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专题 07 相似（考点清单，11 个考点清单+14 种题型解读）【清单01】图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【清单02】成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【清单03】平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【清单04】相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【清单05】相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的
一种特例。
【清单06】相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【清单07】相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【清单08】利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【清单09】位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
位似中心的位置：可能位于
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
两个图形之间，也可能位于两个
图形一侧，也可能位于两图形内。
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
位似中心的确定：根据“对
联系：位似图形是特殊的相似图形。 应点的连线都经过位似中心”的
特点确定位似中心的位置。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性
质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似
比。
【清单10】利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【清单11】图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【考点题型一】线段成比例
1.（21-22九年级上·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足 ，则下列等式一定成立的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断
B，D．
【详解】解：A、由已知 得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
2．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、
F，下列结论不正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解： ，
， ， ， ；
选项A、C、D正确，不符合题意；选项B错误，不符合题意．
故选：B．
3.（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图 中点DE分别在边 上， ，若
，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由 中，点 分别在边 上， ，
根据平行线分线段成比例定理，可得 ，又由 ，即可求得答案，注
意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，∴ ．
故答案为： ．
【考点题型二】坐标系里的位似
4.（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系内，线段 的两个端点的坐标分别为
，以原点O为位似中心，相似比为 ，将线段 缩小得到线段 ，则点A的对应点
的坐标为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变换规律，掌握位似变换中的坐标变换规律是解决此题的关键．
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出 点坐标．
【详解】 解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 缩小 得到线段 ，
∴A点与点 是对应点，
∵ 点的对应点A的坐标为 位似比为： ，
∴点 的坐标为： 或 ．
故选：D．
5.（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，线段 两个端点的坐标分别为 、 ，以原点 为位
似中心，在第一象限内将线段 放大到原来的2倍后得到线段 ，则端点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】解：∵以原点 为位似中心，在第一象限内将线段 放大到原来的2倍后得到线段 ，
∴ 点与 点时对应点，
∵ 点的坐标为 ，位似比为： ，
∴点 的坐标为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系式解题的关键
【考点题型三】相似三角形的判定与性质的综合运用
6.（23-24九年级下·山东淄博·期末）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边 ， 上，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1.8 B．3 C．3.2 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，证明 ，得到
，根据题意得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，∴
∵
∴ ，
故选：B．
7.（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知在四边形 中， ． 为边 延长线上一点，
连接 交边 于点 ，连接 交 于点 ，且 ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，根据 可证
，可得 ，结合 ，可得 ，可证 ，可得
，根据内错角相等，两直线平行即可求证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8.（23-24九年级上·北京通州·期末）如图， 中， ， ，点D在 的延长线上，
取 的中点F，连结 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连结 ．(1)依题意，请补全图形；
(2)判断 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，证明见解析
【分析】（1）根据题意描述画图即可；
（2）取 中点M，连结 ，结合F为 中点，得出 ， ，根据旋转性质可得
，结合 可得， ，证出 ，即可得出 ，
，再根据 ，得出 ，即可证明；
【详解】（1）如图：
（2） ， ，
证明：取 中点M，连结 ，
∵F为 中点，
∴ ， ，
∵线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，解
题的关键是正确作出辅助线和对应图形．
【考点题型四】“A”字型
9.（22-23九年级上·北京顺义·期末）如图，在菱形 中，点E 在边 上，射线 交 的延长线于
点F，若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关键．由菱
形的性质得 ， ，可证明 ，则 ，求得 ，于是得
到问题的答案．【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∵点F在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
10.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 平分 ， 于点F，D为 的
中点，连接 延长交 于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到 ，结合角平分线推出 ，
得到 ，进而证得 是 的中位线，求出 即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 于点F，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的应用，正确
理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键
11.（23-24九年级上·江西吉安·期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作
，交 于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证 得 是解题关键．
【详解】证明：∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ． ．
∴ ．
【考点题型五】“X”字型
12.（23-24九年级上·河南濮阳·期末）如图在 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ，
若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由 ，求证 ，
，根据相似三角形性质得到 ，进而由相似三角形的性质即可解决问题，解题
的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
【详解】解：过 作 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：D．
13.（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平行四边形 中，点E在边 上， ，连
接 交 于点F，则 的面积与 的面积之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，证明 ，利用相似三角形
的性质得到 ，然后利用等高的三角形面积之比等于对应底边之比求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
14.（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，平行四边形 中，E为 的中点， 与 交于点F．
则 与 的面积比为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形，平行四边形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性
质，是解题关键．
利用平行四边形的性质得出 ， ，得到 ，再利用相似三角形的面积比等于
相似比平方，即得．
【详解】∵E为 的中点，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15.（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图， 相交于点O，已知 ， ，
求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，根据边长之间对应成比例以及对顶角相等，可得到两个三
角形相似，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【考点题型六】旋转型
16.（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形 中， ，点D在 上，连接 ，
把 绕点A逆时针旋转得到 ，使 ，连接 ，若 ， ，则
的长为( )A． B． C． D．10
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的
应用．
先证明 ，得到 ，推出 ，再证明 ，据此即可求解．
【详解】解：∵ 绕点A逆时针旋转得到 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
17.（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在等腰 中， ， 为 上一点， ，
连接 ，以 为边向右作等腰 ，使 ， ．连接 ，则 ．
【答案】【分析】由两个等腰三角形顶角相等，可得 ，得到对应边成比例 ，结合
，可得 ，得出对应边成比例 ，结合已知条件，通过等量代换，
即可求解，本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形与对应边成比例、
对应角相等，之间的相互转化．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，
又 ， ， ，
，
，
，
又 ， ，
，整理得： ，
又 ，
，
，
故答案为： ．
18.（22-23九年级上·四川遂宁·期中）如图，在 和 中， ．求
证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
（1）证明 ，得出 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，再根据 即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ．
【考点题型七】垂直型
19.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，在 中， 于D，下列条件中，不能使
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数定义，相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，，故A不符合题意；
， ，
，
，
，故B不符合题意；
，
，
，
，
，
，故C不符合题意；
的斜边 和直角边 与 的两直角边 和 对应成比例，不能判定
；
故选：D．
20.（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图， 是线段 上一点， ， ， ，连
接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ．已知 ， ， ， ，
，那么 ．
【答案】1.6
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．先证 ，求得 、 ，再证 ，
可得 ．
【详解】解： ， ，
，
，，
，
， ， ，
， ， ，
设 ，则 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
解得： ，
即 ，
故答案为：1.6
21.（20-21九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形 中，E是边 上的点，点F在边 上，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ，延长 交 的延长线于点G，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)15
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关
键．
（1）利用“一线三直角”即可证明 ；
（2）由 ， 求出 和 的长，利用 求出 的长度，再由
求出 的长度，即可求出 的长．【详解】（1）解： 四边形 为正方形，
，
，
，
，
∴ ；
（2）解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
设 ，
∵ ，
，
即 ，
解得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【考点题型八】等角型
22.（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度
，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条
边 ， ，延长 交 于点C，测得边 离地面的高度 ， ，求树高 ．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明 ，得到 ，代入数值求出
，根据线段的和即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答：树高 是 ．
23．（22-23九年级上·北京·阶段练习）如图，在 中， 是边 上的高．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据 是边 上的高，得 ，再因为另外一组角是公共角，对应相
等，即可作答．
（2）先根据勾股定理求出 的值，再由等面积法求出 的值，在 中根据勾股定理建立等式，
代数计算即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵
∴ ，
∵
∴
∴
∵ ，
∴在 中，
【考点题型九】在圆中证明三角形相似
24.（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，等边 是 的内接三角形，点D，E分别为 边
上的中点，延长 交 于点F，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】连接 ，交 于点M，延长 交 于点H，连接 ，根据等边 是 的内接三
角形，可得 ，从而得到 ， ，进而得到 ，
，再证得 ，可得 ， ， ，再由勾股定理，求出
的长，即可．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点M，延长 交 于点H，连接 ，
∵等边 是 的内接三角形，
∴ 平分 ， 平分 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点D，E分别为 边上的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆内接三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟
练掌握相关知识点是解题的关键
25.（22-23九年级上·河南郑州·期末）日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影
的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，
日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段 为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点， 与 相切
于点C，点A，B，F均在 上，且 为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线）， 的
延长线分别与 相交于点E，D，连接 ，已知 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造
相似三角形是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，再由平行线的性质可得 ；
（2）连接 ，证明 ，由相似三角形的性质得出 ，则可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB为圆O直径，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
即 ；
（2）解：连接 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是圆O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
26.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是圆的内接三角形，点 在弦 上， 平分 ，
．(1)求证： 平分 ；
(2)若 为直径，且 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分内线的定义，可得 ，再由 ，可得 ，然后
根据三角形外角的性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，即可求证；
（2）分别过点A，D作 ，垂足分别为F，G，设 交于点P， 为直径，可得
，根据勾股定理可得 ，再由可得 ， ， ，
然后根据 ，可得 ， ，从而得到 ，然后根据
，可得 ，再由勾股定理可得 ， ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 平分 ；
（2）解：如图，分别过点A，D作 ，垂足分别为F，G，设 交于点P，∵ 为直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌
握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．【考点题型十】利用相似证明线段成比例
27.（21-22九年级上·广西百色·期末）如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且 ABC∽△ADB，则
下列结论一定正确的是( ) △ △
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是
解题的关键．
【考点题型十一】利用相似求圆中线段的长
28.（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的 中， 是直径， 是弦， 是 的中
点， 与 交于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】连接 、 ，利用垂径定理得到 ，再利用三角形中位线定理得到 ，接着证
明 ，得到 ，设 ，则 ， ，利用半径为5，解出x，最后在
中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图示，连接 ，交 于F，
∵D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，∴ ，
即 ，
在 中， ，．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练
掌握相关性质定理是解题的关键．
29．（20-21九年级下·浙江·期末）如图， 是⊙O的内接三角形， 是⊙O的直径．作弦
交 于点 ，连结 交 于点 ．若 是 中点， ，则 的长为（ ）
A．8 B． C． D．12
【答案】D
【分析】根据 ，可得 ， ， 可知 ,，结合条件 是
中点，进而可知 ,即可求得 ．
【详解】 ，
, ，
又 是⊙O的直径，
，
，
，
是 中点，
，
，
，
，
是半径，
．
故选D．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，由平行得 ， 是
解题的关键．
30.（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ，点F为直径 上一点，连接 并延
长交 于点G，交 于点E，若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．设 ，则 ，连接 ，
根据已知条件得到 ，根据全等三角形的判定和性质得到 ，根据等腰三角形的
性质得到 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：设 ，则 ，连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ．
故答案为：16．
31.（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图， 为 的直径，C是 上一点， D是 的中点，弦
，垂足为F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理得到 ，根据题意得到 ，结合等量代换和弧、弦、圆心角
的关系，即可证明 ；
（2）连接 ，交 于点 ，得到 ，证明 ，利用相似三角形性质和勾股定理求出 ， ， ，进而即可求出 的长．
【详解】（1）解： 为 的直径，弦 ，
，
D是 的中点，
，
，
；
（2）解：连接 ，交 于点 ，
D是 的中点，
，
为 的直径，
，
，
，
弦 ，
，
，
，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，圆周角定理，以及相似在圆中
的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径
【考点题型十二】利用相似求圆的半径
32.（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，以 的边 为直径的半圆 交 、 于 、 两点，
连接 ，若 ， ，则半圆 的半径长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得 ，可证得 ，从而得到
，再由 ，可得 ，从而得到 ，连接 ，根据 为直径，可得
，从而得到 ，进而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是半圆 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴半圆 的半径长为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判
定和性质等知识，证明 ， 是解题的关键
33.（20-21九年级上·湖北黄冈·期末）如图，已知 的边 是 的切线，切点为点 ． 经过圆
心并与圆相交于点 ， ，过点 作直线 ，交 的延长线于点 ．
（1）求证： 平分 ；（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是 0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的
OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角形的⊙性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果；
（2）过点 作 于点 ，设 ，根据已知条件可得 ， ，
，在 中利用勾股定理列方程可得结果．
【详解】
（1）证明：如图1，连接OB
∵AB是 O的切线，
∴OB⊥A⊙B，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）过点 作 于点 ，设 ．
平分 ， ， ，
，∠E=∠BFC=90°
∵CB=CB
，
∴ ，
，
在 中， ，即 ，
解得： ，即圆的半径为 ．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34.（20-21九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在△ABC中，点O是BC中点，以O为圆心，BC为直径作圆
刚好经过A点，延长BC于点D，连接AD已知 ．
(1)求证：
①AD是⊙O的切线；
②△ACD∽△BAD ；
(2)若BD＝8， ，求⊙O的半径．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)3
【分析】（1）①连接AO，根据圆周角定理得出∠BAC=90°，再由等边对等角得出∠ACO=∠OAC，结合图
形中各角之间的数量关系得出∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，即可证明结论；②直接利用相似三角形的判定
定理证明即可；
（2）由（1）②中结论得出 ， ，结合图形求解即可．
【详解】（1）①证明：连接AO，
∵BC是直径，∴∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACO=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∵∠CAD=∠B．
∴∠DAO=∠CAD+∠CAO=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
②证明：∵∠CAD=∠B，∠ADC=∠BDA，
∴△ACD∽△BAD；
（2）解：∵∠BAC=90°，
∴ ，
∵△ACD∽△BAD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径 ．
【点睛】题目主要考查切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切的定义，等边对等角等，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
【考点题型十三】利用相似在圆中求线段的比
35.（21-22九年级上·浙江舟山·期末）如图， 内接于 ， 为直径， ，点 在 （不
与 ， ， 重合）上， ，点 在直线 上，连接 ．
(1)如图1，若点 在 上，求证： ；
(2)在（1）的条件下， ， ，求线段 的长；(3)若直线 与直线 相交于点 ，当 时，求 的值；
【答案】(1)见解析
(2)
(3)1或2
【分析】(1)根据相似三角形的判定定理，寻找条件证明即可．
(2)由 ，得出 ，故 ．
(3)根据C是动点，需要分类讨论，当F点在圆内时，可连结 ，作 于点 ，因为 ，可
设 ， ，由 等腰直角三角形， 为 直径，所以得出 ，可证
出 ，故 ，即 ，因为 ，所以 即可得出
．当F点在圆外时，也需要连结 ，作 于点 ，先证明 ，得出
，再证明 最后求出 ．本题需要注意若 在 上方，方法结论都一
样．
【详解】（1）解： 为 的直径
∴
∵ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ， ，
∴ ；（2）解：∵ ， ，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）如图1，连结 ，作 于点
∵
∴可设 ，
由 等腰直角三角形，可得 ，
∵ 为直径
∴
∵
∴
∵
∴ 可证
∴
∴
∵
∴
∴ ．如图2，连结 ，作 于点
∵
∴可设 ，
由等腰直角 ，可得 ，
∵ 为直径
∴
∵
∴
∵
∴ 可证
∴
∴
∵
∴
∴
综上所述 的值为1或2．
备注：若 在 上方，方法结论都一样．【点睛】本题考查了圆，相似三角形的判定与性质，本题难度大，综合性强，解题的关键是熟练运用相似
三角形的判定性质与相似三角形对应边的比值．并通过交点的位置构造出相似三角形求解．
36.（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形 是 的内接四边形，其中 ，对角线
相交于点E，在 上取一点F，使得 ，过点F作 交 于点G、H．
(1)证明: ．
(2)如图2，若 ，且 恰好经过圆心O，求 的值．
(3)若 ，设 的长为x．
①如图3，用含有x的代数式表示 的周长．
②如图4， 恰好经过圆心O，求 内切圆半径与外接圆半径的比值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)① 的周长② 内切圆半径与外接圆半径的比值
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与圆周角定理解得即可；
（2）利用垂径定理和（1）的结论求得 、 的长，通过证明 ，利用相似三角形的性
质即可得出结论；
（3）①利用垂径定理和（1）的结论求得 、 的长，再通过证明 和 ，利
用相似三角形的性质求得 的关系式，利用三角形周长的意义解答即可;
②利用勾股定理求得 ，则 的外接圆半径可得，设 内切圆半径为r，利用①中的结论求得
和 的周长，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可求得 内切圆半径．
【详解】（1）证明：
（2）
为 的直径，（3）①
的周长
② 为 的直径
外接圆半径为在 中，
由①的结论可得：
的周长为
设 内切圆半径为r，
的周长
内切圆半径与外接圆半径的比值
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形
的外接圆半径和内切圆半径，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的性质是解题的关键．
【考点题型十四】利用相似在圆中求角的大小
37.（21-22九年级上·广东深圳·期中）如图，在 中，点D在 上， ， ，
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质：（1）先证 ，再结合 即可证明 ；
（2）先证 ，再根据相似三角形对应角相等求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
38．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图， 是 斜边 的中点， 交 于 ，垂足
为 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如果 与 相似，求其相似比；
(3)如果 ，求 的大小．
【答案】(1)见解析
(2)相似比为 ；
(3) ．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得 推出 ，利用等角的余角相等
求得 ，证明 ，即可证明结论成立；
（2）分两种情况讨论，当 时，证明 是 的中位线，据此求解；当
时，证明 是等边三角形，据此求解即可；
（3）取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，设 ，利用三角形中位线定理求得 ，证明 和 以及勾股定理，求得 和 的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵ ，
∴点H和点C对应，
当 时， ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
设 ，则 ，
由（1）知 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴相似比为 ；
当 时， ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
故 ，
设 ，则 ， ， ，
∴ ，
∵ ，∴相似比为 ；
综上，相似比为 ；
（3）解：取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，
则 是 的中位线，
∴ ， ，则 ，
设 ，
∵ ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关
键是学会利用参数构建方程解决问题
