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2024-2025 学年八年级数学上学期期末模拟卷 01
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．测试范围：人教版八年级上册。
4．难度系数：0.56。
第Ⅰ卷
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列倡导节约的图案中，可以看作是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据
轴对称图形的概念求解．
【解答】解： 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
2．华为 系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的 芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 ．
故选： ．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．一个多边形的内角和是 ，这个多边形是
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】利用 边形的内角和可以表示成 ，结合方程即可求出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为 ，由题意，得
，
解得： ，
故这个多边形是六边形．
故选： ．
【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记 边形的内角和为 是解题的关键．
4．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘除法则，幂的乘方与积的乘方法则逐一计算即可．
【解答】解： 、 ，原计算错误，不符合题意；
、 ，正确，符合题意；、 ，原计算错误，不符合题意；
、 ，原计算错误，不符合题意，
故选： ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
5．将分式 中的 ， 的值同时扩大10倍，则分式的值
A．扩大100倍 B．扩大10倍
C．不变 D．缩小为原来的
【分析】首先判断出分式 中的 ， 的值同时扩大10倍，分式的分子与分母的变化情况，然后根据
分式的基本性质，即可判断出分式的值的变化情况．
【解答】解： 分式 中的 ， 的值同时扩大10倍，分子扩大100倍，分母扩大10倍，
分式的值扩大10倍．
故选： ．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与
分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
6．下列代数式变形正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【解答】解： 项计算法则没有，选项不合题意；
，成立， 选项符合题意；， 选项不符合题意；
， 选项不合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
7．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比
原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树
棵，则下列方程正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本
题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的
方程．
8．如图是折叠凳及其侧面示意图，若 ，则折叠凳的宽 可能为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解： ，
，
折叠凳的宽 可能为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．9．如图，点 在 上，点 在 上， ．下列条件中不能判断 的是
A． B． C． D．
【分析】判定全等三角形时，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【解答】解：若 ，则依据 ，可得 ，
由 ， ， ，可得 ，
故 选项能判断 ；
若 ，则不能得到 ，
故 选项不能判断 ；
若 ，则可得 ，
故 选项能判断 ；
若 ，则由 ， ， ，可得 ，
故 选项能判断 ；
故选： ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题
目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一
组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
10．如图，已知 ，点 是 的平分线上的一个定点，点 ， 分别在射线 和射线
上，且 ．下列结论：① 是等边三角形；②四边形 的面积是一个定值；③当
时， 的周长最小；④当 时， 也平行于 ．其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点 作 于点 ， 于点 ，如图所示：根据角平分线的性质得到 ，
求得 ，根据全等三角形的判定和性质得到 ，根据等边三角形的判定定理得到
是 等 边 三 角 形 ； 故 ① 正 确 ； 根 据 全 等 三 角 形 到 现 在 得 到 ， 求 得
，即 ，推出四边形 的面积是一个定值，故
②正确；根据垂线段最短，得到 的值最小，当 最小时， 的周长最小，于是得到当
时， 最小， 的周长最小，故③正确，根据平行线的性质得到 ，求得
，得到 一定与 不平行，故④错误．
【解答】解：过点 作 于点 ， 于点 ，如图所示：
点 是 的平分线上的一点，
，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形；故①正确；
，
，
即 ，
点 是 的平分线上的一个定点，四边形 的面积是一个定值，
四边形 的面积是一个定值，故②正确；
，
点 与 重合，
垂线段最短，
的值最小，
当 最小时， 的周长最小，
当 时， 最小， 的周长最小，故③正确，
， ，
，
，
一定与 不平行，故④错误．
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称 最短路径问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，正确地最小辅助线是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．当 时，分式 有意义．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得 ．
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
12． ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．如图，在△ 中， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，连接 ，若 ， ，
则 的长 6 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ，结合图形计算，得到答案．
【解答】解： 是 的垂直平分线，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
14．在 中， ， 是 边上的高， ，则 的度数为 或 ．
【分析】分两种情况：当 在线段 上和 在线段 延长线上，先由直角三角形两锐角互余求出
或 ，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出结果．
【解答】解：在 中，
，
，
当 在线段 上时，如图①，是 边上的高，
，
，
，
， ，
；
当 在线段 延长线上时，如图②，
是 边上的高，
，
，
，
，
， ，
；
综上所述： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出
或 是解决问题的关键．
15．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， 、 为折痕．若 ，则 为 6 0 度．【分析】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解．
【解答】解： 、 为折痕， 、 分别平分 、
，
．
故答案为：60．
【点评】本题考查了角的计算，用正确角分线是解决本题的关键．
16．如图，动点 与线段 构成 ，其边长满足 ， ， ．点 在
的平分线上，且 ，则 的取值范围是 ， 的面积的最大值为 ．
【分析】由三角形三边关系定理得到 ，即可求出 ；延长 交 延长线于 ，
由 证 明 ， 推 出 ， ， 得 到 ， 又
，因此当 的面积最大时， 的面积最大，而 ， ，即可求出
的面积的最大值．
【解答】解： 的三边： ， ， ，满足三角形三边关系定理，
，
不等式①②显然成立，由③得： ；
延长 交 延长线于 ，过 作 交 延长线于 ，
平分 ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
当 的面积最大时， 的面积最大，
的面积 ， ， ，
面积的最大值 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，三角形的面积，关键是掌握
三角形三边关系定理，构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题8分，第20、21题每小题6分，第22、23
题每小题8分，第24、25题每小题10分）
17．分解因式：
（1） ； （2） ．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
18．计算下列各式：
（1） ； （2） ．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结
果．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．解方程．
（1） ． （2） ．
【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解；
（2）根据解分式方程的过程即可求解．
【解答】解：（1）去分母，得
，
去括号，得
，
移项，合并同类项，得
，
系数化为1，得
，
检验：把 代入 ，
所以 是原方程的解；
（2）去分母，得
，
去括号，得
，
移项，合并同类项，得
，
检验：把 代入 ，
所以此方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．
20．先化简 ，然后从 ，0，1，2中选取一个合适的数作为 的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 的代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
， ，
， ，
当 时，原式 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21．如图，已知 和直线 （直线 上各点的横坐标都为 ．
（1）画出 关于直线 的对称图形△ ；
（2） 的坐标是 ，若点 在 内部， ， 关于直线 对称，则 的坐标是 ；
（3）请通过画图直接在直线 上找一点 ，使得 最小．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可直接的得出点 的坐标；根据轴对称的性质可得点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
即可得出答案．
（3）连接 ，交直线 于点 ，则点 即为所求．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求．
（2）由图可得， 的坐标是 ．
点 与 关于直线 对称，
点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，
的坐标是 ．
故答案为： ； ．
（3）如图，连接 ，交直线 于点 ，连接 ，
此时 ，为最小值，
则点 即为所求．【点评】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．在 中， ， 是 的中点，以 为腰向外作等腰直角 ， ，连接
，交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）试判断线段 、 与 三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由 ， 是 的中点，得 ，则 垂直平分 ，所以 ，可证明
，得 ，而 ，所以 ，则 ；
（2）由 ， ， ，得 ，所以
，则 ，所以 ．
【解答】（1）证明： ， 是 的中点，
， ，
垂直平分 ，
，
在 和 中，
，，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
，
．
（2）解： ，
证明： ， ， ，
，
，
，
， ，
．
【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、“等边对等角”、直角三角
形的两个锐角互余、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明 及 是解题的关键．
23．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分
母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次
数，称这样的分式为假分式．例如，分式 是假分式．一个假分式 与一个真分式 的和为整式，
则称 与 互为“和整分式”．
（1）已知：下列分式与假分式 互为“和整分式”的是 ② ．
① ；② ；③ ．
（2）若假分式 ，存在一个真分式 与 互为“和整分式”．①求真分式 ；②当 时，求 的值．
（3）若 与 均与真分式 互为“和整分式”，直接写出当整数 为何值时，分式 的值为整数．
【分析】（1）先求出①②③分别与 的和，然后根据计算的结果与互为“和整分式”的定义进行判断
即可；
（2）①先把 写成整式和分式和的形式，然后根据真分式 与 互为“和整分式”求出 即可；
②根据①中所求的 和 ，列出关于 的分式方程，解方程，求出 ，再把 的值代入假分式
，进行计算即可；
（3）设 ， 均为整式），求出 ，根据已知条件判断 是整
数，从而列出关于 的方程，求出 即可．
【解答】解：（1）由题意可知：①②③都是真分式，
；
；
；是分式，2是整式，
与假分式 互为“和整分式”的是②，
故答案为：②；
（2）①
，
，
当 时，真分式 与 互为“和整分式”；
② ，
，
，
，
，
或 ，
，
检验：当 时， ，
是原方程的解，当 时， ，
不是原方程的根，
，
；．
（3）设 ， 均为整式），
，
与 均与真分式 互为“和整分式”，
是整式，
若 是整数，则 为整数，
必须能被 整除，且 ，
或2或 或 或4或 ，或 或 或 或 或 ．
【点评】本题主要考查了数与式中新定义问题和分式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正
确的算式．
24．如图， 是等边三角形， ， ， ，延长 至 ，使 ，连接
．
（1）求证： ；
（2）求 的面积；
（3）点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ，求 的最小值．
【分析】（1）由等边三角形性质可得 ， ，再由等腰三角形性质可得
，进而推出 ，再运用等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）过点 作 于 ，利用等边三角形的性质可得 ，再由含 锐角直角三角形的
性质可得 ，利用三角形面积公式即可求得答案；
（3）过点 作 ，过点 作 于 ，可得当且仅当 、 、 在同一条直线上时，
的值最小，再利用直角三角形性质即可解决问题．
【解答】（1）证明： 是等边三角形， ，
， ，
，
，
，
，
，；
（2）解：如图，过点 作 于 ，
是等边三角形， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
；
（3）过点 作 ，过点 作 于 ，
则 ，
，
，
，
当且仅当 、 、 在同一条直线上时， 的值最小，
， ，
，
，，
，
的最小值为 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，三角形面积，
两点之间线段最短等知识，熟练掌握直角三角形性质是解题的关键．
25．在平面直角坐标系 中，对于点 和点 ，若存在点 ，使得 ，且 ，则称点
为点 关于点 的“链垂点”．
（1）如图1，
①若点 的坐标为 ，则点 关于点 的“链垂点”坐标为 或 ；
②若点 为点 关于点 的“链垂点”，且点 位于 轴上方，试求点 的坐标；
（2）如图2，图形 是端点为 和 的线段，图形 是以点 为中心，各边分别与坐标轴平行且边
长为6的正方形，点 为图形 上的动点，对于点 ， ，存在点 ，使得点 关于点 的“链
垂点”恰好在图形 上，请直接写出 的取值范围．
【分析】（1）利用“链垂点”的定义，画出图形，再利用直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即
可；（2）设点 的坐标为 ，利用“链垂点”的定义和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质列出
关于 ， 的方程组解答即可；
（3）利用待定系数法求得端点为 和 的线段所在直线的解析式，设得到点 的坐标为 ，
则 ，利用（2）中的方法求得 与 的关系式，进而得到关于 的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意：点 ， 为点 关于点 的“链垂点”，如图，
点 的坐标为 ，
， ．
点 ， 为点 关于点 的“链垂点”，
， ，
将 顺时针转 得到 ，将 逆时针转 得到 ，
△ △ △ ，
， ，
， ．
故答案为： 或 ；
（2）点 为点 关于点 的“链垂点”，且点 位于 轴上方，如图，画出过点 且与 轴平行的直线，交 轴于点 ，过点 作 于点 ， 于点 ，
点 ，
， ．
设点 ，则 ， ．
．
则 ， ，
，
，
．
在△ 和△ 中，
，
△ 和△ ，
， ，
．
， ．，
解得： ，
点 的坐标为 ；
（3）点 为图形 上的动点，对于点 ， ，存在点 ，使得点 关于点 的“链垂点”恰好
在图形 上，如图，
过点 作 轴于点 ，过点 作 ，交图形 的边于点 在第三象限），则 ，
设端点为 和 的线段的直线的解析式为 ，
，
，
端点为 和 的线段的直线的解析式为 ，
点 为图形 上，
，且 ．
．， ，
，
．
由题意得： ， ，
，
，
．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
．
，
；
过点 作 轴于点 ，过点 作 ，交图形 的边于点 在第四象限），则 ，
如图，
则 ， ， ， ，．
同理可证：△ △ ，
，
，
，
．
综上， 的取值范围为 ．
【点评】本题主要考查了点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，
网格的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
