进
行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东 方向和东南方向各修一
步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两
地，若测得 米．（参考数据： ）
(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）
(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择 路线，小明决定
选择 路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？
【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米
(2)小华先到达C地
【知识点】求河宽(勾股定理的应用)、与方向角有关的计算题、根据等角对等边求边长、含30度角的直角
三角形
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知
识，构造直角三角形是解题的关键．（1）连接 ，过D作 于E；分别在 ， 中利用勾股定理求出 ，即可求
得结果；
（2）设两人速度为1，由（1）的计算可得 的长；由题意得 是等腰直角三角形，由（1）的
结论及勾股定理求得 ，即可求得 ；比较即可谁先到达C地．
【详解】（1）解：如图，连接 ，过D作 于E；
由题意得： ；
在 中，则 ，
，
由勾股定理得： ，
米；
则 米；
在 中， ，
则 米，由勾股定理得： 米，
(米)；
（2）解：由（1）的计算知， 米，
米；
由题意得 分别在东南方向、西南方向，则 ，
，
即 是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
米，
米；，
，即小华的路程更小，
又∵两人速度相同，
所以小华先到达C地．
【变式3-8】（22-23八年级下·广东汕头·期末）某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上
沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 ，小汽车到达B处，
此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)没有超速．
【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
【分析】（1） 中，有斜边 的长，有直角边 的长，那么根据勾股定理即可求出 的长；
（2）根据小汽车用 行驶的路程为 ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】（1）解：在 中， ， ；
据勾股定理可得：
=（2）解：小汽车的速度为 ；
∵ ；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三
角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
【变式3-9】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距
1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，
在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米?
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为 米
(2)需要封锁的公路长为400米
【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟
练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，且 ，过点C作 于点D，再由三角
形面积求出 的长即可；
（2）过C作 于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，根
据480米 米可以判断有危险，再根据勾股定理求出 的长，进而得出 的长即可．
【详解】（1）解：由题意可知， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
如图1，过点C作 于点D，（米）
答：山地C距离公路的垂直距离为 米．
（2）公路 有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作 于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交 于点E、F，连接 ， ，
则 米， ，
由（1）可知， 米，
∵480米 米，
∴有危险需要暂时封锁，
在 中，由勾股定理得：
（米）
∴ （米），
即需要封锁的公路长为400米．
【变式3-10】（23-24八年级下·全国·期末）如图，动点 从点 出发，沿着圆柱的侧面移动到 的中点
，若 ，点 移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为 ．
【答案】6
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】本题考查利用勾股定理最短路径问题，得出点P移动的最短距离是 是解答的关键．根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出 即可求解．
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为 ，
根据题意， ， ，
∴ ，
∴圆柱的底面周长为 ．
故答案为：6．
【考点题型四】直角三角形的判断（ ）
【例4】（24-25八年级上·广东深圳·期末）若 是三角形的三边长，则满足下列条件的 不能构成
直角三角形的是（ ）
A． ， ， B． ，
C． D． ， ，
【答案】A
【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键．根
据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“ ”判定三角形是否为直角三角形．
【详解】解：A、 ，不能构成直角三角形，符合题意；
B、 ，能构成直角三角形，不符题意；
C、设 ，则 ，能构成直角三角形，不符题意；
D、 ，能构成直角三角形，不符题意；
故选：A．
【变式4-1】（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在 方格中作以 为一边的 ，要求点C
也在格点上，这样的 能作出（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当
是斜边时有四个 ，当 是直角边时有2个 ．
【详解】解：当 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当 是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当 是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【变式4-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末） 中， 的对边分别为a、b、c，下列条
件中，不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定
理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据 即可推出 即可判断
B；利用三角形内角和等于180度，即可求出 ，即可判断C．
【详解】解：A、∵在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，∴当 ， ， 时， ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ 即 ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ ，
∴此时 不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴ ，
∴此时 是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以 为一
边画 ，其中是直角三角形的格点C的个数为 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．
【详解】解：如图所示， 即为所求，
∴以 为一边画 ，其中是直角三角形的格点C的个数为4，
故答案为：4．
【变式4-4】（24-25八年级上·河南郑州·期末）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架 ， ，两轮中心的距离 ，滚轮半径 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘 与点 的距离 ，且 和 都与地面平行，
求购物车上篮子的左边缘 到地面的距离．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）运用勾股定理可得 ，运用等面积法可得 ，由此即可求解．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下，
已知 ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形；
（2）解： ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
由（1）得， 是直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴物车上篮子的左边缘 到地面的距离为 ．
【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形
的顶点上），使它的三条边长分别 ， 和5，并判断其形状．
【答案】图见解析，直角三角形
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ， ，斜边长为 ，
那么 ，反过来也成立．根据勾股定理作出边长为 ， 和5的三角形，根据勾股定理的逆定
理判断即可．
【详解】如图所示，
， ， ，
， ，
，
∴ 为直角三角形．
【考点题型五】利用勾股定理的逆定理求解（ ）
【例5】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形 中． ，
，(1)求 的度数．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理得： ，由 ，可得
，即 是直角三角形， ，由 ， ，可得
，根据 ，计算求解即可；
（2）根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由题意知， ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握勾
股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式5-1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面
积，老李测量了草坪各边得知： 米， 米， 米， 米，且 ．则这块草坪
的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定
理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
体会数形结合的思想的应用．连接 ，根据勾股定理，求得 ，再根据勾股定理的逆定理，判断
是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接 ，如图，
，
，
米， 米，
米，
米， 米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积 ，
故选：A．【变式5-2】（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积
为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾
股定理的逆定理得出 ，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选：D．
【变式5-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，四边形 中， ，
， ， ，
(1)求 的长．
(2)请问 是直角三角形吗？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）首先在 中，利用勾股定理求出 的长；
（2）结合（1）的结论，再根据勾股定理逆定理在 中，证明 是直角三角形．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长 ， ， 满足 ，
那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】（1）解：在 中，，
；
（2）解： 是直角三角形，
理由：由（1）得出
在 中， ， ，
，
∴ 是直角三角形．
【变式5-4】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在 中， ，且周长为
，点P从点A开始沿 边向点B以每秒 的速度移动；点Q从点B开始沿 边向点C以每秒
的速度移动，如果同时出发，当运动到 时，P，Q之间的距离为多少？
【答案】当运动到 时，P，Q之间的距离为 ．
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是求出 的三边长，证明 是直角三角
形．
设 为 ， 为 ， 为 ，根据 的周长为 ，列出方程求出x的值，证明出
是直角三角形，经过3秒时， ， ，根据勾股定理
即可得出答案．
【详解】解：设 为 ， 为 ， 为 ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ 是直角三角形，且 ．
经过3秒时， ， ，
又∵在 中， ，
∴ ．
∴当运动到 时，P，Q之间的距离为 ．
【变式5-5】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，求 的度数．
【答案】
【分析】根据 ， ，可以得到 为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判
断 为直角三角形，从而可以求得 ，进而可求得 的度数．本题考查勾股定理的逆
定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出 和 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【变式5-6】（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第 页介绍了“海
伦 秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么三角形的面积为
．
【解决问题】已知，在 中， ， ， ．
(1)请你用“海伦 秦九韶公式”求 的面积；
(2)除了利用“海伦 秦九韶公式”求 的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法．
【答案】(1)
(2)有，见解析
【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键．
（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可；
（2）计算得到 ，即 为直角三角形，直接两直角边的积除以 求面积．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
即 的面积为 ；
（2） ， ， ，
， ， ，
，
，
．
【考点题型六】勾股定理逆定理的实际应用（ ）
【例6】（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路 上的点 处开凿隧道修通一条公路到点 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与
公路上的另一停靠站 的距离为 ，停靠站 ， 之间的距离为 ，且 ．
(1)判断 是什么三角形？并说明理由；
(2)求修通的公路 的长．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析；
(2)修通的公路 的长是 ．
【分析】（ ）根据勾股定理的逆定理，由 得到 是直角三角形；
（ ）利用的面积公式可得 ，从而求出 的长；
本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关
键．
【详解】（1）解：直角三角形，理由，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：由（ ）得： 是直角三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴修通的公路 的长是 ．
【变式6-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，某港口 在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同
时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分
别位于点 ， 处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西 方向航行，那么乙船沿 方向航行．
【答案】南偏西
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
根据勾股定理逆定理求出 ，进而可得 ，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得： （海里）， （海里）， ， 海里，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴乙船沿南偏西 方向航行．
故答案为：南偏西 ．
【变式6-2】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高 ，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线
杆底部水平距离 处加一拉线．拉线工人发现所用线长为 （不计捆缚部分），则电线杆与地面
（填“垂直”或“不垂直”）．
【答案】垂直
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三
角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵电线杆高 ，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离 处加一拉线，拉线工人发现所用
线长为 ，
∴ ，∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边，
∴电线杆与地面垂直，
故答案为：垂直．
【变式6-3】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）某森林公园内从A地到B地有三条道路可以选择．从A经
C到B是柏油公路，其中 长3公里， 的长是4公里；从A经过D到B是5公里的木制栈道和2公里
的柏油公路；从A直接到B是石子路．若点C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证 ；
(2)求石子路 的长．
【答案】(1)见解析
(2)石子路 的长为 公里
【分析】本题考查勾股定理逆定理和勾股定理的应用：
（1）利用勾股定理逆定理，即可得证；
（2）利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得；
是直角三角形，且
（2）解： ，
在 中，由勾股定理得， （公里）
答：石子路 的长为 公里．
【变式6-4】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，某小区有一块四边形空地 ，为了美化小区环
境，现计划在空地上铺上草坪，经测量 ， 米， 米， 米， 米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？
【答案】2520元
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接 ，先利
用勾股定理求出 的长，再用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，根据
求出四边形的面积，即可解题．
【详解】解：连接 ，
在 中， ，根据勾股定理，得 ．
， ，
．
， ，
．
，
．
为直角三角形．
，
．
．
答：铺这块空地需要投入资金2520元．
【变式6-5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿 方向和
方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F
处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？【答案】乙船航向为南偏东 ．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角的应用．连接 ，利用勾股定理的逆定理证明
，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
由题意可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即乙船航向为南偏东 ．
【变式6-6】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据
安全标准需满足 ，现测 ， ， ， ，其中 与 之间由
一个固定为 的零件连接（即 ），通过计算说明该车是否符合安全标准．【答案】符合标准，见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题
的关键．
由勾股定理得： ，由 ，可得 ，则
是直角三角形， ，即 ，然后作答即可．
【详解】解：符合标准
在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，即 ，
∴该车符合标准．
【变式6-7】（23-24八年级下·吉林·期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此
画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形 ）， 是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 ，
千米， 千米， 千米．(1)求小溪流 的长；
(2)求四边形 的面积（结果保留根号）．
【答案】(1) 千米
(2) 平方千米
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补法求解图形面
积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证 为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ， 千米，
∴ （千米）；
（2）解：∵ （千米）， 千米， 千米．
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，则 ，
∴ （平方千米）．【变式6-8】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄 ，河边原有两个取
水点 ，其中 ，由于某种原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河
边新建一个取水点 （ 在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米，
千米．
(1)求 的度数；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)
(2)8.45千米
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）利用勾股定理的逆定理推导 为直角三角形，即可获得答案；
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理解得 的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，可知 千米， 千米， 千米，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ；
（2）由（1）可知， ，即 ，
设 ，则 ，
在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ 千米，
即原来的路线 的长为8.45千米．
