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专题 04 圆
（考题猜想 9 种热考题型）
一．利用垂径定理解决实际问题（共小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽 为 ，拱高 为
．
(1)求桥拱的半径；
(2)此桥的安全限度是拱顶 点距离水面不得小于 ，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度 为 时，
是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．（1）设桥拱的半径是 ，由垂径定理求出 ，而 ，由勾股定理得到
，求出 ；
（2）由垂径定理求出 的长，由勾股定理求出 的长，即可求出 的长即可得解．
【详解】（1）解：如图半径 ， ，
设桥拱的半径是 ，
，
，
拱高 为 ，
，
，
，
，
桥拱的半径是 ；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接 ，
，
，
，
，
，
不需要采取紧急措施．2．（24-25九年级上·四川广安·期中）按要求解决实际问题
(1)有一个横断面为抛物线形的拱桥，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面宽 时，拱桥顶距离水面
，当水面下降 时，水面宽度是多少米？
(2)如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶直径为 ，油漆面宽度 为 ，求油漆的最大
深度是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，二次函数的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，根
据已知给出的直角坐标系从而得出二次函数解析式是解答此题的关键．
（1）根据已知给出的直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 代入抛物线解析式得出水面
宽度，即可得出答案．
（2）连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，先由垂径定理求出 的长，再根据勾股定理求
出 的长，进而可得出 的长．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： ，
∵水面宽 时，拱顶离水面 ，
∴点 在此抛物线上，，
，
∴抛物线的解析式为： ，
当水面下降 时，
即 时， ，
，
水面的宽度是 ．
答：水面的宽度是 ．
（2）解：连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，
，
，
∵ 的直径为 ，
，
在 中， ，
，
答；油漆的最大深度为 ．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离 称跨度，桥面最高
点到 的距离 称拱高，当 和 确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已
知这座桥的跨度 米，拱高 米．(1)如图1，若设计成抛物线型，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立坐标系，求此函数表
达式；
(2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，
判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由．
【答案】(1)
(2)12.5米
(3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由
见解析
【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为 ，将点 代入，求出 的值，即可确定函
数的解析式；
（2）设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，解得 ，
即可求该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）①若设计成抛物线型时，当 时， ，由 米 米，可知货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，设 米，过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，
连接 ，在 中， ，求出 米，可得 米，再由2.5米 米，即可
判断货船能顺利通过该桥．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
，
设抛物线的解析式为 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）解：设圆心为 ，连接 交 于 点，连接 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
该圆弧所在圆的半径12.5米；
（3）解：①若设计成抛物线型时，当 时， ，
米 米，
货船不能顺利通过该桥；
②若设计成圆弧型时，
设 米，
过点 作 交弧 于点 ，过点 作 交于 点，连接 ，
米，在 中， ，
，
米，
米，
米，
米 米，
货船能顺利通过该桥．
【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，
垂径定理，勾股定理是解题的关键．
4．（24-25九年级上·北京西城·期中）利用以下素材解决问题．
十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的
一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离
，拱顶离水面的距离
问
题
驱
动
设
计
方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
方
案
任 设计成抛物线型，以AB所
设计成圆弧
务
一
在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥
型，求该圆弧所在圆的半径．
拱的函数表达式．
如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形 ，测得 ， ．请你通过计算
说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．
任
务
二【答案】任务一：方案一、 ；方案二、
任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过
【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接 ，根据 ，得 ，结合
，知直线 过点O，根据 ，得 ，得 ，得 是等边三角形，
得 ；方案二，根据顶点C坐标为 ，设桥拱的函数解析式为 ，将 代入即可
求解；
任务二：方案一，连接 ，设 交 于I，根据矩形性质得 ，得 ，得 ，结合
半径为10得到 ，得 ，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时， ，
即可判断．
【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，直线 过点O．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
故半径为 ．
方案二，
∵顶点C坐标为 ，∴设桥拱的函数解析式为 ．
∵ ，
∴ ．
代入得 ．
解得 ．
故函数解析式为 ．
任务二：
方案一，
如图，连接 ，设 交 于I．
由上知 ，
∵矩形 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故货船能顺利通过．方案二，
如图，∵ ，
∴H横坐标为5．
∴ ．
故货船不能顺利通过．
【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，
弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解
直角三角形，矩形性质，是解题关键．
二．利用弧，弦，圆心角的关系求解（共小题）
5．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在 中， 为 的中点， 于点 ， 于点
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得 平分 ．进而利用角平分线的性质定理即可得证．
（2）连接 由 ，得 ．进而得 ．利用 度直角三角形的性质得
，进而根据勾股定理得 ，从而即可求得 ．同理，可得 ，于是即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接
为 的中点，
，
，
平分 ．
又 ， ，
．
（2）解：如图，连接
由（1）得 ，
，
．
∵ ，
∴ ，
．
，
在 中， ，
，
．同理，可得 ，
．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性
质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题
的关键．
6．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图， ， 是 的弦， ， ， 是 的半径，
且 ， ，求证： ．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出
全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接 ， ， ，先根据全等三角形的判定定理得出
AAOB≌AAOC，故可得出 ，再由平行线的性质可得出 ， ，故
，进而得出结论．
【详解】证明∶连接 ， ， ，
在 与 中，∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
7．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图， 是 的直径， ， ， 是 的弦， ．
(1)求证： ．
(2)如果弦 的长为 ， 与 间的距离是 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
（1）过点 作 ，延长 交 于点 ，根据题意可得： ， ，推出 ，
即可证明；
（2）根据垂径定理可得 ，再根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 ，延长 交 于点 ，
是 的直径， ，， ，
，即 ，
；
（2） ，
，
与 间的距离是 ， ，
，
，
，
．
8．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）．
(1)如图1， ，比较 与 的长度，并证明你的结论．
方法应用
(2)如图2， ， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ，且 ， 是的中点．
①求证： ．
②若圆心 到 的距离为3， 的半径是6，求 的长．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股
定理是解题的关键．
（1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可；
（2）根据勾股定理求出 ，再根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）解： ．
证明： ，
，
，即 ．
（2）解：①证明： 是 的中点，
．
，
，
，
，
．
②如图，过点 作 ， 是垂足，连接 ．在 中， ， ，
，
．
三．利用圆周角定理及推论求解（共小题）
9．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，AB为 的直径，弦 于 ， 为圆上一点， 平
分 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）由角平分线的定义可得 ，即得 ，由垂径定理可得 ，
得到 ，即得到 ，即可求证；
（ ）连接 ，由垂径定理得 ，设圆的半径为 ，则 ，在 中，由勾股
定理得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∵AB为直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴
设圆的半径为 ，则 ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得 ，
∴圆的半径为 ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，等角对等边，勾股定理，掌握圆的有关性
质定理是解题的关键．
10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1， 是 的直径，点C在圆上，若 ，
求 的半径；
（2）如图2， 是 的直径，点 在圆内， ，若 ， ，
求 的半径；（3）如图3，点 在 上， ，若 ，求 的
半径．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查直径所对的圆周角的定理，勾股定理及平行四边形的判定，等腰三角形的性质，直
角三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据 是 的直径，可得 ，再根据勾股定理求出 即可得出半径．
（2）作 交AC的延长线于点E，得出四边形 是平行四边形，由 ，再根据
勾股定理得出 即可得出半径．
（3）作 交 的延长线于点E，作 于F，连接 ，得出四边形 是平行四边形，
，再根据勾股定理得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 ，设
， ，最后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）∵ 是 的直径，点C在 上，
∴ ，
，
∴ 的半径为 ．
（2）如图，作 交AC的延长线于点E，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
，
∴ 的半径为 ．
（3）如图，作 交 的延长线于点E，作 于F，连接 ，
同（2）可得四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
作 于 ，
， ，设 ， ，
则有 ，
解得 ，
，
即 的半径为 ．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）学习下面方框内的内容，并解答下列问题：
小明在反思学习时，发现解决下列2个问题时都用到了同一种数学思想方法：
问题1：若 ，求 的值．
解决思路： ．
问题2：如图1，分别以 的3个顶点为圆心，2为半径画圆，求图中3块阴影面积之和．
解决思路：图中3个扇形的半径都是2，可以将3块阴影扇形拼成一个半径为2的……，求出这个图形的面
积即可．
问题：
(1)方框内2个问题的解决都用到了___________的数学思想方法（从下列选项中选一个）；
A．分类讨论；B．数形结合；C．整体；D．从特殊到一般
(2)方框内问题2中阴影部分的面积为___________
(3)如图2，已知 的半径为5， 、 是 的弦，且 ， ，求 与 的长度之和．
【答案】(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）根据整体的数学思想即可解答；
（2）将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，半径为2，然后根据半圆的面积公式求解即可；
（3）作直径 ，连接 ，由 是直径，得到 ，根据勾股定理求得，则 ，从而 ．
【详解】（1）解：3个问题的解决都用到了整体的数学思想方法．
故选：C；
（2）根据题意得，∵
∴将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆，半径为2
∴阴影部分的面积为 ；
（3）解：如图，作直径 ，连接
∵ 是直径，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查整体的数学思想，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，同弧或等弧所对的弦相等，弧
长公式，掌握整体思想，综合运用相关知识是解题的关键．
12．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形 内接于 ， ．(1)如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)AC
【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到 是直径，则 ，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图2，连接 ，作 于H，先利用勾股定理得到 ，再由角平分线
的定义得到 ，则可证明 ，求出 ，由勾股定理可得 ．
再证明 是等腰直角三角形，同理可得 ．在 中， ，据
此可得答案．
【详解】（1）解： ，
是直径，
∵ 的半径为6，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
∵
∴ ，
；
（2）解：如图2，连接 ，作 于H，
， ， ，
．
平分 ，
，，
．
四边形 内接于 ， ，
，
在 中，由根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ ．
，
∴ 是等腰直角三角形，
同理可得 ．
在 中， ，
．
【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三
角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
四．利用点和圆的位置关系求解（共小题）
13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 是 上的三个点，
、 、 ．
(1)在图上标出圆心 ，圆心 的坐标为____；
(2)求 的半径，并判断点 与 的位置关系．【答案】(1)见解析，
(2) 的半径为 ，点 在 上
【分析】本题考查了垂径定理的推论、点与圆的位置关系、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心，结合图形即可得出圆心 的坐标；
（2）求出 的半径和 的长，即可得解．
【详解】（1）解：如图，圆心 即为所作，
，
圆心 的坐标为(2,0)；
（2）解：∵ ，
∴ 的半径为 ，
∵ ，
∴点 在 上．
14．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图， ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中
点． △
(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取
值范围．
【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10
【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根据∠ACB＝90°可得AB为⊙O的直径，即可得答案；
（2）根据BC、BO、BA的长可得点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，进而可得答案．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB= =10，
∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，
∴AB为⊙O的直径，
∴R= AB=5．
（2）∵点O是AB的中点，AB=10，
∴BO= AB=5，
∴BO＜BC＜BA，
∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，
∴8＜r＜10．
【点睛】本题考查圆周角定理、点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握直角所对的弦是直径是解题关键．
15．（20-21九年级上·甘肃张掖·期末）已知 的半径是 ．
（1）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（2）若 ，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为 ，则最长距离为___．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） 或 ．
【分析】（1）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；
（2）首先确定P与圆的位置关系，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定；
（3）分成P在圆内部和外部两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：（1） ，则P在圆内部，点P到圆上各点的距离中，最短距离是 ，最长
距离是 ．
故答案是： ， ；
（2） ，则点P在圆的外部，到圆上各点的距离中，最短距离为 ，最长距离是
．
故答案是： ， ；（3）当P在圆内部时，最长距离是 ，
当P在圆外时，最长距离是 ．
故答案是 或 ．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，正确进行讨论是关键．
五．利用直线和圆的位置关系求解（共小题）
16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到
直线 的距离为 ，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】相离，理由见解析．
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，先解一元二次方程，得到 的半径，再根
据 的半径与圆心到直线的距离大小比较即可判断求解，掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的
关键．
【详解】解：相离，理由如下：
解方程 得， ， ，
∵ 的半径是一元二次方程 的一个根，
∴ 的半径为 ，
∵圆心 到直线 的距离为 ，
∴ ，
∴直线 与 的位置关系是相离．
17．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心作 ．
(1)当半径 为________时，直线 与 相切；
(2)当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
(3)当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】（ ）如图作 于 ，求出 的值即可判断；（ ）当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ；
（ ）当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作 于 ，
在 中， ， ， ，
∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴当半径 时，直线 与 相切，
故答案为： ；
（2）观察图形可知，
当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）观察图形可知，
当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
18．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当与 轴相切时，求圆心 的坐标.
【答案】 ， 或 .
【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解
本题的关键． 与 轴相切，即圆心 到 轴的距离等于 的半径，也就是圆心 的纵坐标y为 ，把
y代入 中，即可求出符合题意的圆心 的坐标．
【详解】解： 与 轴相切，设圆心 到x轴的距离为d，
，即点 的纵坐标y为 ；
当 时，即 ，解得： ，
点 的坐标为 或 ；
当 时，即 ，解得： ，
点 的坐标为 ；
综上，符合题意点 的坐标为 ， 或 ．
19．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，
设点 的坐标为 ．(1)求 与直线 相切时点 的坐标．
(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点 的横坐标，再根据直线
的解析式求得点 的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时 的取值范围．
【详解】（1）解：过 作直线 的垂线，垂足为 ；
当点 在直线 右侧时， ，解得 ；
∴ ；
当点 在直线 左侧时， ，得 ，
∴ ，∴当 与直线 相切时，点 的坐标为 或 ．
（2）解：由（1）可知当 时， 与直线 相交
当 或 时， 与直线 相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关
系正确求解是解题的关键．
六．切线的性质与判定定理（共小题）
20．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点，D为 的中点，
过C作 的切线交 的延长线于E，交AB的延长线于F，连 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用
等面积法解决问题是关键．
（1）连接 ，由垂径定理得 ，根据垂直平分线的性质可得 ，证明 ，
利用全等三角形的性质可得 即可；（2）先利用勾股定理求得 ，设 ，再根据等面积法列 即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
是 的切线，
，
为 的中点， ，
，则 垂直平分 ，
，
， ，
，
，
与 相切；
（2）解： ， ，
，
由（1）可知 ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
故 的半径为 ．21．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大 的
两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于 ．小
的半径为 ．
(1) 的长为__________；
(2)试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
【答案】(1)
(2)相切，证明见解析
【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点．
掌握圆的基本性质是解题的关键．
（1）根据切线的性质得 ，证明四边形 是矩形，即得得解；
（2）过 作 于 ，连接 ，根据垂径定理得出 ，证明 ，即可证明
为小 的半径，证出 与小 相切．
【详解】（1）解：连接 ，
∵弦 与小 切于 ，小 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：相切．
证明：过 作 于 ，连接 ，
∵ ， ， ，
，
，
，
∴ ，
即 为小 的半径，
∴ 与小 相切．
22．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图， 为 的直径， 是圆的切线，切点为 ， 平行于
弦 ，
(1)求证： 是 的切线；
(2)直线 与 交于点 ，且 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，证明 ，根据切线的性质得到
，根据切线的判定定理证明结论；
（2）设 的半径为 ，根据勾股定理列出方程，解方程求出 的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，是 的切线，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
的半径为3．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
23．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知 是 的直径， 交 于点D，E是 的中点，
与 交于点F， ．(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由E是 的中点可得 ，进而可得 ．再证
，即可求证 是 的切线．
（2）先根据 求出 ，再证 ，则可得 ，进而可得 ，最
后再根据勾股定理即可求出 的长．
本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线，
熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
∵E是 的中点，
∴ ，
，
，
，
是 的直径，
，，
，
即 ，
，
是圆的直径，
是 的切线；
（2）解：在 中， ，
，
是 的切线，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
七．应用切线长定理求解（共小题）
24．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图， 中， ， ， ， ， 是
的内切圆，求 的半径 （用含 、 、 的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．解得 _______________（结果用含 、 、 的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得 _______________（结果用含 、 、 的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【答案】（1） ； ； ； ；（2）相等，证明见
解析
【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出 、 、 、 的关系，可得答
案；
（2）利用平方差公式证明即可得到相等．
【详解】解：（1）在 中， ， ， ， ， 是 的内切圆， ，
， 分别为切点， 的半径为 ，
方法一：如图，连接 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
方法二：∵ 是 的内切圆， ， ， 分别为切点， 的半径为 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，∵ 是 的内切圆，
∴ 、 、 都是 的切线，切点分别为点 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）相等．
证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ．
【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定
理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知点 是 外一点， 分别与 相切于点 ．
(1)如图①，若 ，则 ______；
(2)如图②，连接 ，若 ，则 ______°；
(3)如图③，点 是优弧 上一点，连接 ，若 ，则 ______°．【答案】(1)1
(2)56
(3)60
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，
正确作出辅助线．
（1）根据切线长定理即可解答；
（2）根据切线的性质得出 ，进而得出 ，即可解答；
（3）连接 ，根据切线的性质得出 ，进而得出 为等边三角形，
推出 ，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答．
【详解】（1）解：∵ 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
故答案为：1．
（2）解： 是 的切线，
，
，
，
，
．
故答案为：56．
（3）解：连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．故答案为：60．
26．（23-24九年级下·四川泸州·阶段练习）如图，已知 是 的直径， 于B，E是 上的一
点， 交 于D， ，连接 交 于
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握经过半径的
外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
（1）连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据切线的判
定定理得到 是 的切线；
（2）过点D作 于H，根据勾股定理求出 ，根据矩形的性质、勾股定理求出 ，再根据相似
三角形的性质求出 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵
∴
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：过点D作 于H，
∵ ，
，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 是 的切线
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
即 ，
∵ ，∴ ，
，即 ，
解得：
27．（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线 经过原点 和 三
点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线与 轴的另一个交点为 ．以 为直径作 ，如果过抛物线上一点 作 的切线 ，切
点为 ，且与 轴的正半轴交于点 ，连接 ．已知点 的坐标为(0,m)，求四边形 的面积．
（用含 的代数式表示）
(3)延长 交 于点 ，连接 ，当点 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
？请求出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的
解析式；
（2）先求得点C的坐标，再根据切线长定理可得到 ，根据“SSS”可证得 ，则它
们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是 的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式；
（3）在 中， ，所以 和 等底同高，它们的面积相等，由此可证得 与
的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则 轴，根据OM的半径即得到直线PD的解
析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 经过原点 和 三点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 抛物线的解析式为 ，当 时， 或 ，
抛物线与 轴的另一个交点为 ．
的半径为2，即 ，
都是OM的切线，点 的坐标为(0,m)，
，
又 ，
，
；
（3）解： 在 中， ，
和 等底同高，
，
设点D的坐标为 ，，
当 时，即 ， ，
，这两个三角形共用底边 ，
此时 轴，
又 为切线，
点D的坐标为 ，
点P在直线 上，设点P的坐标为 ，
点P在抛物线 上，
，
解得 ，
当 时，点P的坐标为 或 ．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性质、
切线长定理、函数图象与坐标轴的交点及图形面积的求法等重要知识．注意能够发现 、 的面
积关系，从而得到直线 轴的位置关系是解题的关键．
八．圆内接四边形（共4小题）
28．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知 经过四边形 的 ， 两个顶点，并与四条边分别交
于点 ， ， ， ，且 ．(1)如图1所示，连结BD，若BD是 直径，求证： ．
(2)如图2所示，若 ， ，弧 的度数为 ，请写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】此题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补；
（1）根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到 ，然后利用外角的性质等量代换求
证；
（2）利用外角性质及圆内接四边形对角互补求解.
【详解】（1）证明：连结 ，
是直径，
（2）连结 ，
同（1）可得 ，且 ，
四边形EFGH是 的内接四边形，
，
， ，
，
．29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1，CD是 的外角 的角平分线，与 的外接圆
交于点 ．
(1)若 ，
①求 所对圆心角的度数；
②连结DB， ，求证： 是等边三角形．
(2)如图2，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)① ，②见解析
(2)
【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可；
②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可；
（2）连接 并延长交AB于点 ，连接 ， ，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到
为等腰直角三角形，可求 ；利用等腰三角形的判定定理以及垂径定理得到 ，利用
等腰直角三角形的性质求得 ，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）①解： ，
．
所对圆心角的度数 ；②证明： 是 的外角 的角平分线，
．
，
，
为圆内接四边形 的外角，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：连接 并延长交AB于点 ，连接 ， ，如图，
则 ，
，
为等腰直角三角形，
，
．
是 的外角 的角平分线，
，
为圆内接四边形 的外角，
．
，
，
，
．．
，
，
．
∴ 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定
义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
30．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形 内接于 ， ， ，连接 ，则 的度数为______．
【问题探究】
（2）如图2，在四边形 中， ， ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转
到 的位置，若 ，求四边形 的面积；
【问题解决】
（3）如图3，若 是一个半径为 的圆形荷花池，AB和AD是荷花池上的两座长度相等的小桥，且
，现要在荷花池上再修建三座小桥 、 和CD，为使游客更好地欣赏荷花，要求这三座
小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即 的最大值）．
【答案】（1）30°；（2） ；（3）
【分析】（1）根据 ，得出 ，进而根据已知可得 即可求解；
（2）根据旋转的性质可得 ，则 ，进而根据四边形 的面积为
，即可求解；（3）过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，证明 ，得
出 ，设 ，则 ， ，当 取得最大值时， 取得
最大值，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：30°．
（2）解：∵将 绕点 顺时针旋转到 的位置，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ；
（3）解：如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，
∵四边形 是 的内接圆， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ；
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴当 取得最大值时， 取得最大值，
∴当 为直径时， 的值最大，此时 ，
∴此时这三座小桥的总长度（即 的最大值）为 ．
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形、圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等、全
等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
31．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知 ， ， ， 为 上的四个点，连接 ， ， ，
， ， ， ， ．
(1)如图 ，求证： 为 的直径；
(2)如图 ，在直线 上取点 ，使得点 在 的垂直平分线上，连接 并延长交 于点 ．
①求证： ；②过点 作 于点 ，连接 并延长交直线 于点 ，连接 ．在点 运动的过程中，点
的位置会随之变化，当 ， ， 不在同一条直线上时， 的度数是否会发生变化，若发生变化，
请说明理由，若不发生变化，请求出 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②当点 位于 上时， ；当点 位于 上时，
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得 ，再根据三角形内角和求出
，即可得证；
（2）①连接 ，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得 ， ，根据
垂直平分线的性质得 ，证明 ，再根据全等三角形的性质即可得证；
②分三种情况：当点 位于 上时；当点 位于 上时；当点 位于 上时，分别求出 的度数
即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的直径；
（2）①证明：连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：连接 并延长交 于点 ，连接 ，
当点 位于 上时，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 位于 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 位于 上时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当点 位于 上时， ；当点 位于 上时， ．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合
一性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点．利用分类讨论的思想解决
问题是解题的关键．
九．求其它不规则图形面积（共4小题）
32．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图， ，点 在 上， 过点 ，分别与 、 交
于 、 ，过 作 于 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 与 相切于点 ， 半径为 ，则阴影部分面积 ______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由 ， ，得 ，则 ，所以
，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，可证明四边形 是正方形，则 ， ，根据 ，则
．
【详解】（1）证明：连接 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，是 的半径，且 ，
是 的切线．
（2）解：连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
， ，
半径为 ，
，
阴影部分面积为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、
扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
33．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，AB是 的弦，CD是 的直径，已知 ， 且
．
(1)如图（甲），求图中阴影部分面积；
(2)如图（乙），点 为直径CD上任意一点，设图中阴影部分面积为 ，点 到直线AB的距离为 ，当点运动时， 变化吗？若不变，求出 的值；若变化，求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取
值范围；
(3)如图（丙），点 为 上任意一点，设图中阴影部分面积为 ，点 到直线AB的距离为 ，当 点运
动时， 变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范
围．
【答案】(1)阴影部分面积为 ；
(2)不变，理由见解析， ；
(3) ．
【分析】（ ）连接 ，过 作 于点 ，证明 是等边三角形，然后由勾股定理求出
，然后利用 求面积即可；
（ ）利用平行线间的距离相等即可求出 ；
（ ）由（ ）得 与AB围成的面积为 ，过 作 ，交AB延长线于点 ，则 ，
然后由面积公式即可求解；
本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，垂径定理，平行线间的距离相等，熟练掌握知识点
的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接 ，过 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴由勾股定理得 ，
∴阴影部分面积为 ；
（2）解：不变，理由如下：
连接 ，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（ ）得： 与AB围成的面积为 ，
连接 ，过 作 于点 ，过 作 ，交AB延长线于点 ，
∴ ，
∴ ．
34．（24-25九年级上·全国·期中）求阴影部分面积．（单位：厘米）【答案】阴影部分的面积为 平方厘米
【分析】本题主要考查不规则图形面积的计算，根据图示， 即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴ ,
（平方厘米），
答：阴影部分的面积为 平方厘米．
35．（22-23九年级上·江西赣州·期末）（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，切点分别为
， ．则图中的 与 ， 与 有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，
延长 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；
②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是 ，图中阴影部分的面积是
【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证
明与性质，圆中的相关面积计算等．
（1）连接 和 ，根据切线的性质，可得 ，即可得出结论；
（2）①根据题意求证 ，即可得出 ，即可得出答案；②根据
，求出 的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图 ，连接 和 ，
和 是 的两条切线，
， ．
又 ， ．
，
， ．
（2）①证明： 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，
、 分别平分 、 ．
又 ．
．
．
又 ，
，
又 经过半径 的外端点 ，
是 的切线．
②解：连接 ，则 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
，即⊙O的半径为 ．
∴
综上所述： 的半径是 ，图中阴影部分的面积是 ．
