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专题 02 二次函数（考点清单，11 个考点清单+11 种题型解读）【清单01】二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
【清单02】二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【清单03】二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【清单04】待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
【清单05】抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【清单06】图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【清单07】二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值
范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也
可把两个函数解析式列成不等式求解．
【清单08】根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【清单09】二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【清单10】二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【清单11】二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣ ≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣ ≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣ ≥ 时，x＝﹣ 时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当 ≥﹣ ≥p时，x＝﹣ ，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
【考点题型一】二次函数的定义1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）下列函数中， 一定是 的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如 、 、 是常数， 的
函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、 符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、 ，当 时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（22-23九年级上·广东东莞·期末）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．3 B．2 C． D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，理解二次函数的概念是解题的关键；根据二次函数的定义即可
求解．
【详解】因为二次函数 的一次项系数是 ．
故选：C．
3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数 （m是常数）是二次函数，则m的值是
．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如 、 、 是常数， 的函数，
叫做二次函数．利用二次函数定义可得： ，且 ，再计算出 的值即可．【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为：
4．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知函数 （ 为常数）是关于 的二次
函数，求 的值．
【答案】
【分析】直接利用二次函数的定义即可求解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确把握定义形如 的式子叫二次函数是解题关
键．
【考点题型二】二次函数的图象和性质
5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是二次函数 图象的一部分，对称
轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④点 在二次函数图象
上，若 ，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图
象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号是解题的关键．
由图象开口向上，可得 ，由对称轴是直线 ，可得 ，则 ，
可判断②的正误；当 时， ，则 ，可判断①的正误；当 时， ，由
，可得 ， ，则 ，可判断③的正误；若 ，由于
两点与对称轴的位置关系不确定，则 不一定成立，可判断④的正误．
【详解】解：由图象开口向上，可得 ，
又 对称轴是直线 ，
∴ ， ，故②错误；
当 时， ，
∴ ，故①正确；
当 时， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
由题意，对称轴是直线 ，
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，
若 ，由于 两点与对称轴的位置关系不确定，
不一定成立，故④错误．
故选：B．
6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若二次函数 的图像经过 ，直线 经过 ，
两点．（1） ；
（2）当 时，直线 与 的图像只有一个交点，则 的取值范围 ．
【答案】 或
【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的解析式求解等知识点，解题的关
键是数形结合．
（1）将 代入 即可求解；
（2）结合图象分别求出直线 经过 ， 两点时，经过 ， 两点时，经过
， 两点时，n的值即可解答．
【详解】解：（1）将 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）由（1）得，二次函数解析式为 ，
令 ，则 ，二次函数与y轴交点坐标为 ，
令 ，则 ，
当直线 经过 ， 两点时，
设直线 的解析式为 ，
将 ，代入得 ，解得： ，
故此时直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
即 ， ，此时，直线 与 的图像有两个交点，
当直线 经过 ， 两点时，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得 ，解得： ，
故此时直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
即 ， ，此时，直线 与 的图像只有一个交点，
∵ ，
∴顶点坐标为 ，
根据图象可得，当直线 经过 ， 两点时，直线 与 的图像只有一个交点，
此时直线 的解析式为 ，
故 ， ；
综上，根据图象可得：当 ，直线 与 的图像只有一个交点时， 或 ，
故答案为： 或 ．
7．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线 ，点 在抛物线上．
(1)求n与m之间的关系式；(2)若当 时，抛物线 有最小值 ，求n与m的值．
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
【分析】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学
会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
（1）把点 代入即可解决问题．
（2）分三种情形①当 ，②当 ，③当 ，分别列出方程解决问题．
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上
，
（2）解： ，
①当 时，则 ，
∵ 时， ，
，
，
不符合题意，
②当 时， 时， ，
，
或 ．
不符合题意，
，
③当 时， 时， ，，
．
综上所述： ， 或 ，
【考点题型三】二次函数与一元二次方程、不等式
8．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察
图象，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数 和一次函数
相交于两点的横坐标分别为 ，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数 和一次函数 相交于两点，两点的横坐标分
别为 ，1，
则当 时，x的取值范围为 或 ．
故选：B．
9．（22-23九年级上·北京·期中）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，其中点
，点 ，当 时， 的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形
结合．
由题意知，当 时，则 的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的 的取值，然后数形
结合求解即可．
【详解】解：由题意知，当 时，则 的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的 的取
值，
∵图象交于点 ，点 ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若关于x的方程 有实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法和判别式的应用是解答
本题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据判别式进行计算即可．
【详解】（1）解：把 代入，得
解得
二次函数表达式为 ．
（2）解： ，
∴方程为 ，
，
．
【考点题型四】二次函数的实际应用
11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一
边 靠墙， 的长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①
的长可以为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最大值为
．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设 边长为 ，则 边长为 ，
根据 列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积 ，解方程求出x
的值可以判断②；设矩形菜园的面积为 ，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求
函数的最值可以判断③.
【详解】解：设 边长为 ，则 边长为 ，当 时， ，
解得
∵ 的长不能超过 ，
∴ ， 故①不正确；
∵菜园 面积为 ，
∴ ，
整理得：
解得 或
∵ ，
∴ ，
∴ 的长只有一个值满足菜园 面积为 ，故②错误；
设矩形菜园的面积为 ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
12．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，则水面下
降 时，水面宽度增加 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问
题．首先建立直角坐标系，设抛物线为 ，把点 代入求出解析式可解．
【详解】解：如图，建立直角坐标，
可设这条抛物线为 ，
把点 代入，得 ，
解得
∴ ，
当 时， ，
解得
∴水面下降 时，水面宽度增加
故答案为： ．
13．（23-24九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为
每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价
不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润 （元）最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) ；
(2)当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式，利用函数的性质
求解；
（1）依据题意，由每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，进而列式计算可以得解；
（2）依据题意，由每件的利润 销量=总利润，进而列式得 ，
再由二次函数的性质进行判断可以得解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ 与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意得，
∵ ，
∴当 时，W的值最大，最大值为1250元．
答：当售价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元
【考点题型五】根据二次函数的图象判断字母的系数
14．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线 的对称轴为 ，与x轴正半轴的交
点为 ，其部分图象如图所示，结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 、 、 是抛物线上的三点，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数图象并结合对称轴为 ，得出 ，
， ，即可判断A；求出 即可判断B、C，根据抛物线开口向上且即可判断D，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，对称轴为直线 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故A正确；
∵抛物线与x轴正半轴的交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故B错误，符
合题意，C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上， ，
∴ ，故D正确，不符合题意；
故选：B．
15．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，
与y轴交于点B，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．根据对称轴位置及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对
称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④．
【详解】解∶① 函数图象开口方向向上，
，
对称轴在y轴右侧，
异号，
，
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
，
，故①错误；
② 二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点B，对称轴为直线 ，
，
，
，故②正确；
③点 关于直线 的对称点为 ，
时， ， 时， ，
即 ，故③错误；
④ 对称轴为直线 ， ，
为最小值，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有②④，
故选：C．
16．（22-23九年级上·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，现有以下结论：
； ； 方程 有两个不相等的实数根； ．其中
正确结论的序号为 ．（填写出所有正确结论的序号）【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌
握二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系是解题的关键．
根据函数图象得到 ， ，根据对称轴是直线 ，于是得到 ， 同号，可得 ，得到
，故 正确；根据轴对称的性质得到 ，故 正确；根据图象得到函数 与
轴有两个交点，于是得到方程 有两个不相等的实数根，故 正确；根据二次函数的性质
得到 ，故 正确．
【详解】解： 函数图象开口向下，且 时， ，
， ，
又 对称轴是直线 ，
， 同号，可得 ，
，
故 正确；
对称轴是直线 ，且 时， ，
根据轴对称的性质， 时， ，
时， ，
即 ，
，
故 正确；
根据图象可知，函数 与 轴有两个交点，
方程 有两个不相等的实数根，故 正确；
抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
，
，
即 ，
故 正确；
故答案为：
【考点题型六】由已知函数的图象判断其他函数的图象
17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）函数 的图象如图所示，那么函数 的图像
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线 中 ，
是解题的关键．
利用二次函数的图象判断 ， ， ， ，据此即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向上，，
∵对称轴在 轴的右侧，
，
，
∵抛物线与 轴交于正半轴，
，
∵ ， ，
，
∴函数 的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
18．（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数 的图象如图所示，那么一次函数
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像，确定a，b，c的符号，后根据一次函数k,b的符号性质确定图像的分布即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴在原点的左边，
∴ ＜0，且a＜0，
∴b＜0，
∴bc＜0；
∴ 的图像分布在第二，第三，第四象限，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，
一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则二
次函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定 、 的符
号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
， ，
二次函数 图象的开口向下，二次函数的对称轴 ，
对称轴应在 轴的左侧．故选：A．
【考点题型七】一次函数与二次函数图象的综合
20．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的大
致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项
分析判断即可．
【详解】当 时，一次函数 的图象过第一、三象限，二次函数 的图象开口向上，
故C、D不符合题意；
再由A、B选项中，二次函数 的图象可知 ，故 ，因此A不符合题意，
故选：B．
21．（22-23九年级上·山东济南·期末）一次函数 和二次函数 在同一个
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数 在不同情况下所在的象
限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 的图象相比较看是否一致．
【详解】A．由抛物线可知 ，又 ，所以对称轴应该在 轴右侧，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知 又 ，所以对称轴应该在 轴右侧，故本选项不符合题意；
故选： B．
22．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）已知方程 的根是 ， ，且 ．
若 ，则下列式子中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将 看作二次函数 与一次函数 的交点横坐标为
m，n，结合图像即可得 ．
【详解】将 变形为
则可理解为二次函数 与一次函数 的交点横坐标为m，n
二次函数 与x轴交点横坐标为b和c．
如图所示由图象、题意可知c＞n，n＞b，由二次函数、一次函数性质可知 ，
故m＜b
则
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图像综合问题，将将 看作二次函数
与一次函数 的交点横坐标为m，n，再结合图象判断是解题的关键．
【考点题型八】抛物线的平移问题
23．（22-23九年级上·安徽六安·期末）将抛物线 向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线 向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为 ，
故选：C．
24．（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长
度，得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．首先将
抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”进行求解作答即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
将该抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴得到的抛物线的解析式是 ．
故答案为： ．
25．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知抛物线 的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线是否经过点 ？若不经过，怎样沿 轴方向平移该抛物线，使它经过点 ？并写出平移
后的新抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)不经过点B，向右平移1个或5个单位长度即可过点 ， 或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，点在函数图象上，二次函数的平移；
（1）将 ， 代入即可求解；
（2）将 代入解析式，即可判断；设平移后的新抛物线的解析式为 ，求出 的值，
用平移规律，即可求解；
掌握解法及平移规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．
【详解】（1）解： 抛物线 的顶点为 ，
，
抛物线 经过点 ，
，解得 ，
．
（2）解：当 时，
，
该抛物线不经过点 ；
设平移后的新抛物线的解析式为 ，
经过点 ，
，
解得： 或 ，
将抛物线 向右平移1个或5个单位长度即可过点 ，
平移后的新抛物线的解析式为 或
【考点题型九】抛物线的对称问题
26．（23-24九年级上·北京丰台·期末）平面直角坐标系 中，将抛物线 在x轴和x轴下方的部
分记作 ，将 沿x轴翻折记作 ， 和 构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论
中，正确的序号是 ．
①图形G关于原点对称；
②图形G关于直线 对称；
③图形G的面积为S，满足 ．【答案】①③
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线
的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．
【详解】解：如图，
由图形可知，图形 关于原点对称，不关于直线 对称，故①正确，②错误；
观察图形，图形 的面积 大于两个 的面积，小于 的面积，
所以，图形 的面积满足 ，故③正确．
故答案为：①③．
27．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，“爱心”图案是由抛物线 的一部分及其关
于直线 的对称图形组成，点 ， 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 ， ， ， 是
“爱心”图案与坐标轴的交点，且点 ， 的坐标分别为 ， ．(1)求 ， 的值；
(2)求抛物线 关于直线 对称后的图象的表达式．
【答案】(1) 的值为 ， 的值为5；
(2) ．
【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析以及二次函数的图象与性质：
（1）运用待定系数法求出a，k的值即可；
（2）如图，在（1）的抛物线 上任取一点 ，在抛物线 关于直线 对称
的图象上取点 的对应点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，
，利用对称性可得出 ， ，由点 在抛物线 上得 ，从而可得
结论．
【详解】（1）解：将点 ， 的坐标代入抛物线的表达式 ，得， ，
解，得 ，
所以， 的值为－1， 的值为5．
（2）解：如图，在（1）的抛物线 上任取一点 ，在抛物线 关于直线
对称的图象上取点 的对应点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接
， ，∵点 是点 关于直线 对称的对应点，
又∵点 是点 关于直线 对称的对应点，点 在直线 上，
∴ ， ，
∵ ， ，
， ，
∴ ， ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 关于直线 对称后的图象的表达式为 ．
28．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）佳佳准备用图1所示的三拱铁艺做花坛围栏，并在如图2所示的平
面直角坐标系中，研究三拱铁艺的数学性质．已知三拱分别为抛物线 ， ， ，其中 ， 关于 的
对称轴对称， 经过原点和 ， ， 上的点 与点K关于 的对称轴对称，抛
物线 经过点H，K．点O，A，B，C，D，E分别是抛物线 ， ， 与x轴的交点．(1)求 的函数解析式及点K的坐标；
(2)求 的对称轴和 的长度；
(3)为控制 的高度，需限定 ，直接写出 的最高点的纵坐标n的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求二次函数解析式，
（1）用待定系数法求出抛物线解析式，利用二次函数性质得出 的对称轴 ，利用
关于 的对称轴对称，即可求出结果；
（2）利用函数对称性求出 ， ，再根据A，D关于直线 对称，即可求出结果；
（3）根据题意设抛物线 的表达式为 ，结合已知利用待定系数法分别求出，当
时，和当 时的值即可得出结果．
【详解】（1）解： 抛物线 经过原点，
设抛物线 的解析式为 ．
将 ， 代入得 ，
解得 ，抛物线 的解析式为 ．
， 关于 的对称轴对称， ， ， ，
关于 的对称轴对称，且 的对称轴 ，
关于 的对称轴对称，
关于 的对称轴对称，即
，即
∴ ，
∴点 ；
（2）∵抛物线 经过点 ， ，
∴点H和点K关于抛物线 的对称轴对称，
∴抛物线 的对称轴为直线 ．
对于 ，当 时， ，解得 ， ，
∴ ， ．
∵A，D关于直线 对称，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（3）由（2）可知 ，抛物线 的对称轴为直线 ，
当 时， ， ．
设抛物线 的表达式为 ，将 ， 代入 ，
得 ，解得 ．
当 时， ， ．
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴BC的长度大于OA且小于9时， 顶点的纵坐标n的取值范围为 ．
【考点题型十】和一次函数的综合
29.（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线 （ 为常量）， 部分不变，
部分关于直线 轴对称变换．两部分组成图形 ．若图形 与直线 有两个交点，则
满足的条件是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．先将一般式转化为顶点式， 分 ， ，
和 进行讨论求解，掌握二次函数和一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思
想进行求解，是解题的关键．本题的难度大，综合性强，属于压轴题．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，当 时， ，∴抛物线与 轴的交点为：
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ 关于直线 对称的图象的解析式为： ，
∴图象 的解析式为：
∵ ，
∴ 时， ，
∴一次函数过点(0,1)，
①当 时， ，
如图：
此时两图象只有一个交点，不符合题意；
②当 ，即： 或 时：如图，此时两个图象恰好有两个交点，满足题意；
③当 时，即： ，
当 时，此时直线与 有一个交点，∴当 与 只有一个交点时，满足题意，
∴ ，
整理，得：
∴ ，
解得： 或 （舍掉），
当 时， ，不满足题意；
当 时，此时直线与 有一个交点，
∴当 与 只有一个交点时，满足题意，∴ ，
整理，得：
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
当 时， ，满足题意；
④当 时，即： 或 ，
当 时，此时直线与 有一个交点，
∴当 与 只有一个交点时，满足题意，
∴ ，
整理，得： ，
∴ ，
∴ （舍去）不满足题意；当 时，此时直线与 有一个交点，
∴当 与 只有一个交点时，满足题意，
∴ ，
整理，得： ，
∴ ，
∴
当 时， ，不满足题意；
综上： 或 ；
故答案为： 或 ．
30．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）直线 与抛物线 相交于点 ．
(1)求a，b的值；
(2)求另一个交点B的坐标；
(3)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)(3)3
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
（1）把点 代入 ，求出b的值，再把点 ，代入 求出a的值，即可；
（2）联立两函数解析式，即可求解；
（3）设直线 与y轴交于点C，则点 ，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得：
，
∴点 ，
把点 代入 ，得：
，解得： ；
（2）解：由（1）得：抛物线解析式为 ，
联立得： ，解得： 或 ，
∴另一个交点B的坐标为(−1,1)；
（3）解：如图，设直线 与y轴交于点C，则点 ，
∴ ，
∴ ．
31．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)已知点 ， 在该抛物线上，若 ，直接写出 的取值范围；
(3)直线l交抛物线于点 ， （点B在点A的左侧），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与
点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数解析式、二次函数和一次函数的综合题，熟练掌
握二次函数和一次函数交点问题是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并化成顶点式，写出顶点坐标即可；
（2）根据二次函数的图象和性质解答即可；
（3）先求出 ， ．抛物线顶点在 下方，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点
A，B重合），据此即可写出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴顶点为 ；
（2）由（1）可知， ，对称轴为直线 ，开口向上，
∴ 关于直线 的对称点是 ，
∵当 时，y随着x的增大而减小，当 时，y随着x的增大而增大，
∴当 或 时， ；（3）解：把 代入 得 ，
∴ ，
把 代入 得， ，
或
∵点B在点A的左侧
∴ 不合题意，舍去，
∴ ，
∴ ， ．
∴抛物线顶点在 下方，
∴ ．
【考点题型十一】和实际问题的综合
32．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部 下压如
图位置时，洗手液从喷口 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口 为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面
图下面部分是矩形 ．同学测得：洗手液瓶子的底面直径 ，喷嘴位置点 距台面的距离为
，且 、 、 三点共线．在距离台面 处接洗手液时，手心 到直线 的水平距离为 ，
不去接则洗手液落在台面的位置距 的水平面是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为 ，利用待定系数法求抛物线解析式
进而求解．
【详解】解：如图：
根据题意，得 ，
设抛物线解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
所以抛物线解析式为 ，
当 时，即 ，
解得： 或 （舍去），
又 ，
所以洗手液落在台面的位置距 的水平距离是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行
计算．
33．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相
交于 两点，拱桥最高点 到 的距离为 米， 米， 为拱桥底部的两点，且 ，
若点 到直线 的距离为 米，则 的长为 米．【答案】
【分析】本题考查了二次函数综合应用，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的
表达式为 ，代入点 的坐标求出解析式，再把点 的纵坐标代入解析式，进而求得点 的
横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系．
【详解】解：如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，
由题意可得，点 的坐标为 ，点 的纵坐标为 ，
设抛物线形的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ 米，
故答案为： ．
34．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起
投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出
手，篮球在距离篮筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
【答案】(1)
(2)0.2米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）设抛物线的表达式为 ，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ，求出A的坐标为 ，然后把A的坐标
代入（1）中所求解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
由题意可知，抛物线上的点B的坐标为 ．
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ．
， ．
由题意可得点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米
