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专题 05 分式（考点清单，10 个考点清单+22 种题型解读）【清单01】分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
【清单02】分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
【清单03】分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
【清单04】分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值。
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【清单05】分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【清单06】整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am−n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
a n an {&当a≠0时，a0=1（规定）
⑤（ ）= ，（n是正整数）； ⑥
b bn &当a=0时，00无意义
a2 1
若按照④运算，当m<n时。如：a2÷a3=a2−3=a−1；根据指数幂的定义a2÷a3= =
a3 a
1
2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a−n= （a≠0） 注：00、0−n无意义
an
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①am∙an=am+n，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②（am）n=amn，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
am
根据定义am÷an=am−n 还可转化为乘法：am÷an= =am∙a−n=am−n
an
5）科学记数法的扩大
{1＜|a|＜10
一般，一个小于1的数可以表示为a×10−n的形式，其中
n为负整数
步骤：确定a值的大小。1＜|a|＜10；确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩
大了10x倍。故n=-x
【清单07】分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
【清单08】分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
【清单09】增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分
式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解．
【清单10】分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【考点题型一】分式的概念及其基本性质
1.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若把分式 中 都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．不变
C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．
【详解】解：把分式 中 都扩大3倍，则
，
分式的值不变．故选：B．
2.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列各式 ， ， ， ， ， ， ，
中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，
如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：代数式 ， ， ， ， ， ， ， 中，是分式的有 ，
， ， ， ， ，
一共有6个分式，
故选：B．
3.（23-24八年级上·江苏扬州·期末）分式 、 、 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握“各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积”
叫做最简公分母，是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴分式 ， ， 的最简公分母是： ．
故答案是： ．
4.（23-24八年级上·天津滨海新·期末）写出一个分子为 的分式，且知它在 时有意义的分式 ．
【答案】 ；答案不唯一
【分析】本题主要考查了分式的定义， 以及分式有意义和无意义的条件， 根据分式有意义和无意义的条
件可得出分母可以是 ，再根据分式的定义即可求解．【详解】解：根据分式的意义可知，分母可以是 ，分子为 ，
故所求分式可以为 ；
故答案为： （答案不唯一）
【考点题型二】分式的运算
5.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，分式的乘方计算，合并同类项，根据同底数幂乘除法计算
法则，分式的乘方计算法则和合并同类项法则分解求出对应式子的值即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算正确，符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
6.（24-25八年级上·全国·期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键．
将原式通分，相加后再约分即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：
7.（23-24八年级上·广东惠州·期末）（1）分解因式 ：
（2）计算：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解，分式的运算.对于（1），先提公因式，再根据平方差公式运算即可．
对于（2），先把除法转化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
8.（24-25八年级上·河北沧州·期末）计算
(1)
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，进行化简，即可．
（1）根据 ， 进行计算即可；
（2）先化除为乘，再根据 ， 进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【考点题型三】分式方程及其应用
9.（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是
解决问题的关键．
【详解】解：A、 是分式方程，不符合题意；B、 是分式方程，不符合题意；
C、 不是分式方程，符合题意；
D、 是分式方程，不符合题意；
故选：C．
10.（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若关于 的分式方程 的解 ，则
【答案】
【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数，先解分式方程得 ，再由分式方程的解为 得
，解之即可求解，掌握解分式方程及分式方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以 得， ，
解得 ，
∵分式方程 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11.（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式方程的解法，检验是解分式方程的必要步骤．
（1）根据解分式方程的解法步骤求解即可．
（2）根据解分式方程的解法步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得合并同类项得， ，经检验， 是原方程的解，
所以原方程的解为 ．
（2）解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
经检验， 是原方程的解，
所以原方程的解为 ．
12．（22-23八年级上·山东泰安·阶段练习）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工
程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数
是甲工程队的 倍，若甲、乙两个工程队合作 天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要 天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是 元，乙工程队每天的施工费用是 元，为了尽可能缩短
施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少?
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要 天，乙工程队单独完成此项工程需要 天
(2)打通这条隧道的施工费用是 元
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用；
（1）设甲工程队单独完成此项工程需要 天，根据“甲、乙两个工程队合作 天，余下的任务甲工程队
单独完成仍需要 天”列分式方程求解即可；
（2）结合（1）的答案，先求出甲、乙两个工程队合作完成需要的天数，再乘以每天施工费用之和，即可
得到答案．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要 天，
可得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
天，
所以，甲工程队单独完成此项工程需要 天，乙工程队单独完成此项工程需要 天．（2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为： 天，
（元），
所以打通这条隧道的施工费用是 元．
【考点题型四】整体通分
13.（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）计算： ；
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
先通分，在计算减法，最后约分即可得出答案；
【详解】解： ；
14.（23-24八年级上·北京昌平·期末）计算： .
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法，掌握异分母加法的运算法则是解题关键．先通分，变为同分母分式，再
加减即可．
【详解】解：
．
【考点题型五】先约分，再通分
15.（22-23八年级上·北京朝阳·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算法则，即可解题．【详解】解：原式
．
16.（22-23八年级下·广东惠州·阶段练习）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则求解即可；
（2）根据分式的加减混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）．
【点睛】此题考查了整式的乘法混合运算，分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则
【考点题型六】逐步通分
17.计算： ．
【答案】0．
【分析】根据题意将原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法的运算法则是解本题的关键
【考点题型七】分组通分
1 2 2 1
18.计算： - + -
x−4 x−2 x+2 x+4
96
【答案】
(x2−4)(x2−16)
2 2 1 1
【详解】原式＝( - )+( - )
x+2 x−2 x−4 x+4
−8 8
＝ +
(x+2)(x−2) (x−4)(x+4)
−8(x2−16)+8(x2−4)
＝
(x2−4)(x2−16)
96
=
(x2−4)(x2−16)
【考点题型八】分离分子x+2 x+3 x−5 x−4
19.计算： - + -
x+1 x+2 x−4 x−3
−10x+10
【答案】
(x+1)(x+2)(x−3)(x−4)
1 1 1 1
【详解】原式＝(1+ )-(1+ )+(1- )-(1- )
x+1 x+2 x−4 x−3
1 1 1 1
＝ - - +
x+1 x+2 x−4 x−3
1 1
＝ -
(x+1)(x+2) (x−3)(x−4)
−10x+10
=
(x+1)(x+2)(x−3)(x−4)
【考点题型九】裂项相消
20.计算： ＋ ＋ ＋…＋ .
【答案】
【分析】根据所给式子裂项，再根据分式的加减法法则计算即可得出答案.
【详解】原式＝ － ＋ － ＋ － ＋…＋ －
＝ －
＝ .
【点睛】本题考查分式的减法，正确裂项，熟练掌握运算法则是解题关键.
21.已知下面一列等式：
； ； ； ；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算： .【答案】（1）一般性等式为 ；（2）原式成立；详见解析；（3） .
【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计
算.
【详解】解：（1）由 ； ； ； ；…，
知它的一般性等式为 ；
（2） ，
原式成立；
（3）
.
【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
【考点题型十】巧用分配律
22.（23-24八年级·云南文山·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先把除法化为乘法运算，再利用分配律进行简便运算得到化简的
结果，再把 代入化简后的代数式计算即可；
【详解】解：；
当 时，原式
【考点题型十一】巧用乘法公式
23.（23-24八年级上·吉林白城·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．
（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行计算即可；
（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，除法改写为乘法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
24.（22-23八年级上·河南信阳·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查分式的混合计算，关键是根据整式的乘法公式和分式的混合计算解答．
根据整式的乘法公式和混合计算解答即可；
根据分式的混合计算解答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【考点题型十二】谨防求值中的隐含条件
25.（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）先化简 ，再从 的范围内选取一个
合适的整数代入求值．
【答案】 ， ．
【分析】题目主要考查分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先将分式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定代入的值计算即可．
【详解】解：原式
，
∵ ，
∴不等式的整数解有 或1或0或2，
∴当 ，1，0时，原式没有意义；
当 时，原式 ．
26.（23-24八年级上·吉林白山·期末）先化简，再求值： ，其中x从0，1，2中
取一个合适的数求值．
【答案】 ，当 时，
【分析】本题考查分式的化简求值及分式有意义的条件．
根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可．
【详解】解：．
∵ 且 ，
∴当 时，原式 ．
【考点题型十三】设参数求值
27.已知 = = ≠0,求 的值.
【答案】
【分析】首先设 进而代入求出即可．
【详解】解：∵
∴
∴
【点睛】考查分式的求值，熟练掌握换元法是解题的关键.
28.（21-22八年级上·山东潍坊·期中）（1）化简： ；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）3
【分析】（1）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果即可；
（2）利用设元法，得到 ，代入计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）设 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
【考点题型十四】巧取倒数求值
29.（23-24八年级·云南红河·期末）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式的运用，把 两边平方即可得 的值，然
后根据 即可求值
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
30．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）若 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用
31.数学习题课中，老师提出如下问题：
例：已知 且 ，试求 的值，并给出部分解题步骤如下，
解： ，
，
，即 ，
(1)补充完整以上解题步骤；
(2)已知 且 ．试求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式 的简单变形 ，以及乘积是1的
两个数互为倒数，进行计算即可求得答案；（2）根据完全平方公式 的简单变形 ，以及乘积是1的两个数互
为倒数，进行计算即可求得答案．
【详解】（1）解： ，
，
，即 ，
，
；
（2）解： ，
，
，即 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的简单变形以及乘积是 1的两个数互为倒数，熟练掌握公式
是解题的关键
【考点题型十五】整体代入求值
32．已知实数a满足 ，求 的值．
【答案】 ，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数a满足a2+4a-8=0得出a2+4a=8代入进行
计算即可．【详解】解：原式=
=
=
=
=
∵实数a满足 ，
∴ ，
∴原式= ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
33．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值，已知 ，求 的
值．
【答案】 ， ．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：
，，
，
原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【考点题型十六】根据分式方程解的定义求字母的值
34.（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知分式方程 的解为 ，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．7 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解，将 代入 进行计算即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
故选：C．
35．（22-23八年级上·河南周口·期末）已知 是分式方程 的解，则 ．
【答案】
【分析】将 代入方程 求解即可．
【详解】解：将 代入方程
得， ，
解得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的(有理)方程叫做
分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数
36．（22-23八年级上·山东烟台·期中）已知： 是分式方程 的解，求a的值．
【答案】
【分析】直接将未知数的值代入方程求解即可．【详解】把 带入方程 ，
得： ，
∴ ，
解得： ，
检验：当 时 ，
∴a的值为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解，将未知数的值代入方程求出a的值是解题的关键
【考点题型十七】根据分式方程有增根求字母的值
37．（23-24八年级上·北京·期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
【答案】A
【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接
下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．
【详解】解： ，
去分母得到，
∵关于x的分式方程 有增根，
∴ 是方程 的根，
当 时， 解得：
当 时， 解得：
故选：A
38．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若关于 的方程 有增根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 的根．
有增根，那么最简公分母 ，所以增根是 ，把增根代入化为整式方程的方程即可求出 的值．
解题的关键是掌握关于增根问题解决的步骤：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，
得： ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的值是 ．
故答案为：
39．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若关于 的分式方程 有增根，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的知识，根据分式方程有增根，则该方程无解，解出 ，即可求出 ．
【详解】解：
去分母得， ，
移项，合并同类项得， ，
∵ 有增根，
∴该方程无解，即 ，
解得： ，
∴
∴
【考点题型十八】根据分式方程无解求字母的值
40.（23-24八年级上·广西柳州·期末）若关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方
程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程两边同时乘 得： ，解得： ，
方程无解，
，
，
，
，
故选：D
41．（22-23八年级上·山东滨州·期末）关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件．
先把分式方程化为 ，再根据分式方程无解求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得得： ，
当 ，即 时，原方程无解，
∴代入得 ，
∴ ，
故答案为：4
42．（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）若分式方程 无解，求a的值．
【答案】 或3
【分析】先解分式方程得出 ，当 时， 无意义，求出当 时，原方程无解；根
据当 或2时方程无解，得出 或 ，求出a的值即可．
【详解】解： ，方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
∵当 时， 无意义，
∴当 时，原方程无解；
∵当 或2时方程无解，
或 ，
解得 ；
综上所述， 或3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，解题的关键是熟练掌握分式方程无解的情况，注意进行分
类讨论
【考点题型十九】根据分式方程有解求字母的取值范围
43．（23-24八年级上·广西柳州·期末）若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式
方程无意义的情况即可求出 取值范围
【详解】解： ，
去分母得， ，
整理得， ，
解得， ，
∵分式方程的解为正数，
∴ 且 ，
∴ 且 ，故选：D
44．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值
范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算分式
方程得出 且 ，结合解是非负数，列式 ，即可作答．
【详解】解：原方程去分母得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴ ，即 ，
解得： ，
又∵ ，
∴m的取值范围是 且
故答案为： 且
45．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）关于x的分式方程 的解为正数，求m的取值范围．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条
件：分母不为0．
先去分母，将分式方程化为整式方程求解，根据解为正数和分式有意义的条件，列出不等式求出解集即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
移项，得： ，
化系数为1，得： ，
∵方程解为正数，
∴ ，解得： ，
∵ ，解得： ，∴ 的取值范围为 ．
【考点题型二十】列分式方程解应用题
46．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90
个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．若设乙每小时做 个零件，依据题意可列分式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做 个零件，则甲每小时做 个零件，再
根据甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时做 个零件，则甲每小时做 个零件，
由题意得， ，
故选：A
47．（23-24八年级上·山东泰安·期末）师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了
300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了 个零件，则可列方
程为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量 工作效率 工作时间的基本关系是解题的
关键．根据工作量 工作效率 工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程即可．
【详解】解：师傅所用时间为 ，徒弟所用时间为 ，于是
；
故答案为：
48．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24
时正式通车运营，全长 的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长
的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快 ，由高
速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广
南到那洒需要几小时．2
【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时
3
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车
由普通公路从广南到那洒需要 小时，再根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平
均速度快 列出方程求解即可．
【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要 小
时．
依题意，得
解得
经检验 是原方程的解，且符合题意．
2
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时
3
【考点题型二十一】方案设计型应用题
49．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生
级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中
9000元用来购买矿泉水，余下的钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比
一箱矿泉水贵20元．
(1)求矿泉水和大米的数量各是多少？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲型货
车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米40袋．问：安排甲、乙
两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来．
【答案】(1)购得大米150袋，矿泉水300箱
(2)方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设购得大米 袋，则购得矿泉水 箱，根据一袋大米比一箱矿泉水贵20元列出方程求解即可；
（2）设甲型号货车 辆，则乙型号货车 辆，根据两辆车装的大米数要大于等于150，矿泉水数要大
于等于300列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设购得大米 袋，则购得矿泉水 箱，
根据题意得：解得：
经检验， 是原方程的解且符合题意，
∴ （箱）
答：购得大米150袋，矿泉水300箱．
（2）解：设甲型号货车 辆，则乙型号货车 辆．
根据题意得： ，
解得： ，
∵ 为整数，且两种车型都要有，
∴ 或3或4，
∴方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
50.（21-22八年级上·湖南邵阳·期末）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占
地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米
的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ．
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟用12000元资金建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍．
请你帮助设计符合以上条件的修建方案．
【答案】(1)每个A类摊位占地面积5平方米， B类摊位占地面积3平方米
(2)有3种修建方案，方案一：建A类摊位25个，则B类摊位75个；方案二：建A类摊位26个，则B类摊
位74个；方案三：建A类摊位27个，则B类摊位73个
【分析】（1）设每个A类摊位占地面积为x平方米，则每个B类摊位占地面积为（x−2）平方米，根据用
60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可求出每个A类摊位占地面积，再将其代入（x−2）中可求出每个B类摊位占地面积；
（2）设该社区拟建A类摊位y个，则拟建B类摊位（100−y）个，根据修建费用不超过12000元且修建B
类摊位的数量不大于A类摊位数量的3倍，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值
范围，再结合y为正整数，即可得出各修建方案．
【详解】（1）解：设每个A类摊位占地面积x平方米，则每个B类摊位占地面积(x-2)平方米，依题意得：，
解得x=5，
检验： x=5是原分式方程的解，所以x-2＝3
答：每个A类摊位占地面积5平方米， B类摊位占地面积3平方米．
（2）设该社区拟建A类摊位y个，则B类摊位（100-y）个，依题意得：
，
解得 ，
∵y为正整数，
∴ y=25或26或27
∴有3种修建方案，
方案一：建A类摊位25个，则B类摊位75个；
方案二：建A类摊位26个，则B类摊位74个；
方案三：建A类摊位27个，则B类摊位73个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
51．（20-21八年级上·黑龙江黑河·期末）黑河市政府在道路改造过程中，某路段需要铺设一条长1000米
的下水管道，现有甲乙两个施工队具备施工能力，政府工作人员分别到两个施工队了解情况，获得如下信
息：
信息一：甲工程队比乙工程队每天能多铺设10米；
信息二：甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同．
根据以上信息完成下列问题：
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果两工程队同时施工，要求完成该项工程的工期不超过10天，那么两工程队分配工程量（以整百米
为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．
【答案】(1)甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米
(2)分配方案有2种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队
600米，分配给乙工程队400米
【分析】（1）设甲工程队每天能铺设 米，则乙工程队每天能铺设 米，根据“甲工程队铺设480
米所用的天数与乙工程队铺设400米所用的天数相同”列出方程，即可求解；（2）设分配给甲工程队 米，则分配给乙工程队 米，根据“完成该项工程的工期不超过10
天，”列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设 米，则乙工程队每天能铺设 米，
依题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解．
答：甲工程队每天能铺设60米，乙工程队每天能铺设50米；
（2）解：设分配给甲工程队 米，则分配给乙工程队 米，
由题意，得 ，解得 ，
取整数，
分配方案有2种．
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解
题的关键
【考点题型二十二】分式方程与不等式的综合应用
52．（21-22八年级上·广东汕头·期末）列方程或不等式解应用题：
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，其中A消毒液的单
价比B消毒液的单价多40元，用3600元购买B消毒液的数量是用2600元购买A消毒液数量的2倍．
(1)求两种消毒液的单价；
(2)学校准备用不多于7500元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？
【答案】(1)A消毒液的单价为130元，B消毒液的单价为90元
(2)30桶
【分析】（1）根据题意，找出题中的等量关系，列出方程求解即可；
设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为 元，
种类 单价 数量 总价A消毒液 x+40 2600
B消毒液 x 3600
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液 桶，结合（1）中计算出的单价，列出不等式求出解
集即可．
【详解】（1）设B消毒液的单价为x元，则A消毒液的单价为 元，依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：A消毒液的单价为130元，B消毒液的单价为90元．
（2）设购进A消毒液m桶，则购进B消毒液 桶，
依题意得： ，
解得： ．
答：最多购买A消毒液30桶．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，仔细理解题意，找出题中的
等量关系和不等关系，正确地列出方程和不等式是解题的关键
53．（23-24八年级上·广东汕头·期末）列方程或不等式解应用题：
小公园某商铺贩卖关于小公园文化的纪念明信片和钥匙扣，若一个钥匙扣的进价比一份纪念明信片进价少
1元.且用120元购进纪念明信片的数量与用100元购进钥匙扣的数量相同．
(1)求每份纪念明信片和一个钥匙扣的进价分别是多少元？
(2)若该商铺购进纪念明信片的数量比钥匙扣的数量的3倍还少4个，且购进纪念明信片和钥匙扣两种商品
的总数量不超过100个，则商铺最多购进钥匙扣多少个？
(3)在（2）的条件下，如果一份纪念明信片售价是12元，一个钥匙扣的售价为9元，且将购进的纪念明信
片和钥匙扣两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过480元，那么该商铺购进纪念明信片和
钥匙扣两种商品有哪几种方案？
【答案】(1)钥匙扣的进价为5元，纪念明信片的进价为6元
(2)商铺最多购进钥匙扣26个
(3)有4种方案
【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
（1）设钥匙扣的进价为 元，纪念明信片的进价为 元，根据用120元购进纪念明信片的数量与用
100元购进钥匙扣的数量相同，列方程求解；
（2）设购进钥匙扣的 个，则纪念明信片的 ，根据购进纪念明信片和钥匙扣两种商品的总数量不超
过100个，列不等式求解；
（3）设购进钥匙扣的 个，则纪念明信片的 ，根据可使销售两种商品的总利润超过480元，列不等
式求解．
【详解】（1）解：设钥匙扣的进价为 元，纪念明信片的进价为 元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
则 ．
答：钥匙扣的进价为5元，纪念明信片的进价为6元；
（2）设购进钥匙扣的 个，则纪念明信片的 ，
解得：
答：商铺最多购进钥匙扣26个；
（3）设购进钥匙扣的 个，则纪念明信片的 ，
解得： ．
∵
∴
为整数，
， 24，25，26，
该有4种方案．
方案一：购进钥匙扣：23个，纪念明信片：65个；
方案二：购进钥匙扣：24个，纪念明信片：68个；
方案三：购进钥匙扣：25个，纪念明信片：71个；
方案四：购进钥匙扣：26个，纪念明信片：74个；
