文档内容
专题 04 点到平面的距离(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：等体积法求点到平面的距离.......................2
题型二：利用向量法求点到平面的距离.....................4
三、专项训练..............................................6
一、必备秘籍
1、等体积法求点到平面的距离
（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从
而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法
（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有
时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平
行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理
面面平行也可以变换顶点
2、利用向量法求点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平
面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是
在直线 上的投影向量 的长度.
学科网（北京）股份有限公司二、典型题型
题型一：等体积法求点到平面的距离
1．（23-24高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台 中， 为轴截面，
， ， 为下底面圆周上一点， 为下底面圆 内一点， 垂
直下底面圆 于点 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求点 到平面 的距离．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱台 中，底面四边形 为
菱形， ， 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若四棱台 的体积为 ，求点 到平面 的距离．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·四川·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ，
侧面 是边长为4的正三角形， .
(1)证明：平面 平面ABCD；
(2)求点A到平面SBC的距离.
4．（2024高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
学科网（北京）股份有限公司题型二：利用向量法求点到平面的距离
1．（23-24高三上·山东日照·期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， 为
底面直径， 为底面圆O的内接正三角形，点 E在母线 上，且 ，
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点M为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离.
2．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图所示，正方体 的棱长为3，动点
在底面正方形 内，且 与两个定点 ， 的距离之比为 ．
(1)求动点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)求动点 到平面 的距离的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司3．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直
径， 为底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面 的距离．
4．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，直四棱柱 的底面为平行
四边形， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若底面 为矩形， ，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求
学科网（北京）股份有限公司D到平面 的距离.
三、专项训练
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 、 分别为
、 的中点，且 ， ， ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求 到平面 的距离．
2．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱 中，底面 是以 为
斜边的等腰直角三角形，侧面 为菱形，点 在底面上的投影为 的中点 ，且
.
(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离.
学科网（北京）股份有限公司3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面
为正三角形， ， ，平面 平面 ，E为棱 上一点（不与
P，B重合），平面 交棱 于点F.
(1)求证： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求点B到平面 的距离．
4．（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱 所有棱长均为 ，
，侧面 与底面 垂直， 、 分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；
(2)若点 为棱 上靠近 的三等分点，求点 到平面 的距离．
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥 中.侧面 ⊥底面 ，
为等边三角形，四边形 为正方形，且 .
(1)若 为 的中点，证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.
6．（2024·陕西·二模）在四棱锥 中，
，平面 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
学科网（北京）股份有限公司7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱 中，底面 是直角梯
形， ∥ ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）在长方体 中， 在线段
上，且满足 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求 到平面 的距离.
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，A，B，E，D四点共
面， ， ， ， ， ，F为BC的中点．
(1)求证：平面ADF 平面BCE；
(2)求点E到平面ABC的距离．
10．（21-22高二上·北京·期中）在如图所示的几何体中，四边形 为正方形，
， 平面 ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小；
(3)求点 到平面 的距离．
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