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专题 02 全等三角形（考点清单，13 个考点清单+7 种题型解读）
【清单01】全等形的概念（重点）
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻
折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【清单02】全等三角形的概念和表示方法（重点）
1.全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点归纳：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如
下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB
和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的
角）是对应边（或角），等等.
【清单03】全等三角形的性质（重点）
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质
是今后研究其它全等图形的重要工具.
【清单04】三角形全等的基本事实：边边边（重点）
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点归纳：如图，如果A'B'＝AB， A'C' ＝AC， B'C' ＝BC，则△ABC≌△ A'B'C' .【清单05】三角形全等的基本事实：边角边（重点）
1. 全等三角形判定——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点归纳：如图，如果AB ＝ A'B'，∠A＝∠A'，AC ＝ A'C' ，则△ABC≌△ A'B'C' . 注意：这里的
角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是
有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【清单06】三角形全等的基本事实：角边角（重点）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点归纳：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△ A'B'C' .【清单07】三角形全等的推论：角角边（重点）
1.全等三角形判定——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定
两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE
不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【清单08】直角三角形全等的判定方法：HL（重点）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点归纳：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和
大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首
先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须
在两个三角形前加上“Rt”.
【清单09】常见全等三角形的基本图形
1、截长补短
有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其
中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是
将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线
段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
2、倍长中线
图一
图二图三
3、过端点向中线作垂线
4.一线三等角
模型 三垂直全等模型
B
A
D E
C
图一
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA图二
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
5、手拉手
图一 图二
图三 图四 图五
图六 图七
手拉手模型的定义：
定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉
左手，右手拉右手）3、如右图：手拉手模型的重要结论：
结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）
BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)
结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等
的等腰三角形底角相等）
结论3：AO平分∠BOC/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）
【清单10】作已知角的平分线（重点）
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
1
2
（2）分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【清单11】角的平分线的性质（重点）
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点归纳：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.【清单12】证明几何命题的一般步骤（难点）
(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
(3)在“证明”中写出推理过程
在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线
【清单13】角的平分线的判定（重点）
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点归纳：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【考点题型一】全等三角形的判定
1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知 ， ，添加以下条件中，不能使
的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可；
【详解】解：A．根据 ，可以推出 ，故本选项不符合题意；
B．根据 ，可以推出 ，故本选项不符合题意；
C．根据 ，不能判定三角形全等，故本选项符合题意；
D．根据 ，可以推出 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图， ， ，添加条件 ，可以根据“
”得到 ．
【答案】
【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据
两直线平行内错角相等推出 ，结合已知条件，若根据“ ”得到 ，则应添加
的条件为 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
若 ，则
在 和 中
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
．求证： ．【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据 证明 与 全等解答．
根据等式的性质得出 ，再根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】证明：如图，
，
，即 ，
在 和 中，
，
．
4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形 中， ，E是 的中点， 平分
．
(1)判断 、 、 之间的数量关系，并证明；
(2)若 ， ，求 和 的面积之和．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)20
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题
的关键．（ ）过点 作 于点 ，根据角平分线的性质得出 ，根据 证明 得
出 ，继续证明 得到 ，即可得出结论；
（2）根据 ，求出梯形 与 的面积即可求解．
【详解】（1）解： ，证明如下：
证明：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵DE平分 ， ， ，
∴ ，
又∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 和 的面积之和 梯形 的面积 的面积
，
，
．
【考点题型二】全等三角形的性质及其应用
5．（21-22八年级上·福建厦门·期末）如图，已知 与 ， 四点在同一条直线上，其
中 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明 可得
，进而由三角形外角性质 可得 ，即可求解，掌握
以上知识点是解题的关键．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选： ．
6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为15， 平分
．若M，N分别是 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的
关键．
如图，在 截取 ，使得 ，连接 ，证明 ，则 ，由
，可知当 三点共线，且 时， 的值最小，如图，作
于 ，则 的最小值为 ，由 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，在 截取 ，使得 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴当 三点共线，且 时， 的值最小，
如图，作 于 ，则 的最小值为 ，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ 的最小值为6，
故选：D．
7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上， ， ，
．若 ， ，则 度数为 ．
【答案】125
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的
性质是解答的关键．先根据平行线的性质得到 ，然后证明 得到
，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：125．
8．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知 ， ，求证 ．【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直接利用“ ”证明全等，再根据全等三角形的性质即
可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【考点题型三】角的平分线及尺规作图
9.（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图， 平分 ，在 上取一点 ，作 ，已知
的面积为 ，点 是射线 上一动点．则 长度的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解 ，过P点作 于H，根据角平分线的性质得到
，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵ 的面积为 ， ，
∴ ，
∴ ，
过P点作 于H，如图，平分 ， ，
，
点E是射线 上的动点，
的最小值为 ，
故选：C．
10．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）已知，如图， 中， ， ，点D、E分
别在 、 延长线上， 平分 ， 平分 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理证得 ， ，进而得出 ，从而判定 平分
，再利用外角的性质求出 即可．
【详解】解：作 于点F， 于点H， 于点G，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
11．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在 中， ，点D在 的延长
线上， 的平分线与 的平分线相交于点E，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．
根据角平分线的性质即可求得点E到 的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到 是
的角平分线，进而得到 的度数．
【详解】解：过点E分别作 ， ， ，垂足分别为H，F，G，
∵ 的平分线与 的平分线相交于点E，
∴ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知 ，求作点I，使点I到 三边的距离相
等．【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出
与 的角平分线，角平分线交点，即为所求点I．
【详解】解：所作点I如下图所示：
【考点题型四】延长垂线段构造全等
13．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，在 中， 是 的平分线， ，垂足
为D．求证： ．
【答案】详见解析
【分析】延长AD交 于点F， 是 的角平分线且 ，得到 ，则
，由三角形外角的性质得到 ，即可得到结论．
【详解】证明：如图所示，延长 交 于点F．
∵ ，
∴ ．∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明 是
解题的关键．
14．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 平分 交 于点 于点 ．
探究 ， 之间的数量关系．
【答案】 ．
【分析】延长 交 于点 ，利用 证明 ，推出 ，据此即可求解．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ．
平分 ，
．
，
．在 和 中， ，
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的
关键．
15．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 平分
交 的延长线于点 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】延长 ， 交于点 ，证 ， ，得出 ， ，及
，则 ．
【详解】解：延长 ， 交于点 ，
∵ ，
， ，
∵ ，
，
在 和 中，，
，
，
平分 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解
题的关键．
【考点题型五】截长补短构造全等
16．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在 中， ， 和 的平分线 、
相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若已知 周长为 ， ， ，
则 长为（ ）
A． B． C． D．4【答案】B
【分析】在 上截取 ，连接 ，由 可证得 ，于是可得 ，
由 可证得 ，于是可得 ，进而可求得 的长．
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
周长为 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的
判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在 中， ， 和 分别平分 和
， 和 相交于P．（1） 的度数为 ；
（2）若 ，则线段 的长为 ．
【答案】 / 度 8
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．在 上截取 ，得出
是解题的关键．
（1）利用 ，角平分线的定义即可解答；
（2）先利用“边角边”证明 ，进而得出 ，再通过角之间的等量变换，利用
“角边角”证明 ，进而得出线段之间的关系即可解答．
【详解】（1） ，
，
和 分别平分 和 ，
，
．
故答案为： ．
（2）解：如图，在 上截取 ，连接 ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为：8．
18．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于点
O，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到 ， ，在 上
截取 ，连接 ，分别证明 ， ，得到 ，即可证明
结论．
【详解】证明： ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，，
如图，在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等
三角形是解题关键．
19．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形 中， ， ，
于点 ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，延长 交 的延长线于点 ，点 在 上，连接 ，且 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 在 的延长线上，连接 ， 交 于点 ，连接 ，且
，当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）过点B作 于点Q，根据AAS证明△ 得 ，再证明四边形
是矩形得BQ=CG，从而得出结论；
(2) 在GF上截取GH=GE，连接AH，证明AH=FH，GE=GH即可；
(3) 过点A作 于点P，在FC上截取 ，连接 ，证明
得 ，可证明AC是EH的垂直平分线，再证明 和△
得 可求出 ，从而可得结论．
【详解】解：（1）证明：过点B作 于点Q，如图1
∵又 ，
∴△
∴四边形 是矩形
；
（2）在GF上截取GH=GE，连接AH，如图2，
又
（3）过点A作 于点P，在FC上截取 ，连接 ，如图3，由（1）、（2）知， ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴∠
∴
∵
∴∠
∴
∴AC是EH的垂直平分线，
∴
∴
又∵
∴
∴∠
∴∠
∵∠ ，
∴∠
∴
∵∴
∴
∵∠
∴ ，即
∴
∵ ，即
∴
在 和 中，
∴△
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【考点题型六】作垂线构造全等
20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，射线 为 的平分线，点M，N分别是边 ，
上的两个定点，且 ，点P在 上，满足 的点P的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】B
【分析】过点P作 ， ，根据角平分线的性质及全等三角形的判定即可得出结果．
【详解】解：过点P作 ， ，如图所示：∵射线 为 的平分线，
∴ ，
当DM=EN时，
此时
∴满足条件的点P只有1个，
故选：B．
【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
21．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，点D在 的平分线 上，P为 上的一点，
，点Q是射线 上的一点，并且满足 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，分类讨论；过点D作 于
H， 于N，则由角平分线的性质定理得 ；分两种情况考虑：点Q在点H的右侧时，证
明 ，则有 ；点 在点H左侧时，同理可求 ，进而
求得结果，最后综合两种情况即可．
【详解】解；如图，过点D作 于H， 于N，∵ 平分 ，
∴ ，
当点Q在点H的右侧时，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
当点 在点H左侧时，同理可求 ，
∴ ，
综上所述： 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
22．（21-22八年级上·山东日照·期末）如图，在四边形 中， ，点E是 的中点， 平
分 ．求证： 是 的平分线．
【答案】见解析
【分析】过点E作 于点H，反向延长 交 的延长线于点G，过点E作 于点F，证
明 ，可得 ，根据角平分线的性质定理可得 ，从而得到 ，再由角
平分线的性质的逆定理，即可求解．
【详解】证明：过点E作 于点H，反向延长 交 的延长线于点G，过点E作 于点
F，∵ ，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是 的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线
的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点题型七】倍长中线构造全等
23．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在 中，D为 的中点，若 ， ．则
可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解
题的关键．延长 至 ，使 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得
，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
则 ，
为 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
故选：D．
24．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知 的两边 ， 长分别为3和5， 边上的中线
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，根据延长 ，取
，连接 证明 得到 ，再利用三角形三边关系得到
，即可解题．【详解】解：延长 ，取 ，连接 ，如下图所示：
，
为 边上的中线，
，
，
，
，
， ，
，
即 ，
，
．
故答案为： ．
25．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究
活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1， 是 的中线，延长 至点 ，使 ，连接 ，求证： ．
【理解与运用】
（2）如图2， 是 的中线，若 ，求 的取值范围；
（3）如图3， 是 的中线， ，点 在 的延长线上， ，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全
等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到
，从而根据全等三角形性质即可得证；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到 ，
设 ，在 中，由三边关系即可得到答案；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示，得到 ，再由三角形全等的判定与
性质得到 ，进而可确定 ，再由全等性质即可得证．
【详解】（1）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由三边关系可得 ，即 ，
∴ ；
（3）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
26．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在
中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到 ，使 ，请补充完整证明“
”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长 到点 ，使
在 和 中
（__________）
请补齐空白处
(2)由（1）的结论，根据 与 之间的关系，探究得出 的取值范围是__________；
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】如图2， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，求
的长．
【答案】(1)已作；对顶角相等； ；
(2)
(3)6
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边
关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）延长 到点 ，使 ，由“ ”可证 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（3））延长 交 的延长线于F，由“ ”可证 ，则 ， ，证
明 ，得 ，根据 ，即可得 的长．
【详解】（1）证明：延长 到点 ，使 ，
在 和 中，
，
；
（2）由（1）得： ，且 ， ，
，
在 中， ，
；
（3）延长 交 的延长线于F，∵AD是 的中线
∴
， ，
，
在 和 中，
，
， ，
又 且
，
，
，
．
即：的长是6
