专题14.7因式分解（7大知识点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 14.7 因式分解（7 大知识点 13 类题型）（知识梳理与题型分类 讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【知识点2】公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 【知识点3】提公因式法 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个 因式是 ，即 ，而 正好是 除以m所得 的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 【知识点4】公式法 （1）平方差公式： 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab （2）完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 a2 2abb2 方．即 ， .形如 ， 的式子叫 做完全平方式. 【知识点5】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. （1）对于二次三项式 ，若存在 ，则 （2）首项系数不为1的十字相乘法 ax2 bxc a a a aa 在二次三项式 ( ≠0)中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之积，即 1 2， c ccc a，a，c，c 常数项 可以分解成两个因数之积，即 1 2，把 1 2 1 2排列如下： ac a c ax2 bxc 按斜线交叉相乘，再相加，得到 1 2 2 1，若它正好等于二次三项式 的一次项系 b ac a c b a xc a xc 数 ，即 1 2 2 1 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 1 1与 2 2之积，即ax2 bxca xc a xc  1 1 2 2 . 【知识点6】分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的 方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即 先对题目进行分组，然后再分解因式. 【知识点7】因式分解口诀 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 知识点与题型目录 【考点一】因式分解概念 【题型1】因式分解的判断......................................................2 【题型2】公因式..............................................................4 【考点二】因式分解方法 【题型3】提取公因式..........................................................5 【题型4】用平方差公式进行因式分解............................................6 【题型5】用完全平方公式进行因式分解..........................................7 【题型6】提取公因式和公式法综合进行因式分解..................................8 【题型7】十字相乘法进行因式分解.............................................10 【题型8】分组分解法进行因式分解.............................................11 【题型9】综合多种方法因式分解...............................................12 【考点三】因式分解的应用 【题型10】用因式分解法进行简便运算..........................................12 【题型11】因式分解法的其他应用..............................................15 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考..........................................................17 【题型13】拓展延伸..........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】因式分解的判断 【例1】（24-25六年级上·上海·期中）下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记定义并正确理解是解题的关键． 把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式， 据此作答即可． 解：A． 等式右边不是整式积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C． 分母中含有未知数，不是整式乘积形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； D． 是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）对于① ② 从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据 此求解即可． 解：① 是因式分解，符合题意； ② 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）若 ，则下列结论正确的是（ ） A．等式从左到右的变形是乘法公式， B．等式从左到右的变形是因式分解， C．等式从左到右的变形是乘法公式， D．等式从左到右的变形是因式分解， 【答案】D【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 解：∵ ， ， 则 ， 原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式． 故选：D． 【题型2】公因式 【例2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根 据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 解： 多项式 的系数的最大公约数是 ，相同字母的最低指数次幂是 ， 多项式 的公因式是 ， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式 的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 运用提公因式因式分解法进行求解． 解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为 ， ∴多项式 的公因式是 ， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到 ，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关 键． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 故答案为： ． 【题型3】提取公因式 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、 十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 利用提公因式法解答，即可求解． 解： ， ， ， ． 【变式1】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式 ，提取公因式 后， 余下的部分是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式 即可得到所求结果．熟练掌握提公因式 是解决问题的关键． 解： ， 则余下的部分是x． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式 分解因式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 解：本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将 分解为 ， 问题得解． 解： ． 故选：C 【题型4】用平方差公式进行因式分解 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）-（4）平方差法因式分解；（5）先提公因式，再用平方差法因式分解． 解：（1） ；（2） ； （3） （4） ； （5） ． 【点拨】本题考查因式分解．熟练掌握因式分级的方法，是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·湖南永州·期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式逐项验证即可得到答案． 解：A、 ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、 ，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、 ，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）已知 ， ，则 ． 【答案】【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，和整体代入法求代数式的值．熟练掌握平方差公式是解 题的关键．先求出 和 ，再利用平方差公式将 分解因式，再将 和 的值整体代入求 值即可． 解：∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 【题型5】用完全平方公式进行因式分解 【例5】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）先展开括号后重新整理，再利用完全平方公式 分解即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键 利用完全平方公式 逐项判断即可解答． 解：A、 ，不能用完全平方公式进行因式分解； B、 ，不能用完全平方公式进行因式分解；C、 ，不能用完全平方公式进行因式分解； D、 ，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 【变式2】（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解． 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式： ． 解： ． 故答案为： ． 【题型6】提取公因式和公式法综合进行因式分解 【例6】（23-24八年级上·江苏南通·期末）分解因式： (1) ； (2) ； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键． （1）首先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式得出即可； （2）原式先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1） （2）； 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）若 ， ，求式子 的值． 【答案】 【分析】综合提公因式法和公式法分解因式，再 ， 代入计算，即可得到答案． 解： ， ， ． 【点拨】本题考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握提公因式法和公式法是解题关键． 【变式2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1） ； （2）． 【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 【题型7】十字相乘法进行因式分解 【例7】（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用十字相乘法分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】用十字相乘法分解因式求解即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 【点拨】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提 公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【变式2】（22-23七年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) 或 (2) 或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 解：（1） ， 或 ， 或 ； （2） ， ， 或 ， 或 ． 【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【题型8】分组分解法进行因式分解 【例8】（20-21七年级上·上海静安·课后作业） 【答案】 【分析】首先把一二项分为一组、三四五项分为一组，然后再利用公式法和提公因式法分解． 解：原式 【点拨】本题考查因式分解，综合利用分组分解、公式法和提公因式法分解是解题关键． 【变式1】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）先分解因式，再求值： ，其中 ， ． 【答案】 ， ． 【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得．解：原式 ， ， ， 当 ， 时，原式 ， ， ． 【点拨】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括： 提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 【变式2】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）因式分解： 【答案】 【分析】将 分组为 ，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可． 解： = = ． 【点拨】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解 题的关键． 【题型9】综合多种方法因式分解 【例9】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先分组得到 ，再提取公因式 分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用平方差公式进行因式分解； （2）运用十字相乘法进行因式分解； （3）运用分组分解法进行因式分解； （4）将原式变形为 ，将 看成整体，运用十字相乘法进行分解后， 再次运用十字相乘法和提公因式法进行因式分解． 解：（1） （2） （3） （4）【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后再根据完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据十字相乘法进行分解因式即可； （3）先提公因式，然后再根据平方差公式进行分解因式即可； （4）根据平方差及完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【题型10】用因式分解法进行简便运算 【例10】（24-25八年级上·全国·单元测试）简便计算： (1) ； (2)【答案】(1) ； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则 成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 解：（1） ． （2） ． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）用简便方法计算： (1) ； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）先提出公因数 ，再根据平方差公式进行因式分解，最后进行乘法运算即可； （2）将 化为 ，再根据完全平方公式进行因式分解，最后进行乘方运算即可； 掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 解：（1）； （2） ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用； （1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ．【题型11】因式分解法的其他应用 【例11】（24-25八年级上·全国·期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是 边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且 ．观察图形，可以得到代数式 可以因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解与几何图形，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据图形面 积可进行求解． 解：由图形可知： ； 故答案为 ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一 条信息： ， ， ， ， ， 分别对应下列六个字：县、爱、我、赣、游、美． 现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．赣县游 C．我爱赣县 D．美我赣县 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文 字信息． 解：∵ 又∵ ， ， ， ，分别对应下列四个个字：县，爱，我、赣，∴结果呈现的密码信息是：我爱赣县． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）已知 ， ． (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值； (4)求 的值． 【答案】(1) (2) (3)25 (4)1 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式求值，完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用 完全平方公式是解题关键． （1）将原式展开，再代入求值； （2）直接提取公因式 ，进而分解因式得出答案； （3）直接利用完全平方公式进而求出答案； （4）直接利用（3）中所求，结合完全平方公式求出答案． 解：（1）∵ ， ∴ ； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ；（4） ． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【例1】（2024·福建·中考真题）已知实数 满足 ． (1)求证： 为非负数； (2)若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) 不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新 意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出 ，进而计算 ，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合 已知条件分析即可． 解：（1）因为 ， 所以 ． 则 ．因为 是实数，所以 ， 所以 为非负数． （2） 不可能都为整数． 理由如下：若 都为整数，其可能情况有：① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当 都为奇数时，则 必为偶数． 又 ，所以 ． 因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾． ②当 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数． 又因为 ，所以 ． 因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾． 综上所述， 不可能都为整数． 【例2】（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为 （ 均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（ 为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 ______ 按上表规律，完成下列问题：（ ） （ ） （ ） ； （ ） ______； (2)兴趣小组还猜测：像 这些形如 （ 为正整数）的正整数 不能表示为 （ 均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设 ，其中 均为自然数． 分下列三种情形分析： 若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数， 则 为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数． 若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数， 则 ______为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数． 若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数． 而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数． 由 可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ ） ， ；（ ） ； (2) 【分析】（ ）（ ）根据规律即可求解；（ ）根据规律即可求解； （ ）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 解：（1）（ ）由规律可得， ， 故答案为： ， ； （ ）由规律可得， ， 故答案为： ； （2）假设 ，其中 均为自然数． 分下列三种情形分析：若 均为偶数，设 ， ，其中 均为自然数， 则 为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为偶数． 若 均为奇数，设 ， ，其中 均为自然数， 则 为 的倍数． 而 不是 的倍数，矛盾．故 不可能均为奇数． 若 一个是奇数一个是偶数，则 为奇数． 而 是偶数，矛盾．故 不可能一个是奇数一个是偶数． 由 可知，猜测正确． 故答案为： ． 【题型13】拓展延伸 【例1】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）【问题提出】如何分解因式： ？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题：（1）分解因式： ； （2）已知 的三边长 ， ， 满足 ，判断 的形状并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图是一块长方形试验田，已知 长为 ， 长为 ，当 时，长方形试验田的面积 为 ，当 时，长方形试验田的面积为 ( ， 均为正整数)，且满足 ，请求出 和 的值． 【答案】（1） ；（2） 为等腰三角形，理由见解析；（3） ， 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义． （1）根据分组分解法分解因式即可； （2）利用分组分解法 ，解方程得出 ，即可得出 为等腰三角形； （3）根据题意列出方程 ，结合实际意义，解方程即可求解． 解：（1） ． （2）解：， ∵ ， ， 均为正数， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形． （3）∵ 长为 ，长为 ， ∴长方形试验田的面积为 ， 当 时，长方形试验田的面积为 ，当 时，长方形试验田的面积为 ， 即 ， ， 根据题意可得： ， 整理得出： ， ∵ 为正整数， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 均为正整数， ∴ 或 ， 分别求解，得出 或 （舍去）， 故 ， ． 【例2】（23-24七年级下·山东菏泽·期末） 【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ① ；② ； ③ ． 通过以上计算发现，形如 的两个多项式相乘，其结果一定为 ．（p，q为整 数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有 ，即可将形如 的多项式因式分解成 （p、q为整数）． 例如： ． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： _________； 【类比应用】 （2）规律应用：若 可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式： ． 【答案】（1） ；（2） 或 ；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为 的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出 的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把 分解成 ，然后把多项式进行第一次分解因式，再把 分解 成 ， 分解成 ，进行第二次分解因式即可． 解：（1） ，， 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ， ， ， ， ∴ 或 或 或 ， 整数 的值可能是 或 ， 故答案为： 或 ； （3） ， ， ， ， ．