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专题 04 圆
（14 个考点梳理+20 种题型解读+6 种方法解读）
【清单01】圆的有关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“ ⏜ ”表示，以A、B为端点的弧记作 ⏜ ，读作：
❑ AB
“圆弧AB”或“弧AB”.
C
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
A B
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的 .等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
【清单02】圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
两个特征：①顶点在圆心；②角的两边是半径，二者缺一不可．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
【清单03】垂径定理
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等.
【清单04】圆周角定理及推论
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 圆心角）
2
圈周角定理运用需满足以下两个条件: 1)圆心角和圆周角在同圆或等圆中;
2)它们对着同一条弧或者所对的弧是等弧.
【清单05】圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个
四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
A
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 1 D
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
B 2
如图，∠1=∠2 C E
【清单06】点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，【清单07】三角形的外接圆与外心
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交
点.
三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.
【清单08】直线与圆的位置关系
直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
【清单09】切线的性质定理与切线的判定定理切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经
过切点与圆心的直线）
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【清单10】切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【清单11】三角形内切圆与内心
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
【注意】一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形.
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.
三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.
【清单12】正多边形与圆
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长与扇形面积公式
弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径).
扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= (l是n°为圆心角所对的弧长).
【清单14】圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面 n°
半径） l
h
r
圆锥全面积公式： （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面
积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足r2+h2=l2.【考点题型一】圆的基本概念辨析
1．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心， 长为半径
C．以 长为半径 D．以点O为圆心
【答案】B
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
B选项正确，
∴故选：B．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆 D．三点确定一个圆
【答案】B
【分析】根据等弧、弦、弧的和定义和确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以A选项错误；
B、直径是圆中最长的弦，所以B选项正确；
C、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以C选项错误；
D、不共线的三点确定一个圆，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优
弧、劣弧、等圆、等弧等）．
3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误；
B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误；
C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误；
D、根据垂径定理得到，故该选项正确．
故选：D．
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等
【答案】D
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】A项，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，本项不符合题意；
B项，在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，两弧不一定相等，故原说法错误，本项不符合题意；
C项，在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，故原说法错误，本项不符合题意；
D项，在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，说法正确，本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
【考点题型二】利用垂径定理求解
常见辅助线做法（考点）：
1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
5．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为E，连接 ，若
，则弦 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意易得 ，
根据勾股定理可求 的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的
“会圆术”．如图， 是 的弦，点N是 的中点，点M在 上， 于点N．“会圆术”给
出 的弧长l的近似值计算公式： ．当 ， 时，l的值为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了弧长的计算、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．
连接 ，根据垂径定理，知 ，M，N，O共线，设圆的半径为r，根据勾股定理求
出r，然后代入公式计算即可．
【详解】解：如图：连接 ，
∵点N是 的中点，
∴ ，
M，N，O共线，∵ ，
∴设圆的半径为r，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，即 ，解得 ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为 的 经过点 ， ，
则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点 作
于点 ，连接 ，根据垂径定理得到 ，由 ， ，可得 ，
， ，推出 ，再根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
的坐标为 ，
故答案为： ．
8．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为D．
(1)求证： ；
(2)已知 的半径为5， ，求 长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由垂径定理，得到 ，进而得到 ，三线合一，得到 ，等边对
等角，得到 ，即可得出 ；
（2）先求出 的长，勾股定理求出 的长，垂径定理得到 即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 的半径为5， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
【考点题型三】利用垂径定理解决实际问题
9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代
劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴
心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长为 ，简车工作时，盛水桶在水面以下的最
大深度为 ．则圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过O点作半径
于E，如图，利用垂径定理得到 ，设半径为 ，根据题意得 ，再利用勾股
定理列关于 的方程，解方程即可．
【详解】解：过O点作半径 于E，如图，
∴ ，
由题意得， ，
设半径为 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴圆的半径为 ，
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，
水面宽 ，某天下雨后，水面宽度变为 ，则此时排水管水面上升了 ．【答案】10或70
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是
下方和上方．
根据半径为 ，则直径为 ；又根据水面宽度为 ，则有两种情况， 水面在水面平行的直径
下方，过点 作 于点 ； 水面在水面平行的直径上方，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，根据垂径定理，勾股定理，即可求出．
【详解】连接
∵
∴圆的直径为
∴ 水面在水面平行的直径下方
∴过点 作 于点
∴ 且 与 交于点
∵ ，
∴ ，
∴在直角三角形 中，
∴
∴ ；
在直角三角形 中，
∴
∴
∴上升的距离为水面在水面平行的直径上方，过点 作 于点 ，过点 作
于点
同理可得，上升的距离为： ．
故答案为：10或70．
11．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面
的高度为 ，地面入口的宽度为 ，门枕的高度为 ，则该圆弧所在圆的半径为 m．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的
关键．
设该门洞的半径的半径为 ，过点 作 于点 ，延长 交圆 于点 ，连接 ，则
，由垂径定理得 ，然后在 中，由勾股
定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设该门洞的半径的半径为 ，如图，过点圆心 作 于点 ，延长 交圆 于点 ，
连接 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即该门洞的半径为 ，
故答案为： ．
12．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场
馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形 是观众观演区，阴
影部分是舞台， 是半圆O的直径，弦 与 平行．已知 长8米，舞台区域最大深度为2米，如
果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
【答案】150
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作 于G，交弧于H，连
接 ，利用垂径定理求出 ，设半圆的半径为r，在 中，利用勾股定理求出半径，从而可
求矩形 的面积，即可求解．
【详解】解：过O作 于G，交弧于H，连接 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
设半圆的半径为r，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴
∴正方形边长 ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，
∵每平方米最多可以坐3名观众，，
∴观演区可容纳 人，
故答案为：150．
【考点题型四】利用弧，弦，圆心角关系求解/证明
13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知 是 的直径，点 是 的中点， ，
则 的度数为 ．
【答案】 / 度【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得 ，再由
计算 的度数即可．
【详解】解：∵点D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在 中， 是 的直径，
是 上一动点， 的最小值是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于 的对
称点C，连接 ，则 ，可证明点C在 上，再证明 ，
得到 三点共线，根据 可得当C、P、B三点共线时， 最小，即此时
最小，则 的最小值为 ．
【详解】解：如图所示，作点A关于 的对称点C，连接 ，
由轴对称的性质可得 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴点C在 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 三点共线，∴ ，
∵ ，
∴当C、P、B三点共线时， 最小，即此时 最小，
∴ 的最小值为 ，
故答案为：10；
15．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在 中， 为 的中点， 于点 ， 于
点
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得 平分 ．进而利用角平分线的性质定理即可得证．
（2）连接 由 ，得 ．进而得 ．利用 度直角三角形的性质得
，进而根据勾股定理得 ，从而即可求得 ．
同理，可得 ，于是即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接为 的中点，
，
，
平分 ．
又 ， ，
．
（2）解：如图，连接
由（1）得 ，
，
．
∵ ，
∴ ，
．
，
在 中， ，
，
．
同理，可得 ，．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性
质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题
的关键．
16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）．
(1)如图1， ，比较 与 的长度，并证明你的结论．
方法应用
(2)如图2， ， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ，且 ，
是 的中点．
①求证： ．
②若圆心 到 的距离为3， 的半径是6，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) 证明见解析；②
①
【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股
定理是解题的关键．
（1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可；
（2）根据勾股定理求出 ，再根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）解： ．
证明： ，
，，即 ．
（2）解：①证明： 是 的中点，
．
，
，
，
，
．
②如图，过点 作 ， 是垂足，连接 ．
在 中， ， ，
，
．
【考点题型五】判断三角形外接圆圆心位置
17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在坐标系中， 、 、 ．
(1)经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为________；
(2)这个圆的半径为：_______；(3)直接判断点 与 的位置关系．点 在 ________．（填“内”、“外”、“上”）
【答案】(1)
(2)
(3)外
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
（1）根据题意， 的垂直平分线所在直线为 ，可知圆心M在直线为 上，设 ，根据
，可求出圆心M的坐标；
（2）由（1）求出 ，即可求圆的半径长；
（3）根据 ，即可判断D点的位置．
【详解】（1）解： 、 ，
的垂直平分线所在直线为 ，
圆心M在直线为 ，
设 ，
，
，
解得 ，
，
故答案为： ；（2）解： ， ，
，
圆的半径长为 ，
故答案为： ；
（3）解： ， ，
，
，
点 在 外，
故答案为：外．
18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在 正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，
请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出 的外心D；
(2)图2中D是 的中点，作出 边上的点F（不与点B重合），使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结
合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作 及 的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作 的垂线，垂足即为点F，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一亲，可得 ．
【详解】（1）如图1，点D即为 的外心；（2）如图2，点F即为所作；
【考点题型六】求特殊三角形外接圆的半径
19．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图，已知 ，用尺规作图画出 的外接圆
（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若 是直角三角形，且 ， ，则 的外接圆的半径为______．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
（1）作 和 的垂直平分线，它们相交于点 ，然后以 点为圆心， 为半径作圆即可；
（2）根据圆周角定理得到 为直角 的直径，从而得到 的外接圆的半径．
【详解】解：（1）如图， 为所作；（2） ，
为 的外接圆的直径，
的外接圆的半径 ．
故答案为： ．
20．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）关于x的方程 有两个不相等的实数根，以这两个
根作为等腰 的底边长和腰长，这样的等腰三角形有且仅有一个．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大值时，求该等腰三角形外接圆半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出 ，根据这两个根作为等腰 的底边长和腰长，
这样的等腰三角形有且仅有一个，得出 ，且 ，求出m的取
值范围即可；
（2）先求出 时，方程的解，得出该等腰三角形的三边分别为 ，4，2，如图， ，
，作其外接圆 ，连接 并延长交 于点D，设 ，根据勾股定理得出
，解方程即可．
【详解】（1）解：∵ 有两个不相等的实数根，假设为a，b，且 ，
∴ ，解得： ，
∵这两个根作为等腰 的底边长和腰长，这样的等腰三角形有且仅有一个，
∴ ，且 ，
解得： ；
（2）解：把 代入得： ，
解得： ， ，
∴该等腰三角形的三边分别为 ，4，2，
如图， ， ，作其外接圆 ，连接 并延长交 于点D，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
即该等腰三角形外接圆半径为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
21．（22-23九年级上·广东广州·期末）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个
问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是 的一个实数根，请结合
作图求这个三角形的外接圆面积．
【答案】 或
【分析】利用因式分解法求出三角形的第三边长，然后分两种情况：当第三边长是3时，当第三边长是5
时，结合三角形外接圆的性质解答，即可．
【详解】解： ，
解得： ，
当第三边长是3时，三角形三边长为3，3，4，
如图， ，点O为 的外接圆，连接 ， 交 于点D，
∵点O为 的外接圆， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴这个三角形的外接圆面积为 ；
当第三边长是5时，三角形三边长为3，4，5，
如图， ，点O为 的外接圆，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点O为 的外接圆，
∴ 为圆O的直径，
∴ ，
∴这个三角形的外接圆面积为 ；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为 或 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握解一
元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【考点题型七】利用圆周角定理求解
22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 、 是 的弦，延长 、 相交于点P，已知
， ，则 的度数是 ．【答案】20
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的度数是 ．
故答案为：20．
23．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图， 内接于 ， ， ，
于点 ．若 的半径为 ，则CD的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；连接 、 ，根据圆周
角定理可得 ，由勾股定理求得 的长，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接 、 ，∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 中，∵ ， ，
∴ ；
故答案为：❑√2．
24．（24-25九年级上·广西南宁·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，
点A，B的读数分别为 ， ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到 ，再根据同圆中同
弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接 ，
∵点A，B的读数分别为 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．25．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图， 是 的直径，A，B，C是 上的三点，
，点B是弧 的中点，点P是 上一动点，若 的半径为2，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定线段和最小的情况是解题的关键．
如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
， ，由轴对称的性质可知， ， ，则 ，
，可知当 三点共线时， 值最小为 ，由勾股定理得，
，计算求解即可．
【详解】解：如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点B是弧 的中点，
∴ ，
由轴对称的性质可知， ， ，
∴ ， ，
∴当 三点共线时， 值最小为 ，
由勾股定理得， ，故答案为： ．
【考点题型八】利用圆周角定理推论求解
26．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， 的平分线
交 于点D．若 ，求 的长．
【答案】 ，
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理及直径对的圆周角为直角等知识；连接 ，易得
，勾股定理求出 的长，角平分线结合圆周角定理得到 ，得到
为等腰直角三角形，求出 的长即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ 的平分线交 于点D，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
∴ ．
27．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1， 是 的直径，点C在圆上，若 ，
求 的半径；
（2）如图2， 是 的直径，点 在圆内， ，若 ， ，求
的半径；
（3）如图3，点 在 上， ，若 ，求 的
半径．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角的定理，勾股定理及平行四边形的判定，等腰三角形的性质，直
角三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据 是 的直径，可得 ，再根据勾股定理求出 即可得出半径．
（2）作 交AC的延长线于点E，得出四边形 是平行四边形，由 ，再根据
勾股定理得出 即可得出半径．
（3）作 交 的延长线于点E，作 于F，连接 ，得出四边形 是平行四边形，
，再根据勾股定理得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 ，设
， ，最后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径，点C在 上，
∴ ，，
∴ 的半径为 ．
（2）如图，作 交AC的延长线于点E，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
，
∴ 的半径为 ．
（3）如图，作 交 的延长线于点E，作 于F，连接 ，
同（2）可得四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
作 于 ，
， ，
设 ， ，
则有 ，
解得 ，
，
即 的半径为 ．
28．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形 内接于 ， ．
(1)如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)AC
【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到 是直径，则 ，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图2，连接 ，作 于H，先利用勾股定理得到 ，再由角平分线
的定义得到 ，则可证明 ，求出 ，由勾股定理可得 ．
再证明 是等腰直角三角形，同理可得 ．在 中， ，据此可得答案．
【详解】（1）解： ，
是直径，
∵ 的半径为6，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
∵
∴ ，
；
（2）解：如图2，连接 ，作 于H，
， ， ，
．
平分 ，
，
，
．
四边形 内接于 ， ，
，
在 中，由根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ．
，
∴ 是等腰直角三角形，
同理可得 ．在 中， ，
．
【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三
角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
【考点题型九】已知圆内接四边形求角度
解题方法：圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆
内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
29．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）点A、B、C都在 上，如果 ，那么 的度数
是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形．根据圆周角定理和圆内接四边形的性质，分类求解
即可．
【详解】解：当点C在优 上时，
∵ ，
∴ ，
当点C在劣 上时，
∴
∴ ．
故答案为： 或 ．
30．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图， 是半圆的直径， 为圆心， 是半圆上的点， 是
上的点，连接 ，若 ，则 的度数为 ．【答案】
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得 ，由直角三角形的两个锐角互余可得
，根据圆内接四边形的性质定理可得 ，然后利用等式的性质
即可得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
是半圆的直径，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形的性质定
理，等式的性质 等知识点，熟练掌握直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
31．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在 中，弦 所对的圆心角是 ，则弦 所对的圆周角
为 ．
【答案】45或135
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，根据题意画出图形，根据圆周角定理
计算即可．
【详解】解：如图，当点E在优弧 上时，
由圆周角定理得， ，
当点D在劣弧 上时，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴弦 所对的圆周角的度数为 或 ．
故答案为：45或135．
32．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在圆内接四边形 中， ， ，若点
A(0,3)，则圆的直径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆内接四边形性质，圆周角定理及推论，勾股定理．根据圆内接四边形性质求出
是解答本题的关键．
由圆内接四边形 ， ，得出 ，又因 ，所以 ， 是
圆的直径，由勾股定理求解 即可．
【详解】解：∵四边形 是圆内接四边形， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 圆的直径， ，
∵点A(0,3)，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．故答案为 ．
【考点题型十】利用点和圆的位置关系求半径
解题方法：根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.
设半径为r，点到圆心的距离为d
1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外.
33．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，
以A为圆心，r为半径作 ，若点B，D，C均在 外，求r的取值范围．
【答案】0＜r＜5
【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求
解．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
D是 的中点，
∵
∴ ，
5＜6＜8，
∵AD＜AB＜AC，
∴
A为圆心，r为半径，点B，D，C均在 外，
∵
0＜r＜5．
∴【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点
与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d
＞r时，点在圆外．
34．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图， ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中
点． △(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取
值范围．
【答案】(1)R=5
(2)8＜r＜10
【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根据∠ACB＝90°可得AB为⊙O的直径，即可得答案；
（2）根据BC、BO、BA的长可得点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，进而可得答案．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB= =10，
∴
ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，
∵∠AB为⊙O的直径，
∴
R= AB=5．
∴
（2）∵点O是AB的中点，AB=10，
BO= AB=5，
∴
BO＜BC＜BA，
∴∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，
8＜r＜10．
∴【点睛】本题考查圆周角定理、点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握直角所对的弦是直径是解题关键．
【考点题型十一】利用直线和圆的位置关系求解解题方法：判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；
②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；
③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离.
2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
设半径为r，直线到圆心的距离为d
①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离.
35．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是
的中点，以O为圆心，r为半径作 ．
(1)当r满足什么条件时， 与 的边有2个公共点？
(2)当r满足什么条件时， 与 的边有3个公共点？
(3)当r满足什么条件时， 与 的边有4个公共点？
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是：
（1）根据勾股定理逆定理判断出 ，取 中点E，取 中点F，连接 ， ，根据三角形
中位线定理可求出 ， ，然后数形结合即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求出 ，然后数形结合即可解答；
（3）结合（1）中结论，数形结合即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
取 中点E，取 中点F，连接 ， ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
∴当 时， 与 的边有2个公共点；
（2）解：由（1）知：当 时， 与 相切，
∴当 时， 与 的边有3个公共点，
∵ ，点O是 的中点，
∴ ，
∴当 时， 与 的边有3个公共点，
综上，当 或 时， 与 的边有3个公共点；（3）解：由（1）知：当 时， 与 相切，
此时 与 的边有5个公共点，
∴当 时， 与 的边有4个公共点．
36．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知： 中， ，以点C为
圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作 于点D，由勾股定理
求出 的长，再求出 的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．
【详解】（1）解：过点C作 于点D，
∵ 中， ，
∴ ，∴ ，
∴当 ， 和直线 相离；
（2）解：当 时， 和直线 相切；
（3）解：当 时， 和直线 相交．
【考点题型十二】切线的性质与判定综合
解题方法：运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角
形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
37．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在 上取一点C，延
长AB至点D，连接 ， ，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证：CD是 的切线
(2)若 ， ，则 的长
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角
定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，如图，根据圆周角定理得到 ，即 ，求得 ，得到
，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，为直径，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
解得： ．
38．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， ，在圆上
取一点C，使得 ，延长 、 ，交点为D．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为2．
【分析】（1）连接 ，证明 ，得到 ，即可证明 与 相切；
（2）先求得 ，得到 ，求得 ，再利用含30度角的直角三角形的
性质列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 与 相切；
（2）解：延长 到点 ，使 ，连接 ， ，设 的半径为 ，∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ 的半径为2．
39．（2023·山东淄博·二模）如图， 内接于 ， 为 的直径，点 是弧 的中点， 交
于 ， 交 于 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；(3)
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平
分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）由 是 的直径，得 ，由 ，得 ，由 ，
，得 ，所以 ，即可
证明 是 的切线；
（2）由 ， ，得 ，则
；
（3）作 于点 ，则 ，由勾股定理得 ，则
，可求得 ，所以 ，即可由
，求得 ．
【详解】（1）证明： 是 的直径，
，
点 是弧 的中点，
，
，
， ，
，
，
是 的半径，且 ，
是 的切线．
（2）证明： ，
，
，
，
．（3）解：作 于点 ，
， 平分 ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是 ．
40．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在 中， ，以 为直径的 与AB边
交于点 ，过点 作 的切线，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若以点 为顶点的四边形是正方形，试判断 的形状，并说明理由．【答案】(1)详见解析
(2) 是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】( ）连接 ，根据切线的判定及切线的性质可知 ， ，再根据切线长的定理
及余角的定义 ，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可．
（ ）根据正方形的性质可知 是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即
可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是直径， ，
∴ 是 的切线，
∵DE是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
∵当以点 为顶点的四边形是正方形时， ，
∴ 是直角三角形，
由（1）可知： ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵△ABC是直角三角形， ，
∴ ，
∴△ABC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角
三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接 得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的
余角相等”是解题的关键．
【考点题型十三】应用切线长定理求解
41．（24-25九年级上·四川广元·期中） 如图所示， 的半径是4， 、 分别与 相切于点A、点
B，若 与 之间的夹角 ．
(1)若点C是圆周上的一动点， 的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数．
(2)求 的周长．
【答案】(1) 的大小为定值，定值为 或 ；
(2) ．
【分析】（1）根据切线性质得出 ，求出 ，根据圆周角定理求出即可；
（2）连接 ，求出 是等边三角形， ，求出 和 ，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵ 、 分别与 相切于点A、点B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当C在优弧 上时， ，
当C在劣弧 上时， ；
（2）解：连接 ，
∵ 、 分别与 相切于点A、点B， ，∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，由勾股定理得： ，
∴ 的周长是 ．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理．
正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
42．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图， 是半圆 的直径， 和 是它的两条切线，切点分
别为 ， 平分 ．
(1)求证： 是半圆 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）过 作 ，垂足为 ，再由角平分线的性质得到 ，从而可知 是半圆
的切线；
（ ）由切线长定理可知 ， ，再由线段和差可求得 的长；
本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关
键．
【详解】（1）证明：如图，过 作 ，垂足为 ，∵ 与半圆 相切于点 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是半圆 的半径，
∴ 是半圆 的切线；
（2）解：∵ 是半圆 的两条切线，切点分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半圆 的两条切线，切点分别为 ，
∴ ．
43．（2024九年级上·全国·专题练习）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为
D，E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是 ， ， ；若 ， ，则 半径长为 ；
(2)如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．求证： 是 的切线．
【答案】(1) ； ；1
(2)证明见解析
【分析】（1）连接 ， ，由切线长定理可知， ， ，再推得四边形 是正方形，
设 ，根据 ，可得 ，计算即可；
（2）过O作 于H，连接 ， ， ，先证得 ，再证明四边形 是
矩形，即可得 ，即 是 的半径，即可证明．
【详解】（1）解：连接 ， ，如图：由切线长定理可知， ， ，
∵ ， 是 的内切圆，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即 半径长为1；
故答案为： ； ；1．
（2）证明：过O作 于H，连接 ， ， ，如图：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，同（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，即 是 的半径，
∵ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查三角形内切圆，圆的切线判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形判定与性质，
矩形的判定与性质，解题的关键是掌握切线长定理和切线的判定定理．
【考点题型十四】正多边形与圆的相关计算
44．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将 的圆周12等份，圆内接矩形 的面积为20，则
圆内接正六边形面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接 ， 交
于 ，根据矩形的性质得到 ，求得 ，推出 是等边三
角形，得到边 即为圆内接正六边形的边，即可求解．
【详解】解：连接 ， 交于 ，如图所示：
四边形 是矩形，
，， 是 的直径，
将 的圆周 等份，
，
是等边三角形，
边 即为圆内接正六边形的边，
圆内接矩形 的面积为 ，
，
圆内接正六边形面积为 ，
故答案为：30．
45．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正五边形 中，点M是边 的中点，连接 、
，交于点N，则 ．
【答案】 /54度
【分析】连接 ， ，先证明 ，得到 ，再利用等腰三角形的三线合一性质，
三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵正五边形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ．∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形内
角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
46．（24-25九年级上·全国·阶段练习）一个半径为5 的圆内接正六边形的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆．熟练掌握圆内接正六边形的边长等于半径是解题的关键．
根据圆内接正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长．
【详解】解：∵圆的半径为5 ，
∴圆内接正六边形的半径为5 ，即边长是5 ，
∴正六边形的周长是： ．
故答案为： ．
47．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为
【答案】九/9
【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
根据圆周角定理可得正多边形的边 所对的圆心角 ，再根据正多边形的一条边所对
的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为 ，连接 ， ，
，
，
而 ，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
48．（23-24九年级下·上海静安·阶段练习）对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为
．
【答案】72°/72度
【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角．根据题意判断出对角线条数和边数
相同的正多边形是正五边形，进而即可解答．
【详解】解：设正多边形的边数为 ，则对角线条数为 ，
根据题意得， ，
解得 ，或 （舍去）
∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，
正五边形的中心角为 ．
故答案为：
【考点题型十五】利用弧长公式求解
49．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）扇形的圆心角为 ，半径为 ，则弧长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：弧长 ，故答案为： ．
50．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）扇形的弧长为 ，弧所对的圆心角为 ，则此扇形的半径为
．
【答案】9
【分析】本题考查了弧长公式，设圆的半径为r，根据题意，得 ，计算即可．
【详解】设圆的半径为r，根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为：9．
51．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ，则此扇形的圆心角
是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，代入弧长公式计算即可．
【详解】解：扇形的弧长是 ．
∴
故答案是： ．
【考点题型十六】利用扇形面积公式求解
52．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则该扇形的面积为
．
【答案】 /
【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为 ，半径为 的扇形的面积
弧长 ．设扇形的半径为 ，根据弧长公式和已知条件得出 ，求出 ，再根据
扇形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：设扇形的半径为 ，
扇形的圆心角为 ，弧长为 ，
，
解得： ，扇形的面积为 ，
故答案为： ．
53．（20-21九年级上·北京大兴·期末）若扇形的圆心角为 ，半径为2，则扇形的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了扇形的面积公式；
直接利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的面积为 ，
故答案为： ．
54．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形
桌面（如图①），餐桌两边 和 平行且相等， （如图②），小华用皮尺量得 米，
米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，熟练掌握相关性质定
理，正确计算弓形的面积，是解答本题的关键．
设圆心为 ，连接 ，过点 作 于点 ，根据题意，求出 ， ，从而得到 ，
利用 ，由此求出答案．
【详解】解：根据题意，圆形桌面如图所示，设圆心为 ，连接 ，过点 作 于点 ，
则 ，
是⊙ 的直径，
， ，
，
和 平行且相等，
，
（米），
，
，
，
，
，
，
，
，
桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 （平方米），故答案为： ．
【考点题型十七】求不规则的图形面积
55．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 是 的内切圆，若
，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的
半径和 的度数，再计算出 与 的差，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的内切圆，
∴ 分别与 相切于点 ，
∴四边形 是正方形，
设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ，解得： ，
∵ 是 的内切圆，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
56．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点B逆时
针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法
是解题的关键．根据旋转的性质得到 ， ，进而得到
，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：将 绕点B逆时针旋转 得到 ，
， ，，
在 中， ， ，
，
上式 ．
故答案为： ．
57．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形 中， ，点C为 的中点，
交弧 于点E，以点O为圆心， 的长为半径作弧 交 于点D，若 ，则阴影部分
的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线
是解题的关键．如图所示，连接 ，先证明 是等边三角形，得到 ，
，利用勾股定理求出 ，再根据 进行
求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵点C为 的中点， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
58．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形 中， ， ，点 为 的中点，
连接 ， ，交点为 ，点 为 的中点，连接 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可．
【详解】解：∵在扇形 中， ， ，点 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为 ；
故答案为： ．
【考点题型十八】利用圆锥的侧面积公式求解
59．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是
．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计
算．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为 ，高为 ，∴圆锥的母线长 ，
∴圆锥的侧面展开图的面积 ；
故填： ．
60．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为 ，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根
据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题．
【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：
，
解得 ．
故答案为： ．
61．（22-23九年级上·山东威海·期末）若某一圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，则这个圆锥
的高是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面圆的半径为 ，利用弧长公式得到 ，则可求出r，然后利用勾股定理计
算这个圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以这个圆锥的高为 ．
故答案为： ．
62．（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为 ，底面半径为 ，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ．
【答案】 /120度
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为 ，则 ，代入数
据即可求解．
【详解】设侧面展开扇形的圆心角为 ，则 ，
．
故答案为： ．
【考点题型十九】圆锥的实际问题
63．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．
2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范
片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为 米，
高度为 米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟
知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键．
【详解】解：∵底面周长为 米
∴底面半径为：
母线长为： 米
故粮仓的侧面积为： ，
故答案为： ．
64．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示是一个侧面积为 的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，
若其底面圆的半径为 ，则它的母线长为 cm．【答案】12
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式
计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决
本题的关键．
【详解】解： 底面圆的半径为 ，
底面圆的周长为 ，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为 ，
设母线长为
∵侧面积为 的圆锥形冰淇淋外壳
∴
故答案为：12
65．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线 长为 ，开口直径为 ．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
【答案】 /180度
【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可；
（1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为 ，
∴圆锥的高为 ；即：水深 cm；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ，
∴ ，
∴展开滤纸的圆心角为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解
题的关键．
66．（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是 cm2．
【答案】90π
【分析】如图，首先得知这个几何体为一个圆锥，然后根据题意得出它的半径，高以及母线长，继而求出
它的全面积．
【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm，
则底面圆的半径是5cm，
母线长= =13cm，
它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)．
故答案为：90π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，可先根据三视图确定这个几何体的形状，然后根据其表面积计算方法进
行计算．
【考点题型二十】圆锥侧面上的最短路径解题方法：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
在圆锥上求最短距离，需把圆锥侧面展开为平面，然后利用“两点之间线段最短”和勾股定理解决问题.
67．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长 ， 为母线 的中点，
为圆锥底面圆的直径，两条母线 、 形成的平面夹角 ．在圆锥的曲面上，从点 到点
的最短路径长是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是 ，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是 ，展开圆锥的侧
面，构造直角三角形即可得．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴圆锥的底面周长是 ，
则
∴ ，
即圆锥侧面展开图的圆心角是 ，
如图所示，
∴ ，
∵ 为母线 的中点，
∴ ，
∴在圆锥侧面展开图中 ，∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上
两点间的距离并正确计算．
68．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点
，将圆锥沿母线 剪开，其侧面展开图如图2所示，若 ， ，则蚂蚁爬行的最短距
离是 ．
【答案】6
【分析】连接 ，作 于点 ，根据题意，结合两点之间线段最短，得出 即为蚂蚁爬行的最短
距离，再根据三角形的内角和定理，得出 ，再根据直角三角形中， 所对的直角边等于斜边
的一半，得出 ，再根据勾股定理，得出 ，再根据三线合一的性质，得出 ，再根据
线段之间的数量关系，得出 ，进而即可得出结果．
【详解】解：如图，连接 ，作 于点 ，
∴ 即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴蚂蚁爬行的最短距离为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三
线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理．
