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期末真题必刷基础 60 题（考题猜想，14 种必考题型）
一、整式的乘法（共6题）
1．（2023秋•隆昌市校级期末）已知 ，则 的值为 ．
【解答】解： ，
，．
故答案为：81．
2．（2023秋•隆昌市校级期末）计算： ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
3．（2023秋•汉阴县期末）若长方形 的面积是 ，边 的长为 ，则边 的长为
．
【解答】解： 长方形 的面积是 ，边 的长为 ，
边 的长为： ．
故答案为： ．
4．（2023秋•靖宇县期末） ．
【解答】解：
．
故答案为： ．
5．（2023秋•商州区期末）（1）已知 ， ， ， 为正整数，求 的值．（2）已知 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2） ， ，
．
6．（2023秋•沂南县期末）如图某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划
将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，左右两边修两条宽为 米的道路 ．
（1）试用含 ， 的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若 ， ，请求出绿化面积．【解答】解：（1）绿化的面积为：
平方米；
答：绿化的面积是 平方米；
（2）当 ， ，
绿化面积是 （平方米）．
二．乘法公式（共5题）
7．（2023秋•商南县校级期末）若 ，则 的值为
A ． 4 B ． 1 C ． D ．
【解答】解： ，
．
故选： ．
8．（2024春•大渡口区期末）如图，从边长为 的正方形中去掉一个边长为 的小正方形，然后将剩余部
分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是A． B．
C． D．
【解答】解：大正方形的面积 小正方形的面积 ，
矩形的面积 ，
故 ，
故选： ．
9．（2023秋•温岭市期末）已知 ， ．则 ．
【解答】解： ，
，
．
，
，
．
故答案为：13．
10．（2023秋•赵县期末）已知 是一个完全平方式，则 的值为
【解答】解： 是一个完全平方式，
，
解得： 或 ，
故答案为：4或 ．
11．（2024春•醴陵市校级期末）计算： ．
【解答】解：．
故答案为：1．
三．因式分解（共4题）
12．（2023秋•兴县期末）对于多项式 （其中 ，且 为整数）能够利用平方差公式进行因式
分解，则 的值可能有
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【解答】解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值有3种，
故选： ．
13．（2023秋•襄汾县期末）下列各式中不是多项式 的因式的是
A． B． C． D．
【解答】解：原式
，
则不是多项式 的因式的是 ，
故选： ．
14．（2023秋•颍泉区校级期末）分解因式： ．
【解答】解：原式 ，故答案为： ．
15．（2023秋•甘井子区校级期末）因式分解：
（1） （2）
【解答】解：（1）
；
（2）
．
四．分式（共2题）
16．（2023秋•玉州区期末）若分式 有意义，则 满足的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：要使分式 有意义，只须 ，即 ，
故选： ．
17．（2023秋•东莞市校级期末）要使分式 值为0，则 的取值应该满足
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，得 且 ，
解得 ，
故选： ．
五．分式的运算（共3题）
18．（2023秋•顺义区期末）计算： ．
【解答】解：原式．
19．（2023秋•自贡期末）计算： ．
【解答】解：
．
20．（2023秋•伊犁州期末）先化简，再求值：
，然后从 ，0，1，3中选一个合适的数作为 的值代入求值．
【解答】解：原式
，
， ，
， ， ，
，
原式 ．
六．分式方程（共4题）
21．（2023秋•汉阴县期末）若关于 的方程 无解，则A． B． 或 C．5 D．
【解答】解：方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
整理得 ，
当 时， ，
关于 的方程 无解，
或 ，
或 ，
故选： ．
22．（2023秋•莒南县期末）某方舱医院采购 ， 两种型号的机器人进行院内物资配送，已知 型机器
人比 型每小时多配送200件物资，且 型机器人配送1000件物资所用的时间与 型机器人配送750件物
资所用的时间相同，若设 型机器人每小时配送 件物资，根据题意可列方程为
A． B．
C． D．
【解答】解： 型机器人比 型每小时多配送200件物资，且 型机器人每小时配送 件物资，
型机器人每小时配送 件物资．
根据题意得： ．
故选： ．
23．（2023秋•安宁区校级期末）【教材 复习题 变式】解方程：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1） ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ；
（2） ，
方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
24．（2023秋•齐齐哈尔期末）据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些
悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞
尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘2000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1100毫克所需的槐树叶的
片数相同，求一片槐树叶一年的平均滞尘量．
【解答】解：设一片槐树叶一年的平均滞尘量为 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 毫克，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．
七．与三角形有关的线段（共6题）
25．（2023秋•永定区期末）如图中，三角形的个数为A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：根据图示知，图中的三角形有： ， ， ， ， ，共有5个．
故选： ．
26．（2023秋•琼海校级期末）试用学过的知识判断，下列说法正确的是
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个等边三角形一定是等腰三角形
D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形
【解答】解： 、等腰直角三角形一定是等腰三角形，故不符合题意；
、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，故不符合题意；
、一个等边三角形一定是等腰三角形，故符合题意；
、一个等腰三角形一定不是钝角三角形，故不符合题意；
故选： ．
27．（2023秋•婺源县期末）如图，△ 的边 上的高是
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【解答】解：由图可得：△ 的边 上的高是 ．
故选： ．
28．（2023秋•伊犁州期末）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一
组是
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4【解答】解： 、 ，不能组成三角形，故 选项错误；
、 ，不能组成三角形，故 选项错误；
、 ，能组成三角形，故 选项正确；
、 ，不能组成三角形，故 选项错误；
故选： ．
29．（2023秋•琼海校级期末）已知三角形的两边的长分别为 和 ，设第三边的长为 ，则 的
取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由三角形三边关系定理得： ，
．
故选： ．
30．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，用三角板作△ 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确
的是
A． B．
C． D．
【解答】解：用三角板作△ 的边 上的高线，摆放位置正确的是．
故选： ．
八．与三角形有关的角（共5题）
31．（2023秋•宁河区期末）在 中， ，则 是
A ． 等腰三角形 B ． 直角三角形
C ． 锐角三角形 D ． 等腰直角三角形【解答】解： 设三个内角的度数分别为 ， ， ，则
，
解得 ，
，
这个三角形是等腰直角三角形，
故选： ．
32．（2023秋•海曙区校级期末）已知，在△ 中， ，则△ 是 三角形．
【解答】解： ， ，
．
．
故答案为：直角．
33．（2024秋•武威期末）在图中，
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．
34．（2023秋•宣汉县期末）如图， 是△ 中 的平分线， 是 的外角的平分线，如
果 ， ，则 ．
【解答】解： 是△ 中 的平分线， 是 的外角的平分线，
又 ， ，
， ，，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
35．（2024春•淮阳区期末）在△ 中， ， 是△ 的高， 是 的角
平分线，求 的度数．
【解答】解： ，
， ，
，
，
解得 ，
，
是△ 的高，
，
是 的角平分线，
，
．
九．全等三角形的判定（共10题）
36．（2023秋•科尔沁区期末）如图， ，且点 恰好落在线段 上， ， ，
则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
， ，
， ，
，
故选： ．
37．（2023秋•琼海校级期末）边长都为整数的 ， 与 是对应边， ， ，
若 的周长为偶数，则 的取值为
A．3 B．4 C．5 D．3或4或5
【解答】解：
， ， ，
， ，
，
，
的周长为偶数， ， ，
，
故选： ．
38．（2023秋•望城区期末）如图， 与 相交于点 ， ， ，不添加辅助线，判定△
△ 的依据是A． B． C． D．
【解答】解：在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
故选： ．
39．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，在△ 和△ 中，如果 ， ，在下列条件
中不能保证△ △ 的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、可用 判定三角形全等；
、可用 判定三角形全等；
、所给的条件构成 ，不能判定三角形全等；
、由 可得 ，所以可用 判定三角形全等．
故选： ．
40．（2023秋•硚口区期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出
一个与书上完全一样的三角形．他的依据是A． B． C． D．
【解答】解：如图， 、 、 都可以测量，
即他的依据是 ．
故选： ．
41．（2023秋•平桥区校级期末）如图所示，在 中， ， 于 ， ．如果
，那么
A． B． C． D．
【解答】解： 于 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故选： ．
42．（2023秋•科尔沁区期末）如图，在 和 中，点 ， ， ， 在同一直线上， ，
， ，求证： ．【解答】证明： ，
，即 ．
，
．
在 和 中
，
．
43．（2023秋•洛阳期末）已知：如图， 、 是 上的两点，且 ， ， ．求
证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） ，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，；
（2） ，
，
．
44．（2023秋•商南县校级期末）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交
于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 ，求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） 平分 ， 平分 ，
，
；
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
（2） ，
， ， ，，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
．
45．（2023秋•奇台县期末）如图， ， ，垂足分别为 ， ， 和 相交于点 ，
，连 ，求证：
（1） ；
（2） ．
【解答】证明：（1） ， ，
，
在 和 中，
，
．
（2） ，，
， ，
．
十．角平分线的性质（共2题）
46．（2023秋•琼海校级期末）如图，若 平分 ， ， ，垂足分别是 、 ，则
下列结论中错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，可得 ，正确；
、不对，应为 ；
、 ，可得 ，正确；
、 ，可得 ，正确；
故选： ．
47．（2023秋•二道区校级期末）如图， 是 的平分线上一点， ， ，垂足分别为
点 和点 ．
求证： ．
【解答】证明： 是 的平分线上一点， ， ，
，
（等边对等角）．
十一．轴对称（共3题）
48．（2023秋•扶余市期末）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ， 平分 ，若，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
又 平分 ，
，
，
故选： ．
49．（2023秋•凉州区期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，边 的垂直平分
线 交 于点 ．已知 的周长为 ，则 的长为
A． B． C． D．
【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
是 的垂直平分线，
，
的周长 ，
，
，
，
的长为 ；故选： ．
50．（2023秋•安宁区校级期末）如图，在 中， ， 是 的垂直平分线，交 于点
，交 于点 ．已知 ，求 的度数．
【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
；
十二．等腰三角形（共2题）
51．（2023秋•濮阳期末）如图，直线 、 相交于点 ，点 是直线外一点，在直线 、 上找一点 ，
使 为一个等腰三角形．满足条件的点 有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解答】解：以 为圆心， 长为半径画弧，交 、 于4个点；
以 为圆心， 长为半径画弧交 、 于2个点，
再作 的垂直平分线交 、 于2个点，
共有8个点，故选： ．
52．（2023秋•徐州期末）已知：如图，在 中， ， ，点 在 的延长线上，
．求证： ．
【解答】证明： ，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
．
十三．多边形内角与外角（共3题）
53．（2023秋•邹城市期末）若正多边形的一个内角是 ，则该正多边形的边数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解： 正多边形的一个内角是 ，
它的一个外角是： ，
．
该正多边形的边数为9．
故选： ．
54．（2023秋•五华区期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为 ，那么这个多边形的一个外角等于
A． B． C． D．
【解答】解：设这个多边形是 边形，
根据题意得： ，
解得 ；
那么这个多边形的一个外角是 度，
即这个多边形的一个外角等于40度．
故选： ．
55．（2023秋•韩城市期末）一个正多边形的每个内角与相邻外角的度数比为 ，求这个正多边形的边数．
【解答】解：设这个正多边形的每个外角为 ，则每个内角为 ，
由题意得， ，
解得 ，
，
故这个正多边形的边数为12．
十四．轴对称图形（共5题）
56．（2023秋•东莞市校级期末）2023年 月，杭州成功举办19届亚运会．下列图案表示的运动项目
标志中，是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，符合题意；
故选： ．57．（2023秋•田家庵区校级期末）已知点 与点 关于 轴对称，则 的值为
A． B．1 C．4043 D．
【解答】解： 点 与点 关于 轴对称，
， ，
．
故选： ．
58．（2023秋•桐城市校级期末）如图，在 中， ， ， ， 是 的
平分线．若 ， 分别是 和 上的动点，则 的最小值是
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【解答】解： ， 是 的平分线，
垂直平分 ，
．
过点 作 于点 ， 交 于点 ，则此时 取最小值，最小值为 的长，如图所示．
，
．
故选： ．59．（2023秋•东昌府区期末）在直角坐标系中，直线 是经过点 ，且平行于 轴的直线，点
与点 ，关于直线 成轴对称，则 ．
【解答】解：根据题意，得 ， ，
解得 ， ，
故 ，
故答案为：6．
60．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，已知点 的坐标是 ．
（1）点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
（2） 的面积是 ．
（3）作点 关于 轴的对称点 ，那么 、 两点之间的距离是 ．
【解答】解：（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
故答案为：3；0； ；5；
（2） 的面积是： ，故答案为：10；
（3） 、 两点之间的距离是： ，
故答案为： ．
