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专题 04 圆
（考题猜想 9 种热考题型）
一．利用垂径定理解决实际问题（共小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽 为 ，拱高 为
．
(1)求桥拱的半径；
(2)此桥的安全限度是拱顶 点距离水面不得小于 ，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度 为 时，
是否需要采取紧急措施？请说明理由．
2．（24-25九年级上·四川广安·期中）按要求解决实际问题
(1)有一个横断面为抛物线形的拱桥，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面宽 时，拱桥顶距离水面
，当水面下降 时，水面宽度是多少米？(2)如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶直径为 ，油漆面宽度 为 ，求油漆的最大
深度是多少？
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高
点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已
知这座桥的跨度 米，拱高 米．
(1)如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表
达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，
判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
4．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题．
问
十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的
题
一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离
驱
，拱顶离水面的距离
动设
计
方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
方
案
任 设计成抛物线型，以AB所
设计成圆弧
务
一
在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥
型，求该圆弧所在圆的半径．
拱的函数表达式．
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形 ，测得 ， ．请你通过计算
说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．
任
务
二
二．利用弧，弦，圆心角的关系求解（共小题）
5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在 中， 为 的中点， 于点 ， 于点
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图， ， 是 的弦， ， ， 是 的半径，
且 ， ，求证： ．7．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， 是 的直径， ， ， 是 的弦， ．
(1)求证： ．
(2)如果弦 的长为 ， 与 间的距离是 ，求 的长．
8．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）．
(1)如图1， ，比较 与 的长度，并证明你的结论．
方法应用
(2)如图2， ， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ，且 ， 是
的中点．
①求证： ．
②若圆心 到 的距离为3， 的半径是6，求 的长．
三．利用圆周角定理及推论求解（共小题）
9．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，AB为 的直径，弦 于 ， 为圆上一点， 平分 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1， 是 的直径，点C在圆上，若 ，
求 的半径；
（2）如图2， 是 的直径，点 在圆内， ，若 ， ，
求 的半径；
（3）如图3，点 在 上， ，若 ，求 的
半径．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1：若 ，求 的值．
解决思路： ．
问题2：如图1，分别以 的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面
积即可．
问题：(1)方框内2个问题的解决都用到了___________的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论；B．数形结合；C．整体；D．从特殊到一般
(2)方框内问题2中阴影部分的面积为___________
(3)如图2，已知 的半径为5， 、 是 的弦，且 ， ，求 与 的长度之和．
12．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形 内接于 ， ．
(1)如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
四．利用点和圆的位置关系求解（共小题）
13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是 上的三个点，
、 、 ．
(1)在图上标出圆心 ，圆心 的坐标为____；
(2)求 的半径，并判断点 与 的位置关系．
14．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图， ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中
△点．
(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取
值范围．
15．（20-21九年级上·甘肃张掖·期末）已知 的半径是 ．
（1）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（2）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，则最长距离为___．
五．利用直线和圆的位置关系求解（共小题）
16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到
直线 的距离为 ，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
17．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心作 ．
(1)当半径 为________时，直线 与 相切；
(2)当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
(3)当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
18．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当
与 轴相切时，求圆心 的坐标.
19．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，设点 的坐标为 ．
(1)求 与直线 相切时点 的坐标．
(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
六．切线的性质与判定定理（共小题）
20．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，
过C作 的切线交 的延长线于E，交AB的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
21．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大 的
两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于 ．小
的半径为 ．
(1) 的长为__________；(2)试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
22．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图， 为 的直径， 是圆的切线，切点为 ， 平行于
弦 ，
(1)求证： 是 的切线；
(2)直线 与 交于点 ，且 ， ，求 的半径．
23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知 是 的直径， 交 于点D，E是 的中点，
与 交于点F， ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
七．应用切线长定理求解（共小题）
24．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图， 中， ， ， ， ， 是
的内切圆，求 的半径 （用含 、 、 的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含 、 、 的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含 、 、 的代数式表示）．（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
25．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．
(1)如图①，若 ，则 ______；
(2)如图②，连接 ，若 ，则 ______°；
(3)如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______°．
26．（23-24九年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知 是 的直径， 于B，E是 上的一
点， 交 于D， ，连接 交 于
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
27．（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线 经过原点 和 三
点．(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线与 轴的另一个交点为 ．以 为直径作 ，如果过抛物线上一点 作 的切线 ，切
点为 ，且与 轴的正半轴交于点 ，连接 ．已知点 的坐标为(0,m)，求四边形 的面积．
（用含 的代数式表示）
(3)延长 交 于点 ，连接 ，当点 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
？请求出此时点 的坐标．
八．圆内接四边形（共4小题）
28．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知 经过四边形 的 ， 两个顶点，并与四条边分别交
于点 ， ， ， ，且 ．
(1)如图1所示，连结BD，若BD是 直径，求证： ．
(2)如图2所示，若 ， ，弧 的度数为 ，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，CD是 的外角 的角平分线，与 的外接圆
交于点 ．(1)若 ，
①求 所对圆心角的度数；
②连结DB， ，求证： 是等边三角形．
(2)如图2，若 ， ，求 的面积．
30．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形 内接于 ， ， ，连接 ，则 的度数为______．
【问题探究】
（2）如图2，在四边形 中， ， ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转
到 的位置，若 ，求四边形 的面积；
【问题解决】
（3）如图3，若 是一个半径为 的圆形荷花池，AB和AD是荷花池上的两座长度相等的小桥，且
，现要在荷花池上再修建三座小桥 、 和CD，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座
小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即 的最大值）．
31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知 ， ， ， 为 上的四个点，连接 ， ， ，
， ， ， ， ．(1)如图 ，求证： 为 的直径；
(2)如图 ，在直线 上取点 ，使得点 在 的垂直平分线上，连接 并延长交 于点 ．
①求证： ；
②过点 作 于点 ，连接 并延长交直线 于点 ，连接 ．在点 运动的过程中，点
的位置会随之变化，当 ， ， 不在同一条直线上时， 的度数是否会发生变化，若发生变化，
请说明理由，若不发生变化，请求出 的度数．
九．求其它不规则图形面积（共4小题）
32．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图， ，点 在 上， 过点 ，分别与 、 交
于 、 ，过 作 于 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 与 相切于点 ， 半径为 ，则阴影部分面积 ______．
33．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是 的弦，CD是 的直径，已知 ， 且
．
(1)如图（甲），求图中阴影部分面积；(2)如图（乙），点 为直径CD上任意一点，设图中阴影部分面积为 ，点 到直线AB的距离为 ，当
点运动时， 变化吗？若不变，求出 的值；若变化，求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取
值范围；
(3)如图（丙），点 为 上任意一点，设图中阴影部分面积为 ，点 到直线AB的距离为 ，当 点运
动时， 变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范
围．
34．（24-25九年级上·全国·期中）求阴影部分面积．（单位：厘米）
35．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，切点分别为
， ．则图中的 与 ， 与 有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，
延长 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；
②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
