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微专题：直线与抛物线的位置关系
【考点梳理】
解决直线与抛物线公共点(交点)问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系
及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线
的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x＋x＋p，若不过焦点，
1 2
则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【题型归纳】
题型一：判断直线与抛物线的位置关系
1．直线 与抛物线 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．抛物线 的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上都有可能
3．已知抛物线 ，直线 ，则“ ”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二： 求直线与抛物线的交点坐标
4．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 的面积是（O为坐标原
点）（ ）
A． B． C． D．
5．已知 为坐标原点， 是抛物线 的焦点， 为抛物线上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点O，
A，B，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
题型三： 求抛物线的切线方程
7．已知抛物线C： ，点M为直线 上一动点，过点M作直线 ， 与抛物线C分别切于点A，B，
则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1
8．已知抛物线C： ，A为C上的动点，直线l为C在点A处的切线，则点 到l距离的最小值为
（ ）
A． B． C．3 D．4
9．若直线 与曲线 和圆 都相切，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型四： 根据韦达定理求参数
10．已知F是抛物线C： 的焦点，直线 与抛物线C交于A，B两点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
11．过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于 、 两点，若 ，则这样的直线的条
数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过 的直线与抛物线交于A，B两点，与准线 交于
C点，若 ，且 ，则 （ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．4 B．12 C．4或16 D．4或12
【双基达标】
13．已知抛物线 的焦点为F，倾斜角为 的直线 过点 ，若 上恰存在3个不同的点到 的距
离为 ，则 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线为 与 轴交于点 ，过点 作抛物线的一条切线，切
点为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
15．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过点F斜率为 的直线 与抛物线C交于点M（M在x
轴的上方），过M作 于点N，连接 交抛物线C于点Q，则 （ ）
A． B． C．3 D．2
16．已知抛物线E: 的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且 ，则直线l的
斜率是（ ）
A． B． C． D．
17．抛物线方程为 ，任意过点 且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在
一点N（不同于点M），且满足 ，则点N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，则 的取值范围是
（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
19．已知等边三角形的一个顶点为抛物线 的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的
边长为（ ）
A． B．
C． D．
20．设F是抛物线 的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若 （O为坐
标原点）的面积为 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
21．过 的直线l与抛物线E： 交于 ， 两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦
点，若 的面积是 的面积的3倍，则 （ ）
A． B． C． D．
22．已知抛物线 的焦点为F，若斜率为 的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段 的
中点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
23．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，点 为抛物线上一点，以 为圆心的圆经过原点 ，
且与抛物线的准线相切，切点为 ，线段 交抛物线于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．已知点F为抛物线C： 的焦点，点 ，若点Р为抛物线C上的动点，当 取得最大值时，点
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司P恰好在以F， 为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．阿波罗尼斯研究圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光
线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．
设抛物线C： ，一束平行于抛物线对称轴的光线经过 ，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，
则直线FQ的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．过抛物线 上一点A作x轴的垂线与C交于点P，过点A作y轴的垂线交y轴于点Q，若C的
焦点F是PQ的中点，且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
27．已知抛物线 的焦点为F，直线 的斜率为 且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两
点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若 ，则以下结论不正确的是（ ）
A． B．F为 的中点
C． D．
28．过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
29．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，过焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，且
，则点 到 轴的距离为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．2
C．3 D．4
30．已知抛物线 ，过点 作抛物线的两条切线 ，点 为切点.若 的面积
不大于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且 ，则直
线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
32．已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，分
别过点 ， 作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，如图所示，则
①以线段 为直径的圆与准线 相切；
②以 为直径的圆经过焦点 ；
③ ， ， （其中点 为坐标原点）三点共线；
④若已知点 的横坐标为 ，且已知点 ，则直线 与该抛物线相切；
则以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
33．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司用非常广泛.如图所示，从抛物线 的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，
已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线 和 之间的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
35．平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若
，则点 到 轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
36．已知抛物线 ，过抛物线的焦点作 轴的垂线，与抛物线交于 、 两点，点 的坐标为
，且 为直角三角形，则以直线 为准线的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
37．过抛物线 的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则
（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题
38．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与抛物线的两个交点A(x，y)，B(x，y)，则（
1 1 2 2
）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．yy=
1 2
B．以AB为直径的圆与直线 相切
C．OA+OB的最小值
D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上
39．关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．过点 且与圆 相切的直线方程为
B．过点 且与抛物线 相切的直线方程为
C．曲线 在点 处的切线的方程是
D．过点 且与曲线 相切的直线方程为
40．已知抛物线 ： ，过其准线上的点 作的两条切线，切点分别为 ， ，下列说法正确
的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线 的斜率为2 D． 面积的最小值为4
41．已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为
A，B，斜率分别为k，k，则（ ）
1 2
A． B．|k﹣k|＝2
1 2
C．AB过定点 D． 的最小值为8
三、填空题
42．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线 与抛物线C交于A（点A在第一象
限），B两点，且 ，则 （O为坐标原点）的面积是______．
43．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点.点D为 的中点，B，D在y
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司轴上的投影分别为P，Q，则 的最小值是___________.
44．过直线 上一点P（点P不在x轴上）作抛物线 的两条切线，两条切线分别交x轴于点G，
H，则 外接圆面积的最小值为______．
45．已知点A是抛物线 的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在 PAB中，
△
，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为
________．
46．过点（0，2）与抛物线 只有一个交点的直线有______条．
47．设F为抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则 的面
积为______.
48．过抛物线C： 的准线l上一点P作C的切线PA，PB，切点分别为A，B，设弦AB的中点为Q，则
的最小值为______．
49．已知抛物线 的焦点为 ，定点 ，若直线 与抛物线 相交于 、 两点（点 在 、
中间），且与抛物线 的准线交于点 ，若 ，则 的长为______.
四、解答题
50．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 点的纵坐标为4， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作直线交抛物线 于 两点，试问抛物线 上是否存在定点 使得直线 与 的斜率互为倒
数？若存在求出点 的坐标，若不存在说明理由．
51．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参
数）．
(1)写出 的普通方程；
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点
的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
52．已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
53．已知抛物线 的焦点为F， 为E上一点.
（1）求E的方程及F的坐标；
（2）设斜率为1的直线l与E交于A，B两点，若 ，求l的方程.
54．已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，
的周长为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是否过定
点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【分析】直线 过定点 ，在抛物线 内部，即可得出结论．
【详解】直线 过定点 ，
∵ ，
∴ 在抛物线 内部，
∴直线 与抛物线 相交，
故选：A．
2．B
【分析】求出直线AF的中垂线方程，代入 ，可得 ，即可得出结论．
【详解】设 ， ，则 的中点坐标为 ， ，所以中垂线的斜率为 ，所以直
线 的中垂线方程为 ，代入 ，可得
∴ ，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.
故选：B
3．A
【分析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得
得m∈R,再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得
所以 ，所以m∈R,
因为“ ”是“m∈R”的充分非必要条件，
所以“ ”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件，
故选A
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平和分析推理能力.
4．B
【分析】写出直线方程，联立抛物线方程，求出A，B两点坐标，进而求出AB的长，再求出原点到直线距离，求
出三角形面积.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，
则斜率为 的直线方程为： ，与抛物线方程联立得：
，
设 ，不妨设 ， ，
则 ，
第 11 页点O到直线AB的距离为 ，
所以△AOB的面积为
故选：B
5．C
【分析】不妨设点 为第一象限内一点，将直线 的方程与抛物线方程联立，求出点 的坐标，然后利用
抛物线的定义可求得 .
【详解】不妨设点 为第一象限内一点，则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
所以， .
故选：C.
6．A
【分析】由双曲线的渐近线方程与抛物联立，求得A的坐标，然后根据 的垂心为 的焦点，由
求解
【详解】解：如图所示：
双曲线 的渐近线方程为 ，与抛物线 联立，解得 或
，
所以 ， ，
因为 的垂心为 的焦点，
第 12 页所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
故选：A
7．A
【分析】设切点 和 ，利用导数的几何意义求出切线 、 的方程，进而
是方程 的两实根，求出 ，
根据平面向量的坐标表示化简计算 即可.
【详解】由 ，得 ，则 ，
设 ， ，所以 ，
得切线 的方程为 ，即 ，
切线 的方程为 ，即 ，
又两条切线过切点 ，有 、 ，
所以 是方程 即 的两实根，
得 ，
又 ，
所以
将 代入上式，得 .
故选：A
8．B
【分析】设 ，根据条件求出抛物线在点 处的切线方程，再求点 到直线 的距离及其最小值.
【详解】因为点 在抛物线C： 上，故可设 ，
因为抛物线 在点 处的切线不为0，
故可设抛物线 在点 处的切线方程为 ，
第 13 页所以 有且只有一组解，
所以方程 只有一个根，
所以 ，故 ，
所以抛物线 在点 处的切线 的方程为： ，
所以 到直线 的距离
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以点 到l距离的最小值为 .
故选：B.
9．A
【分析】设切线方程，利用判别式法解决直线与曲线 相切问题，再根据点到直线距离解决与圆相切问题，进
而得解.
【详解】由已知得直线 的斜率存在，
设直线 ： ，
联立方程 ，即 ，
故 ，
故圆心 到直线的距离 ，
解得 ，
故切线方程为 ，或 ，
所以A选项正确；
故选：A.
10．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出 ，根据抛物线的定义
可知 ，结合已知条件 ，即可得出正确选项.
【详解】设 ， ，由 ，得 ，则 ．
又 ，即 ．
故选：A．
11．B
【分析】分析可知直线 不与 轴重合，可设该直线的方程为 ，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，
由 可求得 的值，即可得出结论.
第 14 页【详解】若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
所以直线 不与 轴重合，易知抛物线 的焦点为 ，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，则 ，
所以， ，解得 .
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
12．A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出 的值.
【详解】如图，过A，B向 作垂线，垂足分别为D，E，则 .
设 ， ，因为 ， ，
所以 .因为 ，所以 ， .
设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，则 .
因为 ，
所以 或 .
因为 ，所以 ，故 .
故选：A
13．B
【分析】根据题意，求得直线 ，设直线 与抛物线 相切，联立方程组，利用 ，求得
，结合两平行线间的距离公式，列出方程求得 的值，即可求解.
第 15 页【详解】由题意，抛物线 的焦点为 ，
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 ，
设直线 与抛物线 相切，
联立方程组 ，可得 ，
则 ，解得 ，且 ，
故两平行线间的距离 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，则准线方程为 .
故选：B.
14．A
【分析】由题可得 ，可设切线 ，联立抛物线方程可得 ，即求.
【详解】∵抛物线 的准线为 ，
∴ ，设过点 作抛物线的一条切线方程为 ，
由 ，得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，即 ，
∴ 的面积为 .
故选：A.
15．D
【分析】设出直线 ，与抛物线联立，可求出 点坐标，在利用抛物线的定义可得 ，
第 16 页再利用抛物线的对称性求出 ，则 可求.
【详解】如图：相关交点如图所示，
由抛物线 ，得 ，
则 ，
与抛物线 联立得 ，
即 ，
解得
， 又
则 为等边三角形
，
，
由抛物线的对称性可得 ，
故选：D.
16．B
【分析】首先根据抛物线方程求出准线方程，即可得到 的坐标，设直线 为 ， ， ，
联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据 ，即可得到 ，从而求出 、 ，从而求
出 .
【详解】解：抛物线 的准线为 ，所以 ，
由题意可知直线 的斜率存在，
第 17 页故设直线 为 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 .
故选：B
17．A
【分析】设该直线方程为 ，当 时，联立 消去 ，得 ，设
则 由 化简计算可得 ，即可求得
时，可验证依然成立.
【详解】 直线过 且斜率不为0，
设该直线方程为 ，当 时，联立 消去 ，得 ，
恒成立，设 则
，
即
即 ，则 ，
即 则 ，
即
所以 ，
即 当 时， 两点关于 轴对称，显然 恒成立.
综上所述， .
故选：A.
18．B
【分析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得 ，进而求得取值范围，
第 18 页当斜率不存在是，可得 ， 两点坐标，进而可得 的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为 ， ， ，
联立方程 ，得 ， 恒成立，
则 ， ，
， ，
，
所以 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，
所以 ， ，
，
综上所述： ，
故选：B.
19．D
【分析】根据题意求出其余两个顶点坐标，然后由抛物线定义求其边长
【详解】根据抛物线与等边三角形的性质知 ，其余两个顶点分别在在 上， ，
联立解得 ，根据抛物线的定义得其边长为 ．
故选：D
20．B
【分析】设直线方程，联立抛物线方程消元，利用韦达定理可得 ，然后数形结合可知
，计算可得.
【详解】由题知，直线AB方程为： ，即
代入 ，整理得
设 ，则
所以，
解得 .
第 19 页故选：B
21．A
【分析】现根据所给条件面积之间的关系推出 ，再根据抛物线的几何性质推得 ，设
直线方程联立抛物线方程，整理得到 ，联立可解得答案.
【详解】如图示：过点 作 垂直于准线，垂足为 ,作 垂直于准线，垂足为 ,
由 的面积是 的面积的3倍可知， ,
而 ,则 ，
故 ,
根据抛物线性质可知 ,
所以 ,即 ，
显然过 的直线l的斜率存在，设为 ，
则直线方程为 ，和抛物线方程 联立，
第 20 页整理得：
所以 ，结合 式，得 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
22．A
【分析】设 ，由直线方程与抛物线方程联立消去 后利用韦达定理得 ，从而可得 中点
横坐标，也即可求得中点到准线的距离．
【详解】由题意抛物线标准方程为 ， ， ，∴焦点为 ，准线方程为 ，
直线 方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，设 ，则 ，设
中点为 ，则 ，
∴ 到准线的距离为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦中点问题，解题时直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理
可得中点坐标．
23．B
【分析】根据题意 ， ，解得 ，过点 向抛物线的准线作垂线，则
，计算得到答案.
【详解】根据题意， ，又 ，解得 ， ，
则抛物线方程为 ，所以 ， ， ，
设 ，过点 向抛物线的准线作垂线，
垂足为 ，根据抛物线的定义可知， ，因为 ，
所以 .
故选： .
第 21 页24．D
【分析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知 ，记
，根据题意，当 最小，即直线 与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，
解得答案即可.
【详解】如图，易知点 在抛物线C的准线 上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记
，则 .
由抛物线定义可知， .由图可知，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线
相切，设切线方程为 ，代入抛物线方程并化简得：
， ，方程化为： ，代入抛物线方程解
得： ，即 ，则 ， .
于是，椭圆的长轴长 ，半焦距 ，所以椭圆的离心率 .
故选：D.
25．D
【分析】由题设可得 ，由三点共线结合斜率两点式求直线FQ的斜率，进而利用点斜式写出直线方程.
第 22 页【详解】设过 平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点P，易知 ．
将 代入抛物线方程得 ，即 ，
又焦点为F ，且P，F，Q三点共线，则 ，
由点斜式方程化简得 .
故选：D
26．C
【分析】根据题意作图象，由图象及条件可得 点横坐标，代入抛物线方程求出A点纵坐标，利用勾股定理列出
方程求解.
【详解】如图，
因为 是直角三角形 斜边的中点，
所以 ,故 ，代入 可得 ，
在直角三角形 中，由勾股定理可得 ，
解得 ,
故选：C
27．D
【分析】设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，求得 两点的坐标，根据 求得 ，求得 点的坐标，
从而确定正确选项.
【详解】依题意 ，设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，
所以 ，
第 23 页所以 ，A选项正确.
直线 的方程为 ，
令 ，则 ，故 ，
由于 ， ，所以 是 的中点，B选项正确，
， ，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
28．C
【分析】由已知，根据题意，过点 分别从与 轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出
满足题意的直线，然后即可做出判断.
【详解】由已知，可得
①当直线过点 且与 轴平行时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为 ，由 可得，
， ，解得 ，故直线方程 .
所以存在3条直线 ， ， 满足过点 与抛物线 只有一个公共点.
故选：C.
29．B
【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出 ，再由焦半径公式表示出 ，得到 ，结
合这两个关系式可求解
【详解】已知焦点F到准线的距离为2，得 ，可得
设 ( )， ，
与抛物线方程 联立可得：
， ， ①
又 ， ， ②
根据①②解得 ，
点A到y轴的距离为2.
故选：B
30．C
第 24 页【分析】由题意，设 ，直线 的方程为 ，则由点到直线的距离公式求出点 到直
线 的距离 ，再联立直线 与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求出 ，进而可得
，结合 即可得答案.
【详解】解：因为抛物线 的性质：在抛物线上任意一点 处的切线方程为 ，
设 ，
所以在点 处的切线方程为 ，在点B处的切线方程为 ，
因为两条切线都经过点 ，
所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，
联立直线 与抛物线方程有 ，消去 得 ，
由 得， ，由韦达定理得 ，
所以弦长 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，解得 ，又
所以 .
故选：C.
31．C
【分析】设出 ，P点坐标，根据 及抛物线方程，得到 ，从而表达出直线OM的斜
率，利用基本不等式求出最大值.
【详解】因为 ，设 ，显然当 时， ，当 时， ，则要想求解直线OM的
斜率的最大值，此时 ，设 ，因为 ，所以 ，即 ，
解得： ，由于 ，所以 ，即 ，由于 ，则
第 25 页，当且仅当 ，即 时，等号成立，故直线OM
的斜率的最大值为 .
故选：C
32．D
【解析】由抛物线的性质可判断①；连接 ，结合抛物线的性质可得 ，即可判断②；设直线
，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线 的方程，联立方程组即可
判断④.
【详解】对于①，设 ，则 ，
所以线段 的中点到准线的距离为 ，
所以以线段 为直径的圆与准线 相切，故①正确；
对于②，连接 ，如图，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 即 ，
所以以 为直径的圆经过焦点 ，故②正确；
对于③，设直线 ， ，
将直线方程代入抛物线方程化简得 ， ，则 ，
又 ，
第 26 页因为 ， ，
所以 ，所以 ， ， 三点共线，故③正确；
对于④，不妨设 ，则 ，
则直线 ，代入抛物线方程化简得 ，
则 ，
所以直线 与该抛物线相切，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化
为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.
33．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出 ， ，由 ，解出p.
【详解】抛物线 的焦点 .
由 ,所以直线AF的方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，解得： 或 ，可得： .
同理直线BF的方程为 ，即 ，
联立 ，解得： .
所以 ，解得： .
故选：B
34．B
【分析】过 的直线的斜率存在和不存在两种情况分别讨论即可得出答案.
【详解】易知过点 ，且斜率不存在的直线为 ，满足与抛物线 只有一个公共点.
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，与 联立得 ，
第 27 页当 时，方程有一个解，即直线与扰物线只有一个公共点.
故满足题意的直线有2条.
故选：B
35．B
【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为 ，直线 恒过定点 ，过 分别
作 于 ， 于 ，根据抛物线的定义和已知条件可得点 为 的中点，进而可得点 的横坐标为
1，则 从 而可求出答案
【详解】解：设抛物线 的准线为 ，直线 恒过定点 ，
如图过 分别作 于 ， 于 ，
因为 ，所以 ，
所以点 为 的中点，连接 ，则 ，
所以 ，所以点 的横坐标为1，
所以 ，
所以点 到 轴的距离为4，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画
出图形，灵活运用抛物线的定义，考查计算能力，属于中档题
36．B
【分析】设点 位于第一象限，求得直线 的方程，可得出点 的坐标，由抛物线的对称性可得出 ，
进而可得出直线 的斜率为 ，利用斜率公式求得 的值，由此可得出以直线 为准线的抛物线的标准方程.
【详解】设点 位于第一象限，直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
所以，点 .
为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出 ，则直线 的斜率为 ，即 ，
第 28 页解得 .
因此，以直线 为准线的抛物线的标准方程为 .
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
37．A
【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标，
设出直线l的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线为： ，设点 ，
依题意， ，解得 ，显然，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为 ，
由 消去y并整理得： ，则有 ，于是得 ，
因此， ，
所以 .
故选：A
38．BD
【分析】设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理即可依次判断.
【详解】由题可得焦点为 ，显然直线斜率存在，设直线方程为 ，
联立方程 ，可得 ，则 ，
则 ，故A错误；
根据抛物线的定义可得线段 的中点到准线 的距离为 ，
所以以AB为直径的圆与直线 相切，故B正确；
当直线 与 轴平行时， ， ，故C错误；
直线 的方程为 ，与 的焦点坐标为 ，
因为 ，所以 ，即经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线 上，故D正确.
故选：BD.
39．ABD
【分析】对于A：利用圆的切线性质和直线垂直的斜率关系求得切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式写出直
线的方程，从而判定A；对于B：利用点斜式设出切线方程，利用判别式等于零求得斜率，进而得到抛物线的切线
第 29 页方程，进而判定B；对于C：利用导数求得函数 在点 处的切线的斜率，进而写出切线的方程，从而
判定C；对于D：设出切线横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过坐标原点，代入求得切点的
横坐标，进而得到切线的方程，从而判定D.
【详解】对于A：易知点 为圆 上的点，记坐标 对应的点为 ,
圆的圆心为 ,则直线 的斜率为 ,
又∵圆上的切线与圆的半径垂直，∴切线的斜率为 ,
∴切线方程为 ,整理得： ,故A正确；
对于B：过点 且与抛物线 相切的直线斜率显然存在，设为 ,
由抛物线的方程得 ，代入切线方程并整理得 ,
,
对于C：解得 ,∴切线方程为 ,即 ,故B正确；
函数 的导函数为 ，
，∴函数 的图象在点 处的切线的方程是 ，即 .故C错误；
对于D：函数 的导函数为 ，过点 且与曲线 相切的直线与函数 的图象的切点为 ,
则切线斜率 ，∴切线方程为 ,
∵切线经过点(0,0),∴ ，解得 ，
∴过点 且与曲线 相切的直线方程为 ，即为 ，故D正确.
故选：ABD.
40．ABD
【分析】选项A：由点 在准线上，可求出 ，从而可判断；
选项B：设直线 与抛物线方程联立，由韦达定理可判断；
选项C：设 ， 分别求出 ， 方程，根据方程结构可判断；
选项D：先同C求得直线 的方程 ，再表达出 的面积关于 的表达式，进而求得面积的最大
值即可
【详解】对A，易知准线方程为 ，∴ ， ： ，故选项A正确.
对B，设直线 ，代入 ，得 ，当直线与 相切时，有 ，即 ，
第 30 页设 ， 斜率分别为 ， ，易知 ， 是上述方程两根，故 ，故 .故选项B正确.
对C，设 ， ，其中 ， .则 ： ，即 .代入点 ，
得 ，同理可得 ，
故 ： ，故 . 故选项C不正确.
对D，同C，切线方程 ： ； ： ，代入点 有 ， ，故直线
的方程为 ，即 ，联立 有 ，则 ，故
，又 到 的距离 ，故
，故当 时 的面积小值为 ，故D正确；
故选：ABD
41．AC
【解析】设 ， 则y2＝4x，y2＝4x，对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜率、切线的
1 1 2 2
方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结
合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
【详解】由题意可得 ，抛物线的准线方程为 ，设 ，
则 ， ，由y2＝4x得 ，求导得 ，
所以 ，所以过A的切线的方程为x﹣x＝ ，
1
化为x＝ y ① ，同理可得过B的切线方程为x＝ y ② ，
由①②解得x＝ ，由P的横坐标为 ，即 ，则 ，
kk＝ ，故A正确；
1 2
因为|k﹣k|＝ ＝ 不为定值，故B错误；
1 2
因为AB的直线方程为y﹣y＝ ，即y＝y+ x ，
1 1
整理得y＝ ，所以AB恒过定点 ，故C正确；
将 转化为到准线的距离，即 ＝（x+1）（x+1）＝xx+（x+x）+1＝ +1+ ＝5+
1 2 1 2 1 2
第 31 页≥5+2 ＝9，当且仅当|y|＝|y|时取得等号，所以 的最小值为9，故D错误．
1 2
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题关键是找到过A、B两点的切线斜率与方程得到
，然后利用此结论表示各个选项可得出判断，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.
42． ##
【分析】计算出 ，联立直线和抛物线得到 与 ，结合 求出 ，进而求出
的面积.
【详解】由题意可得 ，则 ，解得： ，故直线 的方程为 ．
联立 整理 ．
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，解得: ，
从而 ，故 的面积是
故答案为： ．
43．
【分析】设直线l的方程为 ， ， ，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和及
两根之积，进而可得 的中点 及 ， 的坐标，由均值不等式求得 的最小值.
【详解】如图，设直线l的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则 ， ，
因为D为 的中点，所以 ，
则 ， ，
从而 ，
第 32 页当且仅当 ，
即 ， 或 ， 时，等号成立.
故答案为： .
44． ##
【分析】利用抛物线定义、导数几何意义、四边形外接圆等，数形结合解决本题简单快捷.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
如图，设切点 ，
直线PA、PB与x轴分别交于G、H，连接PF、GF、HF.
由 ，可得 ，则
则 ，
直线PA方程为 ，即 ，则
直线PB方程为 ，即 ，则
由 ，可知
由 ，可知
第 33 页则P、G、F、H四点在以线段PF为直径的圆上，此圆即为 的外接圆.
点F到直线 的距离为
则 ，则 的外接圆半径
故 的外接圆面积
即 的外接圆面积的最小值为
故答案为：
45．
【分析】作 垂直于准线于H，然后结合抛物线的定义可以得到 ，进一步判断出当直线AP
与抛物线相切时，PAH最小，然后结合直线与抛物线相切求得答案.
【详解】如图，作 垂直于准线于H，∵ ，∴ ，根据抛物线的定
义有 ，∴ ，当m最小时， 最小.
故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为 ，联立
，
， ．
此时，椭圆中 ， 椭圆离心率 ．
故答案为： .
46．3
【分析】分当直线的斜率不存在和当直线的斜率存在时，两种情况讨论求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，该直线方程为 与抛物线相切，只有一个交点，
第 34 页当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，代入抛物线 ，
消去y得： ，
当 时，直线方程为 ，与抛物线只有一个交点 ，
当 时， ，解得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，
所以过点（0，2）与抛物线 只有一个交点的直线有3条
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
47． ##2.25##
【分析】求出直线 的方程，与抛物线方程联立后得到两根之和，结合焦点弦弦长公式求出 ，用点到直线距
离公式求高，进而求出三角形面积.
【详解】易知抛物线中 ，焦点 ，直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，代人抛
物线方程 ，整理得 .
设 ，则 ，由抛物线的定义可得弦长 ，原点 到直线 的距离
，
所以 的面积 .
故答案为：
48．2
【分析】利用导数求出抛物线在A和B的切线方程，根据切线过P得A和B满足的方程，从而求得AB所在直线方
程，联立直线AB方程与抛物线方程求出Q点坐标，从而求出 的表达式，根据表示式即可求其最小值.
【详解】 ，
设 ， ， ，则 ， ，
则切线 ： ，
∵切线PA过P，∴ ，
同理， ，
∴直线AB方程为： .
第 35 页由 得， ，
则 ， ，
则 ，
则 ，
即 最小值为2.
故答案为：2.
49．
【分析】分别过点 、 作 、 垂直于抛物线 的准线于 、 ，则 ，求出直线 的方程，可
求得抛物线 的焦点 的坐标，可得出抛物线 的标准方程，再将直线 的方程与抛物线 的方程联立，求出
点 的纵坐标，利用抛物线的定义可求得线段 的长.
【详解】如图，分别过点 、 作 、 垂直于抛物线 的准线于 、 ，则 ，
由 得 ，所以， ，又 ，
所以，直线 的方程为 ，所以， ，则 ，
则抛物线 的方程为 ，
设点 的纵坐标为 ，由 ，得 或 ，
因为点 在 、 之间，则 ，
所以， .
第 36 页故答案为： .
50．(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点 的横坐标，进而求得p,可得答案;
（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线 与 的斜率互为倒数列
出等式，化简可得结论.
(1)
（1）
则 ，
， ，
，
故C的方程为： ；
(2)
假设存在定点 ，使得直线 与 的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
， ，
{
Δ>0
， ，所以 y + y =4m ，
1 2
y y =−16m
1 2
即 或 ，
，
，
则 ， ，
使得直线 与 的斜率互为倒数.
51．(1) ；
(2) 的交点坐标为 ， ， 的交点坐标为 ， ．
【分析】(1)消去 ，即可得到 的普通方程；
第 37 页(2)将曲线 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
（1）因为 ， ，所以 ，即 的普通方程为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，由
，即 的普通方程为 ．联立 ，解得： 或
，即交点坐标为 ， ；联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为
， ．
52．（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将直线
的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基
本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值
抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
第 38 页直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，
由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．
过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则
．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
第 39 页判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．
将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．
所以 ，
其中 ，即 ．
当 时， ．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 关于圆M上的点 的坐标的表达式，进一步转化
为关于 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 的值；方法二，利用圆的性质， 与圆
上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 、 、
，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线 的坐标满足方程 ，然手与
抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ，利用弦长公式求得 的长，进而得到面积关于
坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到 ，
，过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．由 求得面积关于 坐
标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线
，联立直线 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到 ，且 ．利用点
在圆 上，求得 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标 ，进而利用弦长公
式和点到直线距离公式求得面积关于 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；
53．（） ， ；（2） 或 .
【解析】（1）根据 为抛物线 上一点，代入抛物线方程求解.
（2）设直线l的方程为 ，联立 ，根据 ，结合韦达定理求解.
第 40 页【详解】（1）因为 为抛物线 上一点，
所以 ，
解得 ，
所以抛物线的方程是 ，焦点的坐标是 ；
（2）设直线l的方程为 ，直线与E交于 两点，
由 ，得 ，
则 ， ，即 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，成立
所以直线l的方程是 或 .
54．(1)
(2)直线PQ过定点
【分析】（1）将 代入抛物线 中，得出 的长度，再由勾股定理得出 ，结合条件建立关于
的方程，得出答案.
（2）由题意设直线AB的方程为 ， ， ，联立直线AB的方程与抛物线的方程，由韦达
定理得出 点坐标，同理得出 点坐标，从而得出直线 方程，得出答案.
(1)
由题意 ，在 中代入 ，得 ，解得 ，
所以 ．
由勾股定理得| ，
则 的周长为 ，解得 ，
第 41 页故抛物线C的方程为 ．
(2)
由题意可知 ，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为 ， ， ．
联立 消去x，得 ， ，
则 ，从而 ．
因为P是弦AB的中点，所以 ，同理可得 ．
当 ，即 时，直线PQ的斜率 ，
则直线PQ的方程为 ，即 ．
故直线PQ过定点 ；
当 ，即 时，直线PQ的方程为 ，也过点 ．
综上所述，直线PQ过定点 ．
第 42 页第 43 页
