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专题 07 相似（考点清单，11 个考点清单+14 种题型解读）【清单01】图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【清单02】成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【清单03】平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【清单04】相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【清单05】相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的
一种特例。
【清单06】相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【清单07】相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【清单08】利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【清单09】位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
位似中心的位置：可能位于
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
两个图形之间，也可能位于两个
图形一侧，也可能位于两图形内。
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
位似中心的确定：根据“对
联系：位似图形是特殊的相似图形。 应点的连线都经过位似中心”的
特点确定位似中心的位置。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性
质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似
比。
【清单10】利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【清单11】图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【考点题型一】线段成比例
1.（21-22九年级上·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足 ，则下列等式一定成立的是（
）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、
F，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图 中点DE分别在边 上， ，若
，则 的长是 ．【考点题型二】坐标系里的位似
4.（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段 的两个端点的坐标分别为
，以原点O为位似中心，相似比为 ，将线段 缩小得到线段 ，则点A的对应点
的坐标为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
5.（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，线段 两个端点的坐标分别为 、 ，以原点 为位
似中心，在第一象限内将线段 放大到原来的2倍后得到线段 ，则端点 的坐标为 ．
【考点题型三】相似三角形的判定与性质的综合运用
6.（23-24九年级下·山东淄博·期末）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边 ， 上，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1.8 B．3 C．3.2 D．4
7.（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知在四边形 中， ． 为边 延长线上一点，连接 交边 于点 ，连接 交 于点 ，且 ．
求证： ．
8.（23-24九年级上·北京通州·期末）如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，
取 的中点F，连结 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．
(1)依题意，请补全图形；
(2)判断 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
【考点题型四】“A”字型
9.（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在菱形 中，点E 在边 上，射线 交 的延长线于点F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
10.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 平分 ， 于点F，D为 的
中点，连接 延长交 于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．
11.（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作
，交 于点 ．求证： ．
【考点题型五】“X”字型
12.（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图在 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ，
若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
13.（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平行四边形 中，点E在边 上， ，连
接 交 于点F，则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
14.（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，平行四边形 中，E为 的中点， 与 交于点F．
则 与 的面积比为 ．
15.（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图， 相交于点O，已知 ， ，
求证： ．【考点题型六】旋转型
16.（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形 中， ，点D在 上，连接 ，
把 绕点A逆时针旋转得到 ，使 ，连接 ，若 ， ，则
的长为( )
A． B． C． D．10
17.（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在等腰 中， ， 为 上一点， ，
连接 ，以 为边向右作等腰 ，使 ， ．连接 ，则 ．
18.（22-23九年级上·四川遂宁·期中）如图，在 和 中， ．求
证：(1) ；
(2) ．
【考点题型七】垂直型
19.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在 中， 于D，下列条件中，不能使
的是（ ）
A． B． C． D．
20.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图， 是线段 上一点， ， ， ，连
接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．已知 ， ， ， ，
，那么 ．
21.（20-21九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形 中，E是边 上的点，点F在边 上，且
．(1)求证： ；
(2)若 ，延长 交 的延长线于点G，求 的长．
【考点题型八】等角型
22.（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度
，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条
边 ， ，延长 交 于点C，测得边 离地面的高度 ， ，求
树高 ．
23．（22-23九年级上·北京·阶段练习）如图，在 中， 是边 上的高．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【考点题型九】在圆中证明三角形相似
24.（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，等边 是 的内接三角形，点D，E分别为 边
上的中点，延长 交 于点F，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
25.（22-23九年级上·河南郑州·期末）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影
的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，
日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段 为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点， 与 相切
于点C，点A，B，F均在 上，且 为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线）， 的
延长线分别与 相交于点E，D，连接 ，已知 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
26.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是圆的内接三角形，点 在弦 上， 平分 ，
．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 为直径，且 ， ，求 的长．
【考点题型十】利用相似证明线段成比例
27.（21-22九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且 ABC∽△ADB，则
下列结论一定正确的是( ) △ △A． B．
C． D．
【考点题型十一】利用相似求圆中线段的长
28.（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的 中， 是直径， 是弦， 是 的中
点， 与 交于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
29．（20-21九年级下·浙江·期末）如图， 是⊙O的内接三角形， 是⊙O的直径．作弦
交 于点 ，连结 交 于点 ．若 是 中点， ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．12
30.（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ，点F为直径 上一点，连接 并延
长交 于点G，交 于点E，若 ， ， ，则 的长为 ．31.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 为 的直径，C是 上一点， D是 的中点，弦
，垂足为F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【考点题型十二】利用相似求圆的半径
32.（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，以 的边 为直径的半圆 交 、 于 、 两点，
连接 ，若 ， ，则半圆 的半径长为（ ）A． B． C．3 D．
33.（20-21九年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知 的边 是 的切线，切点为点 ． 经过圆
心并与圆相交于点 ， ，过点 作直线 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求 的半径．
34.（20-21九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆
刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD已知 ．
(1)求证：
①AD是⊙O的切线；
②△ACD∽△BAD ；
(2)若BD＝8， ，求⊙O的半径．【考点题型十三】利用相似在圆中求线段的比
35.（21-22九年级上·浙江舟山·期末）如图， 内接于 ， 为直径， ，点 在 （不
与 ， ， 重合）上， ，点 在直线 上，连接 ．
(1)如图1，若点 在 上，求证： ；
(2)在（1）的条件下， ， ，求线段 的长；
(3)若直线 与直线 相交于点 ，当 时，求 的值；
36.（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形 是 的内接四边形，其中 ，对角线
相交于点E，在 上取一点F，使得 ，过点F作 交 于点G、H．
(1)证明: ．
(2)如图2，若 ，且 恰好经过圆心O，求 的值．
(3)若 ，设 的长为x．
①如图3，用含有x的代数式表示 的周长．
②如图4， 恰好经过圆心O，求 内切圆半径与外接圆半径的比值．【考点题型十四】利用相似在圆中求角的大小
37.（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，在 中，点D在 上， ， ，
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的大小．
38．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图， 是 斜边 的中点， 交 于 ，垂足
为 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如果 与 相似，求其相似比；
(3)如果 ，求 的大小．
