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专题 06 反比例函数 （考点清单，6 个考点清单+10 种题型解读）
【清单01】反比例函数的概念1）反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成 的
形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数 （k是常数，k 0）中x，y的取值范围
¿
反比例函数 （k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范
围也是非零实数．
【清单02】反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四
象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
【清单03】反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：
1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0且y≠0．
3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大
而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
【清单04】反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因
此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系
数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
【清单05】反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则
S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC
3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长
线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
【清单06】反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范
围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范
围为 或 ．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例
函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的
取值范围．
【考点题型一】反比例函数解析式的确定
1.（23-24九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数 是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.（21-22九年级上·广东肇庆·期末）若点 在反比例函数 的图象上，则代数式 的值为
．
4.（21-22九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 的图象经过点
和点 ，求m的值．
【考点题型二】反比例函数的图象与性质
5.（23-24九年级下·重庆大足·期末）已知反比例函数 的图象上有点 ， ， ，
则关于 ， ， 大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．6．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数 则下列结论不正确的是（ ）
A．图像必过点 B．若x>1，则
C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内
7.（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若反比例函数 的图象在每一象限内，函数值 随 值的增大
而增大，则 的取值范围是 ．
8.（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于
两点，其中点 的横坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)若点 是 轴上一点，且 ，求点 的坐标．
【考点题型三】反比例函数与实际问题
9.（22-23九年级下·全国·期末）甲、乙两地相距 ，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行
驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）A． B．
C． D．
10.（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是 ，如果B面向下
放在地上，地面所受压强为 ，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为 ．
11.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体
积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的反比例函数，其图象如图所
示．
(1)求当面条粗 时，面条的总长度是多少米？
(2)若面条的总长度要求不大于 ，那面条的粗细有什么限制？【考点题型四】反比例函数中的直角三角形
12.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图， 是反比例函数 图象上的点，过点 作 轴于点 ，
连接 ，则 的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
13．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，点P是反比例函数 的图象上任意一点，过
点P作 轴，垂足为M，若 的面积等于4，则k的值等于（ ）
A．8 B． C．4 D．
14.（20-21九年级上·北京石景山·期末）如图，A，B两点在函数 图象上， 垂直y轴于点
C， 垂直x轴于点D， ， 面积分别记为 ， ，则 ．（填“ ”，“ ”，或
“ ”）．
【考点题型五】反比例函数中的等腰三角形
15.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数 的图象上，且它们的底边都相等．若记 ， ， …
的面积分别为 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
16.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知 ， 是一次函数 的图象与反比例
函数 的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【考点题型六】反比例函数中的一般三角形17.（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点P，Q在反比例函数 的图象上，点M在x轴上，点N
在y轴上，下列说法正确的是（ ）
A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4
B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2
C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8
D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3
18.（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数 图象与反比例函数 的图象相交
于A，B两点，若 的面积等于8，则k的值是 ．
19.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，一次函数 （ 是常数）与反比例函数
在第二象限的图像交于 两点，与 轴、 轴分别交于点 点 ，且 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)连接 ，求 的面积．【考点题型七】反比例函数中的一般四边形
20.（21-22九年级上·吉林·期末）如图，在四边形OABC中，点A在x轴正半轴上， ， 轴，
D为AB边中点，双曲线 经过C、D两点，若 的面积是3，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
21.（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数 的图象上，过点A作 轴于点
B，作 轴交函数 的图象于点C，连接 ，四边形 的面积为 ．
【考点题型八】反比例函数中的矩形
22.（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，矩形 的顶点 在 轴上，反比例函数的图象经过 边的中点 和点 ，若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
23.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，点 的坐标为
，点 在点 的右侧，反比例函数 在第一象限内的图象与直线 交于点 ，交
于点 ．
(1)求 点的坐标及反比例函数 的关系式；
(2)连接 ，若矩形 的面积是27，求出 的面积．
【考点题型九】反比例函数中的菱形
24.（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数 的图
象上，菱形 的面积为8，则k的值为（ ）A． B．4 C． D．2
25.（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在x轴的正半轴
上，反比例函数 的图象经过对角线 的中点D和顶点C，则k的值为8，菱形OABC的面积为
．
26.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A
作 轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D
作 轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．【考点题型十】反比例函数中的正方形
27.（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）已知如图，反比例函数 ， 的图象分别经过正方形 、
正方形 的顶点D、A，连接 ，则 的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．1 D．5
28.（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数 和
的图象上，若 轴，点C的纵坐标为4，则 的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
29.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于
点B，四边形 是正方形，点D是反比例函数 图象上．(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
