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专题 01 三角形（考点清单，11 个考点清单+11 种题型解读）
【清单01】三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点归纳：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母
a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【清单02】三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点归纳：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
【清单03】三角形的分类
1.按角分类：
要点归纳：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点归纳：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
【清单04】三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交
语言 AD． BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
线． 1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC 中BC 边上
的高． 2．AD是△ABC中BC边 线．
上的中线． 2．AD平分∠BAC，交BC
符号 3．AD⊥BC于点D．
于点D．
语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°． 3．BD＝DC＝ BC
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以
以AD⊥BC．
推理
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以 BD＝DC＝ ∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段垂直． 1．线段相等．
用途
角度相等．
举例
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意
— 与角的平分线不同．
事项
2．不一定在三角形内．
重要 三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征
一点． 点．
【清单05】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点归纳：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【清单06】三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点归纳：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【清单07】直角三角形的性质与判定
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形
判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形
【清单08】三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点归纳：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个
外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．
另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是 180°，可推出三角形
的三个外角和是360°．
【清单09】多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：凹多边形
凸多边形
要点归纳：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
2
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
【清单10】多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点归纳：
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边
(n2) 180°
n
形的每个内角都相等，都等于 ；
【清单11】多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点归纳：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于
360°，它与边数的多少无关；
360°
n
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相
等外角的度数．【考点题型一】与三角形有关的线段
1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
即可解题．
【详解】解：由三角形定义可知，
是三角形，
故选：C．
2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在 中， ， ， 的高 与 的比是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，根据等面积法求解即可．
【详解】解∶∵ 与 是高，
∴ ，
∴ ，
故选∶B．
3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，工人师傅砌窗时，为使长方形窗框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构．
【详解】解：工人师傅砌窗时，为使长方形窗框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据三角形具有
稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
4．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图， 是 的中线，若 ， ，
，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查三角形面积公式，利用中位线求面积．根据题意可知 的面积 ，再利用三
角形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解： 是 的中线， ，
∴ 的面积 的面积 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
的长为 ．【考点题型二】与三角形有关的角
5．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图， ， ， ，则x的值为（ ）
A．80 B．120 C．100 D．140
【答案】D
【分析】本题考查三角形内角和定理，由三角形内角求得 是解决问题的关键．
【详解】解： 三角形内角和是
， ，
，即 的值为 ，
故选：D．
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在 中， 平分 交边 于点D， 交
边 于点E．若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得
，再根据角平分线的定义可得 ，再由平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故选：C．
7．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图， 和 是 分别沿着 边翻折 形成
的，若 ，则 ．
【答案】80
【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理和外角性质，先根据三角形的内角和定理，结合已知求
得 、 的度数，再根据折叠性质求得 ， 的度数，然后利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
由折叠性质得 ， ，
∴ ，
故答案为：80．
8．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ， ， 是 边上的高，
的平分线 交 于点 ．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角，关键是三角形内角和定理的应用．先根据三角形的内角和定理得到 的度数，然后根据角平分线的定义得到 的值，然后
利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
又 是 的平分线，
，
又 是 边上的高，
，
【考点题型三】多边形的内角和与外角和
9．（22-23八年级上·河北沧州·期末）一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握n边形的内角和为 、外角和是
是解题的关键．
根据多边形的内角和的计算公式与外角和是 列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得： ，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
10．（23-24八年级上·新疆阿克苏·期末）一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）.
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是 除以一个外角度数即可求
出答案．
【详解】解：多边形的外角的个数是 ，
所以多边形的边数是12．
故选：D．
11.（22-23八年级上·重庆渝北·期末）如图，在六边形 中，一个外角 的度数为 ，则．
【答案】 /610度
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据题意可求得
的度数，然后利用多边形的内角和公式计算出六边形的内角和，进而求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵六边形 的内角和为 ，
∴ ，
故答案为：
12．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知一个 边形的每一个外角都等于 ．
(1)该 边形是否一定是正 边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个 边形的内角和；
(3)从这个 边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
【答案】(1)不一定是
(2)
(3)
【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线，
（1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可；
（2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可；
（3）根据从 边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线，据此列式解答即可；
熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一个 边形的每一个外角都等于 ，
∴该 边形的每一个内角都等于： ，
但该n边形的各边不一定都相等，
故该 边形不一定是正 边形，
故答案为：不一定是；
（2）∵多边形的外角和是 ，∴ ，
∴内角和是： ，
∴这个 边形的内角和为 ；
（3）从 边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线，
∵ ，
∴ ，
∴从这个 边形的一个顶点出发，可以画出 条对角线．
故答案为： ．
【考点题型四】综合应用
13．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图，在 中， 是 边上的高， 平分 ，若
，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到 ，求
得 ，根据角平分线的定义得到 ，再根据三角形的内角和求解即可．
【详解】解：∵ 是 边上的高，
，
，
，
平分 ，
，
，
，故答案为： ．
14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图， 中， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和性质，垂直定义，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）由平行线的性质得 ，再证明 ，则 ，再计算角的等量代换，即可作
答．
（2）结合垂直定义得出 ，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
．
15．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段AD与 相交于点O，连接 ，我们把这样的图形
称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．(1)请通过观察、测量，猜想图1中 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作 与 的平分线交于点P，若 ，
求 的度数；
(3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线 ，使得 ， ，两条射线
交于点P，请直接写出 之间的数量关系．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“
字形”性质，是解答本题的关键．
（1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义得到 ， ，再根据“8字形”得到
，两等式相减得到 ，即
，即可求解；
（3）根据 ，可得 ， ，再由三
角形内角和定理和对顶角相等，可得 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
证明： ， ，
又 ，
；
（2）解： 平分 ， 平分 ，
， ，由“8字形”得到 ，
两等式相减得到 ，即 ，
，
；
（3）解： ，
， ，
， ，
由“8字形”得到 ，
， ，
，
．
【考点题型五】判断三条线段能否组成三角形
16．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）在长度分别为 、 、 、 的四条线段中选择其中的三
条，将它们顺次首尾相接构成三角形，则能构成不同三角形的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是
解答的关键．先任取3条线段，有4种组合，再根据三角形的三边关系判断取舍即可．
【详解】解：在长度分别为 、 、 、 的四条线段中选择其中的三条，有4种组合： 、
、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ，
∵ ， ， ， ，
∴ 、 、 不构成三角形，其它三种组合可以构成三角形，
故选：C．
17．（21-22八年级上·山东日照·期末）有四根长度分别是2，3，5，7的线段，从中选出三条线段首尾顺
次相接围成三角形，则三角形的周长是 ．【答案】15
【分析】根据三角形三边不等关系进行分析即可．
【详解】解：从长度为2，3，5，7的四根线段中取三根能组成三角形的只有3，5，7一种，
所以三角形的周长为：3+5+7=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角形三边不等关系，理解三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边是解题关键．
18．（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期末）下列长度的三条线段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、
10；④3、4、5．能组成三角形的是 ．（填序号即可）
【答案】④
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：①5+6＜12，不能组成三角形；
②4+4＜10，不能组成三角形；
③4+6＝10，不能组成三角形；
④3+4＞5，能组成三角形．
故答案为：④．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于
最长的那条线段就能够组成三角形．
【考点题型六】求三角形第三边的长或取值范围
19．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末） 中， ，则a的取值范围是
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
即
故选：D．
20．（22-23八年级上·广西贺州·期末）在 中，若 ， ，则第三边 的长度可以是
（ ）
A．2 B．13 C．15 D．6
【答案】D【分析】根据三角形的三边关系定理求出第三边的范围，判断即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟
记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为 ，
则 ，
即 ，
第三边 的长度可以是6，
故选：D．
21．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为
．
【答案】
【分析】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解
决问题的关键．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论．
【详解】解： 三角形的两边长分别是2和3，
第三边长 的取值范围是 ，即 ，
故答案为： ．
【考点题型七】求三角形的周长或取值范围
22．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）若三角形的两边长分别是3和4，则这个三角形的周长可能是（
）
A．7 B．8 C．9 D．14
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边是解题的关键，根据三角形的三边关系可得不等式 ，再根据三角形的周长为
，再由不等式的性质即可得出 ，进而可判断出正确的选项。
【详解】解：设第三边的长为x，
由题意得： ，即 ，
则三角形的周长为 ，
则 ，
∴7，8，9，14中，只有9符合题意
故选：C.
23．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 是 的中线，已知 的周长为 ， 比
长 ，则 的周长为 ．【答案】 /13厘米
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据题意得到 ，由三角形中线
的定义得到 ，根据三角形周长计算公式得到 ，则可推出
，据此可得答案．
【详解】解：∵ 比 长 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
24．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在 中， ， ．
(1)若 是整数，求 的长；
(2)已知 是 的中线，若 的周长为10，求 的周长．
【答案】(1) ；
(2)17
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边
之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：由题意得： ，
，
是整数，
；
（2）解： 是 的中线，，
的周长为10，
，
，
，
的周长
25．（20-21八年级上·江西上饶·期末）已知， 的三边长为 ．
(1)求△ABC的周长的取值范围；
(2)当△ABC的周长为偶数时，求x．
【答案】(1) 的周长
(2) 或
【分析】（1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到x的取值范围，再由周长定义得到周长
的范围．
（2）根据周长的范围结合周长为偶数，得到周长的值，进而得到x的值．
【详解】（1） 三角形的三边长分别为 ，
，即 ，
的周长 ，
即： 的周长 ；
（2） 的周长是偶数，由 结果得 的周长可以是 或 ，
的值为 或
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，自然数的奇偶性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【考点题型八】求最大值或最小值
26.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为 和 ，且第三边长为整数，这样的三角
形的周长最小值是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到 的取值范围，而 是整数，可
求 的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边
之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：设第三边长是 ，
∵三角形的两边长分别为 和 ，
∴ ，即 ，
∵ 是整数，
∴ ， ， ， ， ，
∴当 时，三角形的周长最小值是 ，
故选： ．
27．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在 中， 是 中点， 垂直平分
，交 边于点 ，交 边于点 ，在 上确定一点 ，使 最大，则这个最大值为（ ）
A．10 B．5 C．13 D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系．延长 交直线 于P，在 上任取一点 不与点P重合，连接
， ，根据三角形三边关系证明此时， 最大，最大值等于 长即可求解．
【详解】解：如图，延长 交直线 于P，在 上任取一点 不与点P重合，连接 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴此时， 最大，最大值等于 长，
∵D是 中点，
∴ ，
∴ 最大值 ，
故选：B．
28．（23-24八年级上·天津和平·期末）如果一个三角形的两边长分别是 和 ，第三边长为偶数，则这个
三角形周长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边”是解题的关键．利用三角形三边关系，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得
三角形的周长．
【详解】解：设第三边长为 ，由题意得： ，
，
第三边长是偶数，要使三角形周长最大，
，
该三角形周长的最大值为： ，
故答案为：
29．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1)
(2)当 时，三角形的周长最大为
【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；
（2）由（1）取最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知
，
即 ，
∴a的取值范围是 ；
（2）解：由（1）知，a的取值范围是 ，a是整数，
∴当 时，三角形的周长最大，
此时周长为： ，
∴周长的最大值是23．
【点睛】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【考点题型九】求三角形内外角平分线的夹角
30．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图所示， 是 的内角平分线， 是 的外角平分线，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质结合角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的内角平分线， 是 的外角平分线，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于它不相邻的两个
内角的和是解题的关键．
31．（20-21八年级上·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长
BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO= ∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= ∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD= （∠ACB+∠ACE）= ×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题
的关键．
32．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，点 为 内角平分线 与外角平分线 的交点，已知，求 的度数．
【答案】 ．
【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，根据角平分线的定义得到
， ，根据三角形的外角的性质得到
，进一步得出推出 ，于是得到结论．
【详解】解： 平分 ， 平分
，
，即
33．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）（1）如图①所示，已知直线 ，求证： ．
（2）如图②所示，已知直线 ，当点 在直线 下方时，判断 之间的数量关系，并
加以证明．
（3）如图③所示，已知直线 ，当点 在直线 上方时，过点 作 的角平分线 与
的角平分线 交于点 ，当 时， ______．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．证明见解析；（3）
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．正确作出辅助线是解题关
键．（1）过点B作直线 ，即可证 ，结合平行线的性质即可得出 ；
（2）过点B作直线 ，即可证 ，结合平行线的性质即可得出 ；
（3）过点B作直线 ，即可证 ，结合平行线的性质可得出 ，
．根据 ，可求出 ．再由角平分线的定义结
合三角形外角的性质可求出 ．
【详解】解：（1）如图，过点B作直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ；
（2） ．证明如下：
如图，过点B作直线 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ；
（3）如图，过点B作直线 ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的角平分线 与 的角平分线 交于点G，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点题型十】求三角形高线的夹角
34．已知非Rt△ABC中，∠A=45°，高BD、CE所在的直线交于点H，画出图形并求出∠BHC的度数．
【答案】135°或45°
【分析】分两种情况进行讨论：①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，
∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出
∠BHC=∠A，从而得解．
【详解】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
在△ABD中，∵∠A=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；
②△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，
∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC=∠A=45°，
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角
三角形两种情况讨论，如何作出图形更形象直观的解答是本题的关键．
35．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在 中， 为最大角且 ，高 和 所在的
直线交于点 ．
【探究】求 和 有什么关系，写出探究过程；
【应用】在钝角 中， ，高 和 所在的直线交于点 ，则 的度数为_____
【答案】【探究】 或 ，见解析；
【应用】
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，理解三角形的高的定义是
解决问题的关键．
依题意有以下两种情况：①当 是锐角三角形时，根据四边形的内角和定等于 得
，再根据 得 ；②当 是钝角三角形时，根据
得 ；综上所述可得出 和
之间的关系；
依题意有以下两种情况：①当 是钝角时，由【探究】可知： ，②当 是钝角
时，
根据 得 ，综上所述可得出
的度数
【详解】 和 的关系是： 或 ，
探究过程如下：∵在 中， 为最大角且 ，
∴有以下两种情况：
①当 是锐角三角形时，如图1所示：
∵ 是 的高，
∴ ，
根据四边形的内角和定等于 得： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②当 是钝角三角形时，如图2所示：
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
∵在钝角 中， ，
∴有以下两种情况：
①当 是钝角时，如图3所示：由【探究】可知： ，
②当 是钝角时，如图4所示：
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
综上所述： 的度数为 ．
【考点题型十一】求高线与角平分线的夹角
36．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图， 中， 为 的角平分线， 为
的高， ， ，那么 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 与 相交于点F，根据 ， 得 ，根据 为 的角平分线得 ，根据 为 的高得 ，可得 ，根据对顶角相等
即可得．
【详解】解：如图所示， 与 相交于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵ 为 的高，
∴ ，
∴
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知
识点．
37．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是高，已知 ，
，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理可求解 的大小，再利用角平分线的定义可求解 的度数，
由三角形的高线可得 ，利用三角形的内角和定理可求解 的度数，进而可求得 的
度数．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理的应用，三角形的高线的含义，求解 ， 的度数
是解题的关键．
38.（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， 中， 是 边上的高， ， 分别是 ，
的平分线， ， ，则 ．
【答案】 /75度
【分析】依据 是 边上的高， ，即可得到 ，依据 ， 是
的平分线，即可得到 ，再根据 中， ，可得
．
【详解】解： 是 边上的高， ，
∴ ，
∵ ， 是 的平分线，
，
，
中， ，
．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和为 以及角平分
线定义的运用是解题的关键
39．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 与 交
于点G．(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于 是
解题的关键．
（1）先根据三角形内角和求出 ，由角平分线的定义求出 ，由直角三角形两锐角互
余得 ，然后根据 求解即可；
（2）根据角平分线的定义得 ，结合三角形内角和可得
，然后根据对顶角相等即可求解．
【详解】（1）在 中， ，
．
平分 ，
．
是 边上的高，
．
∴在 中， ，
．
（2） 是 的角平分线，
，
，
∴在 中， ．
．
