专题04平面向量的线性运算与数量积（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）2924143

专题04 平面向量的线性运算与数量积 1、【2022年全国乙卷】已知向量⃑a=(2,1)，⃑b=(−2,4)，则|⃑a−⃑b|（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为⃑a−⃑b=(2,1)−(−2,4)=(4,−3)，所以|⃑a−⃑b|=√42+(−3) 2=5. 故选：D 2．【2022年全国乙卷】已知向量⃑a,⃑b满足|⃑a|=1,|⃑b|=√3,|⃑a−2⃑b|=3，则⃑a⋅⃑b=（ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】C 2 【解析】：∵|⃗a−2⃗b|2=|⃗a|2−4⃗a⋅⃗b+4|⃗b|， 又∵|⃗a|=1,|⃗b|=√3,|⃗a−2⃗b|=3, ∴9=1−4⃗a⋅⃗b+4×3=13−4⃗a⋅⃗b， ∴⃗a⋅⃗b=1 故选：C. 3、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB= （ ） A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以⃑BD=2⃑DA，即⃑CD−⃑CB=2(⃑CA−⃑CD)， 所以⃑CB= 3⃑CD−2⃑CA=3⃑n−2⃑m =−2⃗m+3⃗n． 故选：B． 4．【2022年新高考2卷】已知向量⃑a=(3,4),⃑b=(1,0),⃑c=⃑a+t⃑b，若<⃑a,⃑c>=<⃑b,⃑c>，则t=（ ） A．−6 B．−5 C．5 D．6 【答案】C9+3t+16 3+t 【解析】：⃗c=(3+t,4),cos⟨⃗a,⃗c⟩=cos⟨b,⃗c⟩,即 = ,解得t=5, 5|⃗c| |⃗c| 故选：C 5、【2022年北京】在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1， 则⃑PA⋅⃑PB的取值范围是（ ） A．[−5,3] B．[−3,5] C．[−6,4] D．[−4,6] 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)， 因为PC=1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 设P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]， 所以⃑PA=(3−cosθ,−sinθ)，⃑PB=(−cosθ,4−sinθ)， 所以⃑PA⋅⃑PB=(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos2θ−3cosθ−4sinθ+sin2θ=1−3cosθ−4sinθ 3 4 =1−5sin(θ+φ)，其中sinφ= ，cosφ= ， 5 5 因为−1≤sin(θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin(θ+φ)≤6，即⃑PA⋅⃑PB∈[−4,6]； 故选：D 6、【2022年全国甲卷】已知向量⃑a=(m,3),⃑b=(1,m+1)．若⃑a⊥⃑b，则m=______________． 3 【答案】− ##−0.75 4 3 【解析】由题意知：⃑a⋅⃑b=m+3(m+1)=0，解得m=− . 4 3 故答案为：− . 4 1 7．【2022年全国甲卷】设向量⃑a，⃑b的夹角的余弦值为 ，且|⃑a|=1，|⃑b|=3，则(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=_________． 3【答案】11 1 1 【解析】：设⃑a与⃑b的夹角为θ，因为⃑a与⃑b的夹角的余弦值为 ，即cosθ= ， 3 3 1 又|⃑a|=1，|⃑b|=3，所以⃑a⋅⃑b=|⃑a|⋅|⃑b|cosθ=1×3× =1， 3 所以(2⃑a+⃑b)⋅⃑b=2⃑a⋅⃑b+⃑b2=2⃑a⋅⃑b+|⃑b| 2 =2×1+32=11． 故答案为：11． 8．【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A A ⋯A 的边A A 上，则⃑PA2+⃑PA 2+⋯+⃑PA2 的 1 2 8 1 2 1 2 8 取值范围是_______． 【答案】[12+2√2,16] 【解析】以圆心为原点，A A 所在直线为x轴，A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： 7 3 5 1 √2 √2 √2 √2 √2 √2 则A (0,1),A ( , ),A (1,0),A ( ,− ),A (0,−1),A (− ,− ),A (−1,0), 1 2 2 2 3 4 2 2 5 6 2 2 7 √2 √2 A (− , )，设P(x,y),于是⃗PA2+⃗PA2+⋯+⃗PA2=8(x2+ y2 )+8， 8 2 2 1 2 8 1+cos45∘ 因为cos22.5∘≤|OP|≤1，所以 ≤x2+ y2≤1，故⃗PA2+⃗PA2+⋯+⃗PA2 的取值范围是 2 1 2 8 [12+2√2,16]. 故答案为：[12+2√2,16]． 8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 为坐标原点，点 ， ，， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A： ， ，所以 ， ，故 ，正确； B： ， ，所以 ， 同理 ，故 不一定相等，错误； C：由题意得： ， ，正确； D：由题意得： ， ，故一般来说 故错误； 故选：AC 9、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 ，若 ，则 _________． 【答案】【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ， 解方程可得： . 故答案为： . 10、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 ，若 ，则 __________． 【答案】 【解析】因为 ，所以由 可得， ，解得 ． 故答案为： ． 11、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量 满足 ，则 _________. 【答案】 【解析】∵ ∴ ∴ . 故答案为： . 12、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量 ．若 ，则 ________．【答案】 【解析】. , ，解得 , 故答案为： . 13、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ， . ， 因此， . 故选：D. 14、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设向量 ，若 ，则 ______________. 【答案】5 【解析】由 可得 ，又因为 ， 所以 ， 即 ， 故答案为：5. 15、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 为单位向量，且 ，则 ______________. 【答案】 【解析】因为 为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 16、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得： ， 由向量垂直的充分必要条件可得： ，即： ，解得： . 故答案为： ． 题组一、平面向量的线性运算与基本定理的应用 1-1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）数学家欧拉于 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出 定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， 该直线被称为三角形的欧拉线，设点 分别为任意 的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半， ， ， ，A错误，B错误； ，C错误；，D正确. 故选：D. ⃗ 1⃗ AE  AC 1-2、（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形ABCD中， 3 ，若 ⃗ ⃗ ⃗ EDADAB  ，则 （ ） 1 2 1  A． 3 B．1 C．3 D．3 【答案】D 【解析】 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗  2⃗ 1⃗ ED AD AE  AD AC  AD AB AD  AD AB 3 3 3 3 , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ EDADAB AD，AB 又∵ ， 不共线 ， 2 1  , 根据平面向量基本定理可得 3 3, 1  ∴ 3, 故选：D. ⃑ 1⃑ AD  BC 1-3、（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形ABCD满足 4 ，平面内点E满足 ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ BE 3CE CD AE M BM  xAB yAD x y  ， 与 交于点 ，若 ，则 （ ）5 5 4 4   A．2 B． 2 C．3 D． 3 【答案】C 【解析】 易知BC 4AD，CE 2AD， ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗  ⃗ BM  AM  AB AE AB  ABBE AB 3 3 1 ⃗ ⃗  ⃗ 2⃗ ⃗  AB6AD  AB  AB2AD 3 3 ， 4 x y  ∴ 3 ， 故选：C . 1-4、（2022·广东潮州·高三期末）在 的等腰直角 中， 为 的中点， 为 的中点， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以 为原点建立直角坐标系，设 ， ，则 ， ， 则 ， ， 所以 ，所以 . 故选：A 1-5、（2022·广东罗湖·高三期末）已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】通过向量加法的平行四边形法则可知 ， ，选项A正确； ，选项B错误； 与 方向不同，选项C错误； 延长 到 ,使 ,通过向量减法的三角形法则可知 ,在 中， ， ，选项D正确. 故选：AD. 1-6、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）在 中， ， ，其中 ，， ， ， ，则（ ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】AD 【解析】 因为 ，所以 与 的夹角为 ， 当 时， ， 故A正确； 当 时， ，所以 是边长为4的等边三角形， ，所以B错误； 当 时， ，所以 ，所以 ，故C错误； 当 时， ， ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，故D正确. 故选：AD.题组二、向量的坐标运算 2-1、（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量 ， ，向量 与 垂直，则实数 的值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】因为 与 垂直， 所以 ， 所以 . 故选：C. 2-2、（2022·河北保定·高三期末）若向量 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为向量 ， ， 对于A：若 ，则 ，解得： ，所以不存在 ，使得 ，故选项A不正确； 对于B：若 ，则 ，可得 ，所以存在 ，使得 ，故选项B正确； 对于C：令 可得： ，所以存在 使得 ，故 不成立，故 选项C不正确， 对于D： ， ，若 ，则 ，此方程无解，所 以不存在 ，使得 ，故选项D不正确；故选：B. 2-3、（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 ， ，下列正确 的是（ ） A． B． C． 方向上的投影是 D． 【答案】C 【解析】由已知 ， ， 所以 ， ， 因为 ，所以 不平行，A错， 因为 ，所以 不垂直，B错， 因为 方向上的投影为 ，C对， 因为 ，所以 不垂直，D错， 故选：C. 2-4、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知向量 ， ，则下列命 题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 在 上的投影为 ，则向量 与 夹角为 C．与 共线的单位向量只有一个为 D．存在 ，使得【答案】BD 【解析】 ：向量 ， ， 对A：因为 ，所以 ，所以 ，故选项A错误； 对B：因为 在 上的投影向量为 ，即 ， 所以 ，又 ， 所以 ， 因为 ，所以向量 与 夹角为 ，故选项B正确； 对C：与 共线的单位向量有两个，分别为 和 ，故选项C错误； 对D：当 时， ，此时向量 与 共线同向，满足 ，所以存在 ， 使得 ，故选项D正确； 故选：BD. 题组三、向量的夹角与模 3-1、（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量 的夹角为 ， ， ，则 ___________． 【答案】 【解析】 ， 则 ， 则 ．故答案为： 3-2、（2022·山东淄博·高三期末）已知向量 、 满足 ，且 在 上的投影的数量为 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 与 的夹角为 ，则 ， 所以， ，可得 ，因此， ， 因为 ，因此， . 故选：D. 3-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知非零向量 满足： ，则 夹角 的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解:因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，由于所以 故选：B 3-4、（2022·山东烟台·高三期末）已知 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由已知可得 ， ， 因此， . 故选：D. 3-5、（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 得： ，即 ，解得 ， 因此， ，而 ，解得 ， 所以 与 的夹角为 . 故选：B 题组四、向量数量积的运用 4-1、（2022·山东日照·高三期末）已知△ 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点， 且 ，则 的值为（ ）A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】 把△ 如下图放在直角坐标系中， 由于△ 的边长为1，故 ， 点 分别是边 的中点， ，设 ， ， ， ， . 故选：B. 4-2、（2022·湖北·高三期末）在 中， ，点E满足 ，则 （ ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解析】中， ，所以 ， ， 故选：B. 4-3、（2022·山东淄博·三模）如图在 中， ， 为 中点， ， ， ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， ， ， 又 ， ， ， 则 ， 即 ，即 ， 则 ， 则 ， ， 则 ； 故选：C．4-4、（2022·江苏扬州·高三期末）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形， 等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为 ，则 ＝（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 解：由题意可知， ， 故选：B． 1、（2022·河北张家口·高三期末）已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 ___________. 【答案】【解析】 因为 ，所以 ，所以 . 故答案为： . 2、（2022·山东泰安·高三期末）若单位向量 满足 ，向量 满足 ，且向量 的夹角为 ，则 （ ）. A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 ， . ， ， . 故选：B. 3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知 ， 为单位向量，且 ，则 ， 的夹角 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 把 左右两边同时平方得： ， 由于 ， 为单位向量， . 故 ， 的夹角为 . 故选：C. 4、（2022·山东济南·高三期末）在平面直角坐标系内，已知 ， ， 是平面内一动点，则下列条件中使得点（ ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】 设点C的坐标为 则 对于A： 故A正确 对于B： 故B正确 对于C： 故C正确 对于D： 故D正确 故选：ABCD 5、（2022·山东济南·高三期末）已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．向量 与 的夹角为30° D．向量 在 上的投影向量为【答案】BD 【解析】 解： ，则 ，故A错误； ，故B正确； ，又 ，所以向量 与 的夹角为60°，故C错误； 向量 在 上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD. 6、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端点）， 若 ，则 ___________， 的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 因为在 中， ， 所以 , 即 . 因为点 在线段 上移动（不含端点），所以设 . 所以 ，对比 可得 .代入 ，得 ； 代入 可得 ，根据二次函数性质知当 时， . 故答案为： 7、（2022·广东佛山·高三期末）菱形 中， ，点E，F分别是线段 上的动点 （包括端点）， ，则 ___________， 的最小值为___________. 【答案】0 【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故 ， ， ， ，设 ，则 ， ，则 ， ， ， ； 因为 ，所以 ， ，故当 时， 取得最小值为 ，因为 ，所以当 ，即 时， 最小，最小值为 故答案为：0， 8、（2022·广东汕尾·高三期末）已知非零向量 ，且 ，则 与 的夹角为______． 【答案】 【解析】非零向量 ，且 ， ， ，所以 ， 又 ，所以 ，即 与 的夹角为 . 故答案为： . 9、（2022·广东东莞·高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为 ， ， ， 将卡纸绕顶点 顺时针旋转 ，得到 、 的旋转点分别为 、 ，则 _________. 【答案】 ## 【解析】 以点 为坐标原点， 为 轴建立平面直角坐标系. 如图,则则 将 绕顶点 顺时针旋转 ,得到 ，如图. 则 ,即 可以看成是角 的终边. 点 在 轴上 则 , 所以 所以 所以 故答案为：