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专题 03 平行四边形（考点清单，2 考点梳理+11 题型解读）
清单 01 平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
3.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等
（2）等底等高的平行四边形面积相等
5.三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
清单 02 特殊的平行四边形
1.矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.
2.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
3.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.
2. 对角线相等的平行四边形是矩形.
3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.4.直角三角形性质：由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
5.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
6.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
7.菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积 ab．（a、b是两条对角线的长度）
8.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称
中心.
9.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
【考点题型一】利用平行四边形的性质（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知在 中，对角线 、 相交于点O，
，则 等于（ ）
A．3 B．6 C．4 D．12
【答案】A
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，对角线 、 相交于点O，
∴ ．故选：A．
【例1-2】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，已知 ．
(1)实践与操作：作 的平分线交 于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)猜想并证明：猜想 与 AB是否相等，并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)相等，证明见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查角平分线的画法、平行四边形的性质等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键．
（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离
的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接交点与点A交 于点E，AE即为所求；
（2）先根据平行四边形的性质得出 ，得出 ，由角平分线的性质得出
，所以 ，即可证明．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）相等，证明如下：
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1-1】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， 平
分 交 于点 ，求 的长．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质
和角平分线的定义得出 ．根据四边形 为平行四边形可得 ，根据平行线的性
质和角平分线的定义可得出 ，继而可得 ，然后根据已知可求得 的长度．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
．
【变式1-2】（22-23八年级下·云南·期末）如图，在 中，点E，F分别在边 和 上，且
，求证： ．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得 ，
，结合已知条件进而证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形
，
在 和 中．
【考点题型二】利用平行四边形的判定（ ）
【例2-1】（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形 中， ，要使四边形 为平
行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形的判定方法解答即可．
【详解】解： 在四边形 中， ， ，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
可添加的条件是： ；
在四边形 中，
，
∴四边形 是平行四边形；
∴可添加条件 ；
故答案是： （答案不唯一）.
【例2-1】（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段 与 相交于点 ，分别过点 ， 作 的
垂线，垂足分别为 ， ，且 ， ，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形 为平
行四边形．【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题
的关键．先用 证明 得 ， ．再根据 得出 ，即可由平
行四边形的判定定理得出结论．
【详解】证明： ， ，
．
在 与 中， ，
．
， ．
又 ，
．
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
【例2-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人
在绘制时会保证四边形停车位 的边 ，边 ，且 ．求这个四边
形停车位的面积．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、平行四边形性质和判定的应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含 直角三角形的性质，先判定四边形 是平行四边形．过点 作 ，交 的延长线于点 ．由平行四边形的性质可得出
，进而可得出 ，由直角三角形两锐角互余可得出 ，由含 直角三角形
的性质得出 ，由勾股定理求出 ，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，
得 ，
∴ ，
即这个四边形停车位的面积是 ．
【例2-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网
格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．(1)在图①中以 为边画一个面积为2的平行四边形 ．
(2)在图②中以 为边画一个面积为3的平行四边形 （菱形除外）．
(3)在图③中以 为边画一个面积为5的平行四边形 （正方形除外）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方
形的判定是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的判定进行画图即可；
（2）根据平行四边形的判定进行画图即可；
（3）根据平行四边形的判定进行画图即可．
【详解】（1）解：如图：平行四边形 即为所求．
（2）解：如图：平行四边形 即为所求．
（3）解：如图：平行四边形 即为所求．【变式2-1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，
使四边形 为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．AB＝AD C． D．
【答案】D
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题
的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由 ，不能判定四边形 为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故
本选项不符合题意；
B、由 ，不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
，
∴不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
D．∵ ，
，
，
，
，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知 ， ， ，给出下面四个结论： 其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形
是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可
【详解】解：∵ ，即 且
∴四边形 是平行四边形，
∴ 故①正确；
∵
∴
∴
∵
∴
又 ，即
∴四边形 是平行四边形，
∴ 故②正确；
设 间的距离为 ，
∴
∴ 故③正确；
又
∵∴ 故④正确；
综上，正确的绪论是①②③④，共4个，
故选：D
【变式2-3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连
接 并延长交 于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ，则阴影部分的面
积为 ．
【答案】17
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、线
段中点的有关计算
【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，连接 ，根据平行四边形的性质，则 ， ，根据点 是 的中点，则
，根据全等三角形的判定和性质，则 ， ，再根据平行四边形的判定和性
质，则四边形 是平行四边形，得到 ，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形
是平行四边形， ，根据阴影部分的面积为： ，即可．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ．
故答案为： ．
【变式2-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ， ，点 、 在 上，且
．
(1)求证： ；
(2)试证明：以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法．
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得 ；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得 ，则 ，所以根据平行线
的判定可以证得 ．由全等三角形的对应边相等证得 ，则易证得结论．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）连接 、 ．
由(1)知， ，
， ，
，
，
又 ，
以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．
【变式2-5】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 中，点E、F在对角线 上，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接 交 于 ，根据平行四边形对角线互相平分
得到 ， ，再证明 ，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论．
【详解】证明：连接 交 于 ，如下图，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，即 ，
四边形 为平行四边形．
【变式2-6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）实践操作：如图，在 正方形网格中，每个小正方
形的边长都为 ，线段 的端点都在格点上，点 不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
(1)请将图中线段 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，画出平移后的线段 （点 、 分别对应
点 、 ）；
(2)在（1）的条件下，连接 、 ，过点 作一条直线平分四边形 的面积，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】无刻度直尺作图、平行四边形性质和判定的应用、平移(作图)
【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、作图—平移变换、平行四边形的判定与性质，解题关键是
熟练掌握用无刻度直尺作图．（1）按照题目要求找到点 和点 平移后对应的格点后相连即可求解；
（2）根据题目要求，连接 、 后，利用平行四边形的性质找到平行四边形的对角线交点与 点相连
即可．．
【详解】（1）解：如图， 即为所求：
（2）解：如图，连接 、 后，连接点 和 、 交点即可得到符合条件的直线：
根据平移的性质， 且 ，
四边形 是平行四边形，
则根据平行四边形的性质可得，过对角线交点的直线能够平分该平行四边形面积，
点 和对角线交点所在直线即为符合条件的直线．
【考点题型三】三角形中位线（ ）
【例3】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，在 中，点 是边 的中点，点 ，G在边 上，
， 交 于E， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、三线合一
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理．
（1）根据等腰三角形三线合一得到 ，再利用三角形的中位线定理证明 ，再加上条件可证出结论．
（2）先证明 ，再证明 ，可得到 ．
【详解】（1）证明： ， ，
．
又 是边 的中点，
∴ ，
为 的中位线，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
、 分别是 、 的中点，
，
，
．
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线 ，点A，B固定在直线 上，C是直线 上一动
点．若E，F分别为 的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（ ）
①线段 的长；② 的周长；③ 的面积；④ 的度数．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】利用平行线间距离解决问题、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定
理是解题的关键．判断出 长为定值， 到 的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据
运动得出 不断发生变化、 的大小不断发生变化，即可判断②④．
【详解】解： 、 为定点，
长为定值，
点 ， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
为定值，故①正确；
点 ， 为直线 上定点，直线 ，
到 的距离为定值，
是 的中位线，
，
到 的距离为定值，
又 为定值，
的面积为定值，故③正确；
当 点移动时， 的长发生变化，
则 的长发生变化，
的周长发生变化，故②错误；
当 点移动时， 发生变化，则 发生变化，故④错误；
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，
设 的中点分别为点M，N，测得 米，可求出A，B两点之间的距为（ ）
A．32米 B．24米 C．20米 D．18米
【答案】A
【知识点】三角形中位线的实际应用
【分析】本题考查三角形的中位线的应用，根据三角形的中位线性质得到 ，进而求解即可．【详解】解：∵ 的中点分别为点M，N，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
故选：A．
【变式3-3】（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图， 中， ， ，D，E分别为
上的点， ，F，G分别为 ， 的中点，连 ，则 的长度是 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形、证明
四边形是平行四边形
【分析】取 的中点 ，连接 ， 并延长交 于点 ，交 于点 ，根据三角形中位线定理得出
， ， ， ，证明四边形 是矩形，再根据勾
股定理求解即可．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， 并延长交 于点 ，交 于点 ，
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
， ， ， ，
四边形 是平行四边形，，
四边形 是矩形，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理
等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到 是解答本题的关键．
【考点题型四】矩形的性质与判定（ ）
【例4-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形 中， 和 相交于点 ， 于点
，若 ，则 的度数为 （用含 的式子表示）．
【答案】
【知识点】利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握矩
形的性质．由矩形的性质可得： ， ，得到 ， ，
结合 ，推出 ，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解： 在四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．【例4-2】（24-25八年级下·全国·期末）图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在
矩形 的对角线 上，若测量得时钟的长 为 ，则时钟的另一边 的长为 cm．（结
果保留根号）
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、钟面角
【分析】此题考查了矩形的性质、钟面角、含 角直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和直
角三角形的性质是解题的关键．过点O作 ，垂足分别为点 ，根据题意得到
，求出 ，进一步得到 ，则 ，即可求
出答案．
【详解】解：过点O作 ，垂足分别为点 ，
由题意可得， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：【例4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）矩形的两条对角线的夹角为 ，对角线的长为 ，则矩形
的面积为 ．
【答案】16
【知识点】含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求面积、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、含 的直角三角形性质和三角形面积公式等知识，先由
题意得到 ， ，过点 作 于 ，如图所示，构造直角三角形，在
中，结合矩形性质及含 的直角三角形性质得到 ，最后由三角形面积公式表示出
矩形面积代值求解即可得到答案，熟记矩形性质、含 的直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，如图所示：
， ，
过点 作 于 ，如图所示：
在矩形 中， ，
在 中， ， ， ，则 ，
矩形的面积为 ，
故答案为：16．
【例4-4】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图， ， ，点A在 上，四边形
是矩形，连接 ， 交于点E，连接 交 于点F．(1)求证： ．
(2)若点G是线段 的中点，补全图形并求证： 为等腰直角三角形．
(3)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)补全图形见解析，证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、二次根式的除法、三线合一
【分析】（1）证明 ，再利用等腰三角形的三线合一可得结论；
（2）先证明 ，可得 ，再证明 （ ）．可得 ，
．再进一步可得结论；
（3）证明 ，结合 ．可得 ，设
，可得 ，再进一步可得答案；
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
（2）证明：如图，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点G是线段 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （ ）．
∴ ， ．
∴ 为等腰三角形．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ 为等腰直角三角形．
（3）解：∵ ， ， ，
∴ （等腰三角形的三线合一），
由（2）可知， ．
∴ ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，二
次根式的除法运算，掌握基础几何图形的性质是解本题的关键.
【例4-5】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在 中，点E在边 上，点F在边 上，，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，矩形的判定，是解决问题的关键．
（1）根据平行四边形性质得到 ，结合 ，推出 ，即得
；
（2）根据平行四边形性质得到 ，结合 ，得到 ，推出四边形 是
平行四边形，根据 ，即得 是矩形．
【详解】（1）∵ 中， ，
且 ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 中， ，
且 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ 是矩形．
【变式4-1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）长为 ，宽为 的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】二次根式的乘法、二次根式的应用、根据矩形的性质求面积
【分析】本题主要考查了二次根式乘法的应用，熟练掌握二次根式的乘法的运算法则，根据矩形面积等于
长乘以宽，列出式子，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：矩形的面积是 ，
故选：B．
【变式4-2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形 为平行四边形，延长 到E，使
，连接 ， ， ，添加一个条件，不能使四边形 成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解
题的关键．
先证明四边形 为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
A.∵ ， ，
∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵ ，
∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵ ，∴ ，
∴ 为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【变式4-3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形 中， ，点F是边 上的一点，
且 ，连接 ， 的垂直平分线交 的延长线于点E，交 于点P，连接 交 于点H，点
H为边 的中点，则 的长为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解
三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌
握性质是解题的关键．根据线段中点的定义得到 ，然后证明 ，设 ，根据题
意得到 ，然后列出方程求出 即可得到答案．
【详解】解：矩形 中， ，点 为边 的中点，
， ，
在 和 中，
，
，
，
设 ，
则 ，
在 中， ，
，的垂直平分线交 的延长线于点 ，
，
，
解得 ，
故 ，
故选：C．
【变式4-4】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图， 是矩形 的一条对角线， ，依据
尺规作图的痕迹， 与 的交点为 ，则 的度数是 （用α的代数式表
示）．
【答案】
【知识点】利用矩形的性质求角度、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，设 与
交于点 ，由作图可得： 平分 ， 垂直平分 ，从而得出 ， ，
由矩形的性质得出 ，推出 ，即可得解．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ，
由作图可得： 平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-5】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是
， ， ，对角线交点为 ，则点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、 求矩形在坐标系中的坐标、坐标与图形
【分析】根据题意，可得 ，由中点坐标公式直接求解即可得到答案．
【详解】解：四边形 是矩形， 三点的坐标分别是 ， ， ，
，
矩形 对角线交点为 ，
由平面直角坐标系中中点坐标公式可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．
【变式4-6】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形 为平行四边形，延长 到 ，使
，连结 ， ， ，要使四边形 成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出
一个条件即可)【答案】 （或 或 等）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形 为平行四边形是解题
的关键．先证明四边形 为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
， ，
又 ，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
添加 ，
为矩形；
添加 ，
，
为矩形；
添加 ，
，
为矩形．
故答案为： （或 或 ）
【变式4-7】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平行四边形 中， ， 经过
中点O，分别交 于点M，N，连接 ，且 ．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2) ．
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求
解
【分析】（1）由平行四边形的性质推出 ，得到 ，判定四边形 是平
行四边形，再根据 ，即可证明四边形 为矩形；
（2）利用直角三角形的性质结合勾股定理求得 、 和 的长，再利用矩形的性质求得 ，
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
∴ ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
由（1）知四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．证明四边形是矩形是解题的关键．
【考点题型五】直角三角形斜边上的中线（ ）
【例5】（22-23八年级下·北京朝阳·期末）如图，四边形 是矩形（ ）， 的平分线交
于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2) 是 的中点，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、斜边的中线等
于斜边的一半
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得出 ，再证明 ，等量代换即可得出答案；
（2）依题意补全图形，线段 之间的数量关系是： ．连接 ，先证
明 ，再证明 ，进而得出 ，根据 ，
即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，；
（2）解：线段 ， ， 之间的数量关系是： ．
证明：连接 ， ， ．
在 中， 是 的中点，
，
， ，
，
， ，
∵ ，
，
， ，
，
，
，
．
【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，C为平面内
一点且 ，连接 ，点P为 的中点，则 的最大值为 ．【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、已知两
点坐标求两点距离
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线，三角形中位线，连接 ，取 中点 ，连接 ，
，根据勾股定理求出 ，利用斜边中线得到 ，利用 为 中
位线，得到 ，最后根据 求最大值即可．
【详解】解：连接 ，取 中点 ，连接 ， ，
∵在平面直角坐标系中，点 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 斜边中点，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴ 为 中位线，
∴ ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时， 最大，
故答案为： ．
【变式5-2】（22-23八年级上·江苏宿迁·期末） 中， ， 点D为 的中点，若，则
【答案】
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得 ．
【详解】∵ ， 点D为 的中点，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式5-3】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知 中， ， ， ，
， 是 边上的两个动点，其中点 从点 开始沿 方向运动，且速度为 ，点 从点
开始沿 方向运动，且速度为 ，它们同时出发，设运动的时间为 ．
(1)出发 后，求 的长；
(2)当点 在边 上运动时，出发几秒钟， 是直角三角形？
(3)当点 在边 上运动时，直接写出能使 成为等腰三角形的 的值 ______．
【答案】(1)
(2) 秒或 秒
(3) 或 或
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、二次根式的应用、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查的是三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，分类
讨论的思想.解题的关键在于用时间 表示相应的线段以及是否能利用等腰三角形进行分类讨论.
（1）根据题意求出 和 长度，再根据勾股定理即可求出 长度；
（2）用 分别表示出 和 长度，由 是直角三角形，分 或 ，两种情况讨论即可；
（3）用 表示出 长度，分三种情况讨论即可求出答案.
【详解】（1）解：当 时， ， .
，
，
如图，在 中，
由勾股定理可得， ；
（2）解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
由题意可知当点 在边 上运动时， ，即 ，
设出发 秒， 是直角三角形，则 或 ，
∵ ，
∴ ，
当 时，如图，则 ，
此时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： ；
当 时，点 与点 重合，此时， ，
综上，当点 在边 上运动时，出发 秒或 秒时， 是直角三角形；
（3）解：由（2）知 ，
当点 在 上运动时，
∵ ，
∴ ，
①当 时，过 作 于点 ，
则 ，
在 中， ，可求得 .
在 中，由勾股定理可得 ，即 ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去）；
②当 时，
则 ，
解得 ；
③当 时，则 ，，
，
，
，即 ，
解得 ；
综上，当点 在边 上运动时，使 成为等腰三角形的 的值为 或 或 .
【考点题型六】菱形的性质与判定（ ）
【例6-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形 中， ．已知 的周长
是12，则菱形 的周长是（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质；根据菱
形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证 是等边三角形，即可求出菱形的边长，即可求出周
长．
【详解】解： 四边形 是菱形， ，
， ，
是等边三角形，
，
的周长是12，
，
菱形 的周长是 ，故选： ．
【例6-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在 的两边上分别截取 ，使 ：
再分别以点A，B为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点C；再连接 ．若 ，
，则四边形 的面积是（ ）
A． B．6 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查作图-基本作图、菱形的判定与性质，由尺规作图可得， ，即可得四
边形 为菱形，根据菱形的性质可得答案．
【详解】解：由尺规作图可得， ，
四边形 为菱形，
，
四边形 的面积为
故选：C．
【例6-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示， 中，E、F、D分别是 上的中
点，要使四边形 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在 基础上
添加）
【答案】
【知识点】添一个条件使四边形是菱形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解
题的关键．
先根据三角形的中位线得到 可得四边形 是平行四边形；再根据菱形的判定可知 ，即可解答．
【详解】解：∵ 中，E、F、D分别是 上的中点，
∴
∴四边形 是平行四边形，
要使四边形 是菱形，则 ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【例6-4】（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点
B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是
解题的关键．
（1）先证四边形 是平行四边形，再由菱形的性质得 ，则 ，然后由矩形的判定
即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 ， ， ，由勾股定理得 ，则 ，
然后由矩形的性质得 ，由勾股定理求得 即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，∴ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：如图，连接 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ．
【例6-5】（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点O，若四边形 是矩形， 交 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质：
（1）先证明四边形 是平行四边形，矩形的性质得到 ，即可得证；
（2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出 的长，利用菱形的面积公式求解
即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积
【变式6-1】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四
边形 ，若测得 ， 之间的距离为 ， ， 之间的距离为 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，连接 相交于点 ，过点 作 于 ，
于 ，由题意可得 ， ， ，可得四边形 是平行四边形，进而
由平行四边形的面积可得 ，即得到四边形 是菱形，再利用菱形的性质即可求解，掌握菱形
的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接 相交于点 ，过点 作 于 ， 于 ，
∵四边形 由两张等宽的纸条重叠在一起形成的，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【变式6-2】（24-25八年级下·全国·期末）已知一菱形的边长为4，则其周长为 ．
【答案】16
【知识点】利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，即可得出结果．
【详解】解：菱形的周长为 ．
故答案为：16．
【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点O，平分 ，过点B作 交 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的
性质与判定求角度
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握
以上知识点，
（1）根据 平分 ，得到 ，结合四边形 是平行四边形，证出 ，
，得出四边形 是菱形，即可得 ．
（2）根据四边形 是平行四边形，得到 ，根据勾股定理得出 ，设 ，则
，即可求解；
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
，
∵ ， ，，
，
设 ，则 ，
解得： ，
．
【变式6-4】（22-23八年级下·广东惠州·期末）如图：在菱形 中，对角线 交于点O，过点
A作 于点E，延长 至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)80
【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质
证明
【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证四边形 是平行四边形，再证 ，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形
即可证明结论；
（2）由矩形的性质得 ，然后在 中，由勾股定理得 ，
求出 ，然后根据菱形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形．
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【考点题型七】正方形形的性质与判定（ ）
【例7-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ，
于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、直角三角
形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到 ， ，推出 由 ， 得到
，继而得到 ，推出 ，得到 ，
推出 ， ，求出 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：B．
【例7-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计
基础是 多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（ 、 、
、 ）拼成大正方形 ，中空的部分是四边形 ，连接 ， 相交于点 ，
与 相交于点 ，若 ，且大正方形 边长为 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【知识点】以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质与判定求面积、全等三角形综合问题、用勾股定理
解三角形
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，灵活运用知识点推
理证明是解题的关键．
记 和 交于点 ，根据正方形的性质，利用 证明 ，利用 证明 ，
设 ，结合勾股定理推出
，根据大正方形 边长为 ，得出
，求出 ，即为四边形 的面积．
【详解】解：如图，记 和 交于点 ，
∵四个全等的直角三角形（ 、 、 、 ）拼成大正方形 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
，即 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵大正方形 边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
故选：D．
【例7-3】（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ，．过点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点E作 于点M， 于点N，先根据正方形的性质证明四边形 是矩
形，进一步证明 ，可得 ，再根据正方形的判定，即可证得答案；
（2）连接 ，先证明 ，可证明 ，并求得 的长，进一步证明 ，
并求得 的长，再利用勾股定理可求得 的长，最后在 中，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：过点E作 于点M， 于点N，
四边形 是正方形，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
矩形 是正方形；（2）解：连接 ，
四边形 和 都是正方形，
， ， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
正方形 的边长为 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构
造全等三角形是解题的关键．【变式7-1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）在正方形 外侧作等边 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度、等边对等角
【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的
关键；由四边形 是正方形， 是等边三角形，得到 ， ，得
是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到 ，即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
又 是等边三角形，
， ，
∴ ，
是等腰三角形， ，
．
∴
故选：C．
【变式7-2】（23-24八年级下·山东济宁·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三
角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为 的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边
形（图中⑥）的面积是 ．【答案】8
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据正方形的性质求面积、用七巧板拼图形
【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质．根据平行四边形和三角形的面积公式即可得图中⑥的面
积．
【详解】解：如图， ，
∵ ，
∴平行四边形（图中⑥）的面积是 ，
故答案为：8．
【变式7-3】（22-23八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，G为对角线 上一点，连接 、
，E是边 上一点，连接 交 的延长线上于点F，且 ，若 ，则 的度
数是 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质求角度、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查正方形的性质及全等三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识，由正方形性质可知， ， ， ，易证 ，则
，过点 作 交 于 ，则 ，可证 ，得 ，证得
，可知 ，即 为 的中点，得 ，可知 ，
进而可得答案．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，
过点 作 交 于 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式7-4】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P是边长为4的正方形 的边 上任意一点，
过B点作 于点G，过C点作 于点E，连接 ．(1)如图1，若点P是 的中点，求 的长；
(2)如图2，当点P在 边上运动时（不与B、C重合），求证： ；
(3)当 __________时， 是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股
定理解三角形
【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出 的值，再根据三角形的面积求出 ，然后证明
，即可得出 的值；
（2）在 上取一点F，使 ，连接 ，先证明 ，可得 ，
再根据等量代换得 ，最后根据等腰三角形和勾股定理求出解；
（3）根据等腰三角形的性质和“角边角”可得 ，利用 ，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵P是 的中点，
∴ ．
根据勾股定理，得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 上取一点F，使 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
即 ；
（3）当 时， 是等腰三角形．
连接 ，延长 交 的延长线于点M，连接 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，作出辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
【考点题型八】中点四边形（ ）
【例8】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形 的对角线 于点O，点E，F，G，H分别为边 和 的中点，顺次连接 和 ，得到四边形 ．若
，则四边形 的面积等于（ ）．
A．30 B．35 C．40 D．60
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得
到 、 成为解题的关键．
先根据三角形中位线得到 、 ，再判定平行
四边形 是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵点E，F分别为边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是矩形，
∴矩形 的面积为： ，即四边形 的面积为30．故选：A．
【变式8-1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形 各边中点得四边形 ，
要使四边形 为菱形，添加的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩
形的判定定理是解题的关键．
根据中点四边形可得四边形 是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添
加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
依题意， ．
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
A．添加 ，则四边形 为矩形，故该选不符合题意；
B．添加 ，可得四边形 为菱形，符合题意；
C．添加 ，可得四边形 为矩形，故该选不符合题意；
D．添加 ，则 ，可得四边形 为矩形，故该选不符合题意；
故选：B．
【变式8-2】（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形 中，点 ， ， ， 分别为 ，
， ， 的中点．若 ， ，则四边形 的周长为 ．【答案】20
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及菱形的判定与性质，连接 ，证明四边形
是菱形，由勾股定理得 ，从而可得结论
【详解】解：连接 ，如图，
∵四边形 是矩形，
∴
∵点 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点．
∴ 分别是 的中位线，
∴
∴
∴四边形 是菱形，
在 中， ， ，
∴
∴菱形 的周长 ,
故答案为：20
【变式8-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形 ，(1)如图（1），若 ，点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，判断四边形
的形状，并说明理由．
(2)如图（2），若 于 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)四边形 是菱形，证明见解析
(2)52
【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解
题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到 ， ， ， ，得到
，根据菱形的判定定理证明；
（2）根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，
理由如下： 点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，
、 、 、 分别为 、 、 、 的中位线，
， ， ， ，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解： ，
，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，．
【考点题型九】四边形中的线段最值问题（ ）
【例9】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）
题是这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相
等吗？
（1）直接判断： （填“ ”或“ ” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，垂足为 ．
那么 与 相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形 的对角线 上时，连接
，将 沿着 翻折，点 落在点 处．
①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②
【分析】（1）证明 即可得出结论；
（2）过点 作 ，证明 ，由此可得 ；
（3）①如图3，连接 ，证明 ，所以 ， ；由折叠可知，
， ，由四边形内角和和平角的定义可得 ，所以 ，则
，所以四边形 是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得
结论；
②作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，可证明 ，由此可得；易证 是等腰直角三角形，所以 ，则 ，可得
，则 ；作 关于 的对称点 ，则 ，可得
，求出 的值即可得出结论．
【详解】解：（1） ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
如图2，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
四边形 是正方形，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①如图3，连接 ，
由（2）的结论可知， ，
四边形 是正方形， 是正方形的对角线，
， ，
，
，
， ，
由折叠可知， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形，
，菱形 是正方形；
②如图4，作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，
，
由上知四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
， ；
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
如图4，作 关于 的对称点 ，则 ，过点 作 交 延长线于点 ，
则 是等腰直角三角形，
，即当 ， ， 三点共线时， 最小，最小值为
的长．
，，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角
形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式9-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形 中，点E、F、G分别在 、 、
上， ， ， ， ， 与 交于点P．连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 于点 ，取 的中点 ，连接 、 ，根据正方形的性质证明
≌ ，然后根据直角三角形性质可得 ，当 、 、 共线时， 有最小值，根据勾
股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，取 的中点 ，连接 、 ，四边形 是正方形，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形， 是 的中点，
，
， ，
，
，
，
当 、 、 共线时， 有最小值，
， ，
，，
的最小值为 ．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证
明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到 ≌ ．
【变式9-2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形 中，点P是对角线 上一动点，
于点E， 于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为 中点时，则 ；
② ；③ ；④若 ，连接 ，则 有最小值为2；⑤
若 ，连接 ，则 的最大值为 ．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接 ，等
积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接 ，过点 作
，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接 ，过点 作 ，利用含30
度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可．
【详解】解：菱形 ，
∴ ，
连接 ，当P为 中点时，则： ，
∵ 于点E， 于点F，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
， ，
∴ ，
∴ ；故②正确；
∵ 于点E， 于点F，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；故③正确；
连接 ，过点 作 ，则 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，
∵ ，
∴当点 与点 重合时， 的值最小为 的长，
∵ ，且 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故④错误；
连接 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ 的最大值为 ；故⑤错误；
故选B．
【变式9-3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形 中， ，点 ， 分别
是 ， 的中点， ， 相交于点 ， 为 上一动点， 为 的中点，下列结论：①；② ；③线段MN的最大值是 ；④线段MN的最小值是 ．其中正确的是
．（只填写序号）
【答案】 /
【分析】②由矩③形③的②性质推出 ， ， ，判定四边形 是矩形，推出
， ， ，得到 ， ，而 ，得到 ，又
，得到 ，由三角形中位线定理推出 ，当 与 重合时， 的值最
小，当 与 重合时， 的值最大，求出 的最小值是4， 的最大值是 ，即可求出 的最小
值和最大值．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ， ，
点 ， 分别是 、 的中点，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
， ，
，
，，
故①不符合题意；
，
，
故②符合题意；
连接 ，
是 中点， 是 中点，
是 的中位线，
当 与 重合时， 的值最小，当 与 重合时 最大，
正方形的边长是4， 是等腰直角三角形，
，
的最小值是4， 的最大值是 ，
的最小值是 ， 的最大值是 ，
故④不符合题意，③符合题意，
其中正确的是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形
是矩形，由三角形中位线定理推出 ，明白当 与 重合时， 的值最小，当 与 重
合时 最大．
【变式9-4】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）如图，已知， ， ， ，D是平面内的
一个动点，且 ，连接 ，点E是 的中点，连接 ，则 的最大值与最小值的差为
．【答案】
【分析】延长 到点F，使得 ，连接 ，由中位线定理得到 ，由勾股定理
求出 ，由D是平面内的一个动点得到 ，求出 ，当且仅当C、
D、F三点共线时， 有最小值 ， 有最大值 ，由 得到 的最
小值为 ， 的最大值为 ，即可到 的最大值与最小值的差．
【详解】解：延长 到点F，使得 ，连接 ，
∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵D是平面内的一个动点，
∴ ，
∴ ，即 ，
当且仅当C、D、F三点共线时，
有最小值 ， 有最大值 ，∵ ，
∴ 的最小值为 ， 的最大值为 ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、最短路径问题等知识，熟练掌握勾股定理、三角形中
位线定理是解题的关键．
【变式9-5】（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形 中， ，点E为
边上一点，连结 交对角线 于点F．
(1)如图，若 ， ，求 的长度；
(2)如图，若 ，点G，H为 边的两点，连接 ， ， ，且满足
．求证： ．
(3)如图，若 ， ，将 沿射线 方向平移，得到 ，连接 ， ，当
的值最小时，请直接写出 的最小值．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）过点E作 ，垂足为H，根据已知求出 ，再由30度直角三角形性质求
出 ，进而由勾股定理求出 ， ，由 即可解题；
（2）延长 、 交于点M，在 上取点N，使 ，通过 是等边三角形证明
，得 ，再证明 即可得出结论；
（3）方法1：延长 到Q，使 ，作等边 ，在PQ上取一点M，使 ，连接 、
、 ，通过 可得 ，再证明四边形 是平行
四边形，可得 ，进而可得 ， ， 三点共线，此时 ，值最小．
方法2：如图， 与 交于点M，连接 、 、 、取BC的中点 ，连接 、 ，作
，利用四边形 是平行四边形，可得 ，根据菱形的对称性可得
，由中位线定理可得 ，进而将所求转化为
，求出 的最小值即可解题．
【详解】（1）解：过点E作 ，垂足为H，
∵在平行四边形 中， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即：
∴ ， ，
∴在 中， ，∴ ；
（2）证明：延长 、 交于点M，在 上取点N，使 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：延长 到Q，使 ，作等边 ，在PQ上取一点M，使 ，连接 、 、
，∴ ，
由平移可知， ，且 ，
∵ ， ，由（1）可知 ，
∴ 是等边三角形， ， ，
∴在平行四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵在等边 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴ ，
过点Q作 ，垂足为H，
∵在等边 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 取得最小值 ，
此时，如图，
∵当 ， ， 三点共线时， 交BD于K，
∴
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
即：当平移将 沿射线 方向平移 个单位时， ， ， 三点共线，此时 ，值最
小，
∴ 最小值为： ．
（方法2：如图， 与 交于点M，连接 、 、 、取BC的中点 ，连接 、 ，作，
由方法1可知： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由平移可知， ，且 ，
又∵在平行四边形 中， ， ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵由方法1可知：平行四边形 是菱形，
∴ 垂直平分线 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、M、N三点共线时， 最小，此时 最小，最小值为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，
平移的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质、线段和最值等知识，涉及知识点较多，
综合性强，综合运用以上知识是解题的关键．【考点题型十】特殊平行四边形折叠问题（ ）
【例10】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，
出示如图 所示的长方形纸条 ，其中 ， ．然后在纸条上任意画一条线段
，将纸片沿 折叠，直线 与直线 交于点 ，得到 ．如图 所示：
【基础回顾】
(1)在图 中，若 ， ；（直接写出答案）
【操作探究】
(2)改变折痕 位置， 始终是______三角形，请说明理由；
(3)爱动脑筋的小明在研究 的面积时，发现 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快
研究出 的面积最小值为 ，此时 的大小可以为______；
【拓展延伸】
(4)小明继续动手操作进行折纸，发现了 面积存在最大值，请你求出这个最大值．
【答案】(1) ；
(2)等腰 ，理由见解析；
(3) 或 ；
(4) ．
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出 的度数，再根据平角求出 的度数，最后根
据平行线的性质即可求解；
（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出 ；
（3）利用当 的面积最小值为 时， ，则可证明 ， ，从而即可求
出 ；
（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点 与 重合，此时点 也与 重合；情况二：将矩形纸片沿对角线 对折，此时折痕即为 两种情况讨论求解．
【详解】（1）如图 ，
由折叠性质可知， ，
∴ ，
∵四边形是长方形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）等 腰，理由：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵将纸片沿 折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（3）如图2，当 的面积最小值为 时， ，
∴ ，
∵ ， ，∴
同理：
故答案为： 或 ；
（4）分两种情况：情况一：如图 ，将矩形纸片对折，使点 与 重合，此时点 也与 重合，设
，则 ，
由勾股定理得 ，
解得 ．
∴ ，
∴ ．
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线 对折，此时折痕即为 ，设 ，则
，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ．
综上： 的面积最大值为 ．
【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注
意分类思想的运用．
【变式10-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形 中，点M在边 上，先将矩形
纸片 沿 所在的直线折叠，使点D落在点 处，与 交于点N．之后再将矩形纸片 折叠，
使 恰好落在直线 上，点A落在点 处，点B落在点 处，折痕为 ．若 ， ，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得
出 ，根据等腰三角形的判定得出 ；根据折叠和平行线的性质得出
，根据等腰三角形的判定得出 ，证明 ，设 ，在
中，利用勾股定理求出 的值，最后求出结果即可．
【详解】解：∵矩形纸片 沿 所在的直线折叠，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由四边形 折叠得到四边形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故选：C．
【变式10-2】（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，把正方形纸片 沿对边中点所在的
直线对折后展开，折痕为 ，再过点 折叠纸片，使点 落在 上的点 处，折痕为 ．若 的长
为2，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据折叠和正方形的性质求出 ，再利用 求解即可．
【详解】解：由题意得：
由折叠性质可得： ，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，先求出 是关键．
【变式10-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形 中， ，点 在边 上，且
．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点 ，连接 、 ．有以下结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤图中与 相等的角有 个．其中，正
确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）．【答案】①②④
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 ；根据角的和差关系求得
；在直角 中，根据勾股定理可证 ；通过证明 ，
由平行线的判定可得 ；求出 ，由 即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
设 ，
则 ，
中， ，
解得 ，
则 ，
∴ ，
∴②正确；
由②可知，在 中， ，
则 ，
由图可知： 与 是同高，
所以它们的面积比会等于底边之比，即 ，∴ ，
∴③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
；
∴④正确；
与 相等的角有 ，
由 可得 ，
∴⑤错误；
正确结论是①②④，
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，正方形的性质，勾股定理，三角形全等，掌握正方形的性质是解
题的关键．
【变式10-4】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得
到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”．
【尝试与感悟】
（1）如图 ，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 落在 边上的点 处，此时折痕 与
边形成的夹角 就是“折叠角”，且 ______ ；
（2）如图 ，先将矩形 对折，使得 与 重合，折痕为 ，点 在 边上，再将纸片沿着
折叠，点 落在 上的点 处 求“折叠角” 的度数；
【探索与发现】
（3）在图 中与 垂直的射线 、 上分别取点 、 ，使得四边形 是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点 落在边 上并且得到 的“折叠角” 请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点 、
不写作法，保留作图痕迹
【答案】（1） ；（2） ；（3）作图见解析
【分析】（1）由折叠的性质可求 ，即可求解；
（2）由折叠的性质可得 ， ， ，可证 是等边三角形，可得
，即可求解；
（3）以点A、B为圆心， 为半径画弧，两弧交于点M、H，连接 ， ， ，作 的垂直平分
线，交 于点K，交 于点J，分别以点K、J为圆心， 为半径画弧，交 于点D，交 于点C，
连接 ，则四边形 即为所求作的矩形．
【详解】解：（1）∵将矩形 沿 折叠，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图 ，取 的中点 ，连接 ，
由折叠可得： ， ， ，
，
点 是 的中点，
，
，
是等边三角形，
，
将纸片沿着 折叠，，
；
（3）如图，以点A、B为圆心， 为半径画弧，两弧交于点M、H，连接 ， ， ，作 的垂
直平分线，交 于点K，交 于点J，分别以点K、J为圆心， 为半径画弧，交 于点D，交 于
点C，连接 ，则四边形 即为所求作的矩形．
根据作图可知： 垂直平分 ， ， ，点H在 上，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
四边形 是矩形，
∵ ，
是等边三角形，
，
过点 作 ，交 于点E，
，
∵ 是等边三角形， ，
∴ 为 的对称轴，
∴点A的对称点为点H，且折叠角为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形
的性质，添加恰当辅助线是解题的关键．
【变式10-5】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图 ， 是正方形 内一点， ，连接
，将 沿 翻折，得到 ，延长 ，与 的平分线相交于 ．(1)当四边形 为菱形时，填空： ______ ；
(2)试求 的度数；
(3)如图 ，连接 ，交 于 ，连接 ，当 三点共线时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析．
【分析】（ ）根据四边形 为菱形，四边形 是正方形，得 ， ， ，
证明 是等边三角形，则 ，通过等边对等角及角度和差即可求解；
（ ）由折叠性质得 ，则有 ， ，设 ，则
，通过角度和差及角平分线的定义即可求解；
（ ）由折叠性质得 ，则有 ， ，由四边形 是正方形，则 ，
，由 ， ，得 ，由 平分 ，可得
，证明 ， ， ，通
过全等三角形的性质和菱形的判定方法求解．
【详解】（1）解：∵四边形 为菱形，四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
（2）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）∵将 沿 翻折，得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ， ，
由( )得: ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三
角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式10-6】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在正方形 中，点 为边 的中点，连
接 ，将 沿着 翻折，点 的对称点为点 ，记 与 的交点为 ．(1)如图1所示，连接 并延长交边 于点 ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2所示，延长 交边 于点 ，求证：点 是 的中点；
(3)如图3所示，若 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质及折叠的性质证明 ，得到 ，即可得证；
（2）连接 ，根据平行线的性质及直角三角形的性质得到 ，即可得证；
（3）根据勾股定理得到 ， ，设 ，则 ，在 与 中，
，求解即可解答．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形 是正方形，设 ，
∴ ， ， ，
∵点 为边 的中点，
∴ ，
又∵将 沿着 翻折，点 的对称点为点 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点；
（2）如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点；（3）解：∵在正方形 中，点 为边 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
在 与 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，勾
股定理，掌握这些性质与判定是解题的关键．
【考点题型十一】特殊平行四边形的动态问题（ ）
【例11】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形 的边长为 ，点 是 边上一点，且
，对角线 ， 交于点 ，点 是 中点，连接 ；
(1)如图1，过点 作 交 于点 ，判断四边形 的形状并证明；
(2)如图2，若点 是对角线 上的动点，当 平分 时，判断 ， ， 之间的数量关系，
并计算 的值．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，证明见解析
(2) ，
【分析】（1）如图，过点 作 于点 ，结合正方形的性质证明四边形 是矩形，得
， ，根据勾股定理及正方形的性质得 ， ，继
而得到 ，在 中，推出 ，求得 ，得到 ，进
一步推出 ，即可得证；
（2）如图，设平行四边形 的边 与 交于点 ，证明四边形 是矩形，推出 平分
，即 与 的交点为符合条件的点 ，然后在 中， ， ，
，可得结论．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形
证明：如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，且边长为 ，
∴ ， ， ， ， ， ，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝45°
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 中点，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形；（2） ， ， 之间的数量关系为： ．
如图，设平行四边形 的边 与 交于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ，
即 与 的交点为符合条件的点 ，
在 中， ， ， ，
∴ ， ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角
形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键．
【变式11-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形 中， 分别是边
上的动点，点 从 出发到 停止运动，点 从 出发到 停止运动，若P，Q两点以相同的速
度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形 是矩形；②存在四边形 是菱形；③
存在四边形 是矩形；④存在四边形 是正方形．所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】设 两点速度为每秒1个单位长度，则 ， ，由题意可得四边形 是平行
四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可．
【详解】解：设 两点速度为每秒1个单位长度，则 ， ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
当 时，点 与点 重合，点 与点 重合，此时四边形 是矩形，故①正确；
当四边形 是菱形时， ，
则 ，解得： ，符合题意，
即：当 时，四边形 是菱形，故②正确；
当四边形 是矩形时， ，则 ，解得 ，
即：当 时，四边形 是矩形，故③正确；
当四边形 是正方形时， ，
则 ，解得 ，但此时 ，不符合题意，故④不正确，
综上，正确的有①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关
图象的性质是解决问题的关键．
【变式11-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形 中， ， ，
，动点P从A点开始沿 边以 的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿 边以 的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另
一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形；
(3)问：四边形 是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
【答案】(1)当 时，四边形 是矩形；
(2)当 时，四边形 是平行四边形；
(3)四边形 不能成菱形，理由见解析
【分析】（1）由题意可知， ， ，则 ，根据矩形的性质列方程，求出
t的值即可；
（2）由题意可知， ， ，则 ，根据平行四边形的性质列方程，求出t
的值即可；
（3）过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，由勾股定理求得 ，若四边形 是
菱形，则四边形 是平行四边形，结合（2）的结果可知， ，即四边形 不能成菱
形．
【详解】（1）解：设运动的时间为
由题意可知， ， ，
，
，四边形 是矩形，
，
，
解得： ，
即当 时，四边形 是矩形；
（2）解：由题意可知， ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
解得： ，
即当 时，四边形 是平行四边形；
（3）解：四边形 不能成菱形，理由如下：
如图，过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，
， ，
，
在 中， ，
若四边形 是菱形，则四边形 是平行四边形，
由（2）可知，当 时，四边形 是平行四边形；
此时 ，
，
四边形 不能成菱形．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，一元一次方程的应用、动点问题、勾股定理，掌握特殊的四边形的性质是解题关键．
【变式11-3】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知， 中，一动点P在边 上，以每秒 的
速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，求
的面积；
(3)如图③，另一动点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，两个点同时出发，
当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若 ，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点
组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 或 或 ．
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，
学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）证明 是等边三角形即可；
（2）根据平行四边形的性质可得 ， ，从而得到 ，
由此即可解决问题；
（3）分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
如图，过点C作 于点K，则 ，
∴ ，
；
（3）解：如图③所示：
，
当 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
①当 时， ， ，，解得： ；
②当 时， ， ，
，解得： ；
③当 时， ， ，
，解得： ；
④当 时， ， ，
，解得： ；
或 或 或 时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
