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专题 04 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
幂函数与二次函数近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2021年全国乙（文科），第20题,12分 含参二次函数判断正负 导函数
2021年全国乙（理科），第11题,5分 二次函数求最值 椭圆
2022年全国乙（文科），第20题,12分 含参二次函数判断正负 导函数
2022年全国甲（理科），第17题,5分 二次函数求最值 数列
2023年全国甲（文科），第11题,5分 二次函数的单调性 指数函数、不等式比较大小
2023年全国甲（理科），第13题,5分 二次函数的奇偶性 三角函数的奇偶性
2023年全国乙（文科），第8题,5分 含参二次函数判断正负 导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本小节是高考必考点，考查二次函数求最值以及含参二次函数判断正负；
2.幂函数考查性质；
【备考策略】1.了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况；
2.会用二次函数的思想求最值；
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；
5.会讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
【命题预测】1.利用二次函数的思想求最值；
2.讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
3.会利用幂函数的性质比较大小；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1知识讲解
一、幂函数
1.幂函数的定义
形如 y= x α 的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
2.常见的5种幂函数的图象
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23.常见的5种幂函数的性质
1
函数 y=x y=x2 y=x3 y= x2 y=x-1
{x|x∈R,且
定义域 R R R [0 , +∞ )
x≠0}
{ y|y ∈ R , 且
值域 R [0,+∞) R [0,+∞)
y ≠ 0}
非奇非
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数
4.幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶
函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图
象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴．
④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互
质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是
偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，
其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线
下方．
二、对勾函数
b
1.定义:形如f(x)=ax+ (ab>0)的函数.
x
b
2.图象:当a,b同号时,对勾函数f(x)=ax+ 的图象形状类似双勾,故称“对勾函数”,如图所示:
x
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3b
当a,b异号时,函数f(x)=ax+ 的图象形状发生了变化,如图所示:
x
b
3. 性质:以一般式y=ax+ (x≠0)(a>0,b>0)为例.
x
(1)定义域: ( -∞ ,0 ) ∪ (0 , +∞ ) .
b √b
(2)值域:(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞).当且仅当ax= ,即x=± 时取到端点值.
x a
(3)奇偶性:在其定义域上是 奇函数 .
√b √b √b √b
(4)单调性:在 - a,0 和 0, a 上严格单调递减,在 -∞,- a 和 a,+∞ 上严格单调递增.
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数.幂函数的特征:(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确
定其解析式.(2)判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般先将其化为根式,再判断.(3)若幂函数
y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
要注意对勾函数的定义域,一般地,对勾函数在整个定义域内没有最值,但在局部有最值;要结合图象,理解与记
忆对勾函数的单调性、对称性、奇偶性等.
三、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
．
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，
；
当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当 时，
．
③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点
．
④与y轴的交点坐标为： (0,c)
（4）一元二次方程 根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统
和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二
次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，
从以下四个方面来分析此类问题：
①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式
Δ=b2 −4ac
④端点函数值符号．
af(k)>0
①k＜x≤x
1 2
af(k)>0
②x≤x＜k
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5af(k)<0
③x＜k＜x
1 2
f (k )⋅f (k )>0
④k＜x≤x＜k 1 2
1 1 2 2
f (k )⋅f (k )<0
⑤k＜x＜k ＜x 1 2
1 1 2 2
（5）二次函数 在闭区间 上的最值
设 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，令 ．
（Ⅰ）当 时（开口向上）
①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6
(q) (p) (p)
(q)①若 ，则 ② ，则
(p)
x
x(q) 0
0
b
f( )
2a
(p)b (q)
f( )
2a
(Ⅱ)当 时(开口向下)
①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则
b
b b f( )
f( ) f( ) 2a
2a 2a
(q)
(p)
(p)
(q) (q) (p)
①若 ，则 ② ，则 ．
b
f( ) b
2a f( )
2a
(q)
(p)
x
0 x
0
(q)
(p)
考点一、幂函数
1．（2023年辽宁省名校联盟联考）幂函数 在第一象限内是减函数，则 （
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.
【详解】由幂函数的定义可知 ，解得 ，
由幂函数的单调性可知 ，所以 ．
2．（2014年全国普高招生统考北京卷（理科））下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：对A，函数
在[−1，+∞)上为增函数，符合要求；
对B， 在（0，1）上为减函数，不符合题意；
对C， 为[−∞，+∞)上的减函数，不符合题意；
对D，
在[−1，+∞)上为减函数，不符合题意.
3．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【详解】试题分析：∵函数 是减函数，∴ ；又函数 在 上是增函数，故 .
1．幂函数 在 上为减函数，则 的值为______.
【答案】
【分析】由函数 是幂函数，列方程求出 的值，再验证是否满足题意.
【详解】由函数 是幂函数，则 ，
解得 或 ；
当 时， ，在 上为减函数，满足题意；
当 时， ，在 上为增函数，不合题意.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 82．下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A： 在定义域 上单调递增，故A错误；
对于B： 在定义域 上单调递增，故B错误；
对于C： 定义域为 ，因为 在 上单调递减且值域为 ，
又 在定义域上单调递减，所以 在 上单调递增，故C错误；
对于D： ，函数在 上单调递减，故D正确；
3．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数 的单调性可得 ，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】因为函数 在R上单调递减， ，
所以 ，
因为函数 在R为增函数，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
综上， .
考点二、对勾函数的图象与性质
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9x2+4
1．(2023·河北模拟)已知函数f(x)= ,则该函数在(1,3]上的值域是( ).
x
13 [13 ]
[ ,5) ,5
[4,5) (4,5) 3 3
A． B． C． D．
【答案】A
x2 +4 4
【详解】∵f (x)= =x+ ,
x x
∴f(x)在（1,2）上单调递减,在[2,3]上单调递增，
∴f (2)=4是f (x)在(1,3]上的最小值，
13
又
f(1)=5,f(3)=
， 在 上的值域为 .
3 ∴f(x) (1,3] [4,5)
b
f(x)=ax+
x a,b f(1)=5,f(2)=4
2．已知函数 ,其中 为常数,且 .
a,b
(1)求 的值;
f (x) [1,3]
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
{f(1)=a+b=5,
b b =4,
{a=1,
f(x)=ax+ f(2)=2a+
x 2
b=4.
【详解】(1)因为 ,所以 解得
4
f (x)=x+
x f (x) (2,3] [1,2)
(2)由(1)可得 ,所以函数 在区间 上是严格增函数,在区间 上是严格减函数,所以
13
f(3)=
f (x) =f (2)=4 f (1)=5 3 f (x) =f (1)=5
min ,因为 , ,所以 max .
a2
y=x+ (a>0)
x (−∞，−a)和（a,+∞） (−a，0)和（0,a）
1．已知函数 在 内均为单调递增函数,在 内均为单
t
f (x)=x+ (t>0)
x
调递减函数.若函数 在集合N*内为单调递增函数,则实数t的取值范围为 .
【答案】(0,2)
【详解】根据题意f (x)在 （−∞，−√t）,(√t,+∞)内为单调递增函数.要使f (x)在N*内为单调递增函数,则
{ t>0,
{ t>0,
即 t 解得 ,所以实数 的取值范围为 .
f(1)0,c>0，不合题意；
C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D.
1．（2021年北京市部分名校模拟）函数 是单调函数的充要条件是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为函数 在 上单调递增，且在 上是单调函数，比较即可求解参数
范围．
【详解】函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又在区间 上是单调函数，所以 ，解得 .
2．函数 的最大值是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【详解】∵ ，
∴ ，最大值为 ．
【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得．
3．已知函数y=f (x)的图象与函数y=ax (a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称，记
．若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
g(x)=f(x)[f(x)+f(2)−1] y=g(x)
a
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先表述出函数 的解析式然后代入将函数 表述出来，然后对底数 进行讨论即可得到答
案．
【详解】已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
则 ，记 ．
当 时，若 在区间 上是增函数， 为增函数，
令 ，t∈ ，要求对称轴 ，无解；
当 时，若 在区间 上是增函数， 为减函数，
令 ，t∈ ，要求对称轴 ，
解得 ，所以实数a的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的
大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．
【基础过关】
1．已知 ， ， ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13A． B． C． D．
【答案】A
【分析】注意到 ， ，后利用指数函数，幂函数单调性可比较 大小.
【详解】因函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，则 ，
， .
又函数 在 上单调递增，则 ，又 ，则 .综上， .
2．若函数 ，当 时函数值 ，则 的取值范围是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
【答案】D
【分析】分 与 去解不等式，求出 的取值范围.
【详解】当 时， ，解得： ，与 取交集，结果为 ；当 时， ，
解得： ，综上： 的取值范围是 .
3．已知幂函数f(x)=(a2 +3a−3)xa+3在（0，+∞）上单调递减,若f(x)−f(3−2x)<0,则x的取值范围
是( ).
A．（1,3） B．（−∞，0）
3
C． D．（−∞，0）∪（1， ）
（−∞，1）∪（3，+∞） 2
【答案】D
【详解】因为f(x)=(a2 +3a−3)xa+3 为幂函数,所以a2 +3a−3=1，
1
解得 a=−4或a=1 ，又函数 f(x)在（0，+∞） 上单调递减,故 a=−4 ，此时
f(x)=x−1
= x ，为奇函数.
{
x>0,
{
x<0,
{ x<0,
由 ，等价于
3−2x>0,或 3−2x<0,或
，
3−2x>0,
f(x)−f(3−2x)<0得f(x)3−2x x>3−2x
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 142 ( 3)
1f(1)，则（
）
A．a>0 ，4a+b=0 B．a<0，4a+b=0
C．a>0，2a+b=0 D．a<0，2a+b=0
【答案】A
【分析】由已知得f (x)的图象的对称轴为x=2且f (x)先减后增，可得选项.
b
【详解】由 （4），得 图象的对称轴为
x=− =2
， ，
f (0)=f f(x)=ax2+bx+c 2a ∴4a+b=0
又
f(0)>f（1）
，
f（4）>f(1)
，∴
f (x)
先减后增，于是
a>0
.
【能力提升】
1．（2023年广东省部分名校联考）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得 ， ， ，即可得出答案.
【详解】由题知， ， ，
，所以 .
2 1
2．若 f(x)=x3 −x2，则满足f (x)<0的
x
取值范围是_____.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于 ，所以当 时 ，当 时， ，因此
的解集为 .
【考点】幂函数的性质.
3．若函数 在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数 在
上是增函数，则a＝______.
【答案】
【详解】 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意.
4．已知幂函数 （ 且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定 ，
又因为p与q互质，所以q为奇数.
5．已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简 ， ，所以 ，再化简 ， ，故可
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18得出答案.
【详解】∵ ，
，∴ ，
，∵ ，
且 在R上为增函数，∴ ，即 .
6．（2012年全国普高招生统一考试文科（重庆卷））设函数 集合
则 为( ).
A． B．（0，1） C．（-1，1） D．
【答案】D
【详解】 ,令 ,则原不等式等价于 ,
解得 或 ,∴ 或 ，∴ 或 ，
∴ 或 ，即 或 .
,∴ ,
∴ .
7．已知函数f(x)=2x+bx ，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f (x)的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：由题意知 ，最小值为 ．
令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，所以“ ”能推出“ 的最小值与 的最小值相等”；
当 时， 的最小值为0， 的最小值也为0，所以“ 的最小值与 的最小值相
等”不能推出“ ”．故选A．
考点：充分必要条件．
{(x−a) 2,x≤0,
8．（2014年全国普高招生统一理科（上海卷））f (x)= 1 若 是 的最小值，则
x+ +a,x>0,
x f (0) f (x)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19a的取值范围为（ ）
A．[-1,2] B．[-1，0] C．[1，2] D．
【答案】D
【详解】由于当 时， 在 时取得最小值 ，由题意当 时， 应
该是递减的，则 ，此时最小值为 ，因此 ，解得 ，选D．
【考点】分段函数的单调性与最值问题．
9．（2021陕西省部分名校模拟）函数 和 的递增区间依次是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过作图，可直接求出两个函数的单调区间．
【详解】分别作出f(x)与g(x)的图象
得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，
【点睛】本题考查函数的单调性和图象，常见函数的图象考生应强化记忆：一次函数、二次函数、反比例
函数、含绝对值的函数（需要理解绝对值在函数中的几何意义）．
10．（2015年全国普高招生统一考试理科（四川卷））如果函数
在区间 上单调递减，则mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【详解】 时，抛物线的对称轴为 .据题意，当 时， 即 .
.由 且 得 .当 时，抛物线开口向下，据题
意得， 即 . .由 且 得 ，故
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20应舍去.要使得 取得最大值，应有 .所以 ，所以最
大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
11．（2014年全国普高招生统一考试理科（天津卷））已知函数 ， ．若方程
恰有4个互异的实数根，则实数 的取值范围为__________．
【答案】 ．
【详解】试题分析：（方法一）在同一坐标系中画 和 的图象（如图），问题
转化为
与 图象恰有四个交点．当 与 （或 与 ）相切时，
与 图象恰有三个交点．把 代入 ，得 ，即
，由 ，得 ，解得 或 ．又当 时， 与 仅两个
交点， 或 ．
（方法二）显然 ，∴ ．令 ，则
∵ ，∴ ．结合图象可得 或 ．
【真题感知】
1．（2023年新高考天津数学高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
2．（2022年高考天津卷真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
3．（2021年山东省春季高考数学真题）关于函数 ，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.
【详解】 ，最大值是1，A正确；
对称轴是直线 ，B正确；
单调递减区间是 ，故C错误；
令 的 ，故 在函数图象上，故D正确.
4．（2019年全国统一高考（理科卷）（新课标Ⅱ））若a>b，则（ ）
A．1n(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3 −b3 >0 D．|a|>|b|
【答案】C
【分析】本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为
是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；取
，满足 ， ，知D错．
【详解】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除
B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所
以 .
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算
能力素养，利用特殊值排除即可判断．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 225．（2007年全国普高招生统一考试理科卷）函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简 为关于 的二次函数，然后换元，分别求出单调区间，再利用单调
性的性质即可判断每个选项
【详解】解：由题意， ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递减， 在 上
单调递增，
而 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，
对于A，当 时， 单调递减，且 ，此时 单调递减，所以
是 的一个单调增区间；
对于B，当 时， 单调递减， ，此时 不是单调函数，所以 不
是 的一个单调增区间；
对于C，当 时， 单调递减， ，此时 单调递增，所以 不是 的
一个单调增区间；
对于D，当 时， 单调递减， ，此时 单调递增，所以 不是
的一个单调增区间，则 也不是 的一个单调增区间；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23
