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专题 04 实数重难点题型归纳
重难点题型归纳
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【题型2算术平方根的非负性】
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
【题型4 根据立方根性质求解】
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
【题型6 无理数的估算】
【题型7 无理数的大小比较】
【题型8 实数的性质】
【题型10实数的实际综合应用】
【题型11程序设计与实数运算】
【题型12新定义下的实数运算】
【题型13与实数运算相关的规律题】
考点1：算术平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
考点2：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
位.例如： ， ， ， .
考点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
√33.75≈1.554，√337.5≈3.347，则√33750≈15.54【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各数没有平方根的是（ ）
A．3 B．0 C．−1 D．0.9
1
2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试） 的平方根是（ ）
36
1 1 1
A． B．− C．± D．±6
6 6 6
√ 1
3．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）❑ 的平方根是（ ）
81
1 1 1 1
A．− B．± C． D．±
9 9 3 3
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）❑√16= ．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）√38= ．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2算术平方根的非负性】
8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知 ，那么 的值为 ．
❑√x+2+|y−1)=0 (x+ y) 2024
9．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若 ，则 ．
|a−3|+❑√b−4+(c−3) 2=0 a+b+c=
10．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知 ，则 的值是 ．
(a−2) 2+❑√b+2=0 3a−2b
n
11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且❑√m−4+|n−9)=0，则 的平方根是 ．
m
12．（24-25七年级下·全国·期中）若 ，则 ．
❑√a−2+|b−1)+(c+3) 2=0 a+b+c=
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知一个正数的平方根分别为2x+1和3−4x，则这个正数是
（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2
14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是2m−1和3−m，则m的值为 ．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)16x2−25=0；
(2) ．
2(x−1) 2=32
16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)m2−49=0；
1
(2) (x−2) 2−8=0．
8
17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)9x2−16=0；
(2)
4(2x−1) 2=36
18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？
a 0.0121 1.21 121 12100
❑√a0.11 1.1 11 110
（2）已知❑√15≈3.873，根据上述规律求❑√0.15，❑√150000，❑√0.000015的近似值．
19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知5a+2的立方根是3,b−1的算术平方根是❑√3．
(1)求a、b的值；(2)求a+3b的平方根．
【题型4 根据立方根性质求解】
20．（24-25八年级上·山东烟台·期末）√364的平方根是 ．
21．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）❑√25.36=5.036, ❑√253.6=15.906，则❑√253600=
．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，√3−1285≈−10.87，√312850≈23.42，√3 a≈1.087，
√312.85≈b，则a= ，b= ．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数a的正的平方根是2m−6，且a的平方根是±(2−m)．
(1)求m的值；
(2)求这个正数a的值及a的平方根．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值．
(1)x3−216=0；
(2) ；
(x+5) 3=64
(3)(1 ) 3 ．
x+1 =8
2
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知2b−2的立方根是−2，4a+3b算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求2a−b的平方根．
26．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知2a−1的算术平方根是❑√11，a−5b+1的立方根是−2．
(1)求a与b的值；(2)求2a−b的立方根．
27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知2x+3是49的算术平方根，x+4 y−13的立方根是−3．
(1)求x，y的值；
(2)求y−2x的立方根．
【题型6 无理数的估算】
28．（2025年陕西省西安市经开区九年级中考一模数学试题）m,n是连续的两个整数，若m<❑√10”，“<”或“=”填空： 1．
2
30．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知❑√5，<或=）．
2 6
33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数❑√2+1在数轴上的对应点可能是 点．
❑√5−1
34．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若m= ，则m的值在（ ）
2
1 1 3 3
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和3之间
2 2 2 2
【题型8 实数的性质】
35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）实数−2的倒数是（ ）
1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）−❑√11的绝对值的3倍与4❑√11的差的相反数等于（ ）
A．❑√11 B．−❑√11 C．1 D．−1
37．（2025七年级下·全国·专题练习）−❑√5的绝对值是（ ）❑√5 ❑√5 1
A． B．− C．❑√5 D．
5 5 5
38．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
1
A．22与 B．23与32 C．|−❑√3|与−❑√3 D．√3−27与−3
4
39．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）❑√10−5的相反数是 ．
【题型9 实数的混合运算】
40．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)❑√9−12025+√3−8；
(2) 5÷ ( − 5) +(−2) 2×| 1 − 1 | ．
3 2 4
41．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算： ．
−23+√38×❑√(−3) 2−|1−❑√2)
42．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算
√ 1
(1)(−1) 2025−|❑√3−2)+❑2+ −❑√0.25；
4
√1 5√ 1
(2) 3 − 3− +√3−343−❑√36．
8 2 125
43．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1) ；
(−❑√3) 2 −√38+❑√22
(2) ．
|❑√2−2)+❑√(−5) 2−❑√9
44．（24-25七年级下·全国·期末）计算：(1) ；
(−1) 2025+❑√25−❑√5(1+❑√5)
√ 9
(2)❑1 +√327−|1−❑√3)．
16
【题型10实数的实际综合应用】
45．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团
组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为500cm2．完成扇面后，需对扇面边
缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留π）cm，正方形团扇的边长为 cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
46．（24-25七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通
事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16
❑√df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．
在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【题型11程序设计与实数运算】
47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是
（ ）A．❑√8 B．❑√18 C．❑√12 D．8
1
48．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出 ，则x的值为 ．
2
49．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为−64时，输出
的值是
【题型12新定义下的实数运算】
50．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab+a−b．则❑√16※√3−8等
于（ ）
A．−6 B．−2 C．2 D．6
51．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=am−bn，若3⊕(−5)=15，
4⊕(−7)=28，则(−1)⊕2的值为（ ）
A．−13 B．13 C．2 D．−2
52．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果xn=a，那么x叫作a的n次方根．例如：因为
，所以16的四次方根是2和 ．由此
24=2×2×2×2=16,(−2) 4=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16 −2
可知，81的四次方根是 ．
【题型13与实数运算相关的规律题】
❑√7 ❑√11 ❑√15
53．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数❑√3， ， ， ，其第8个数为
2 3 4
（ ）
3❑√3 ❑√29 ❑√31 ❑√35
A． B． C． D．
8 8 8 8
