文档文本内容
专题 04 实数重难点题型归纳
重难点题型归纳
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【题型2算术平方根的非负性】
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
【题型4 根据立方根性质求解】
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
【题型6 无理数的估算】
【题型7 无理数的大小比较】
【题型8 实数的性质】
【题型10实数的实际综合应用】
【题型11程序设计与实数运算】
【题型12新定义下的实数运算】
【题型13与实数运算相关的规律题】
考点1：算术平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
考点2：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
位.例如： ， ， ， .
考点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
√33.75≈1.554，√337.5≈3.347，则√33750≈15.54【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各数没有平方根的是（ ）
A．3 B．0 C．−1 D．0.9
【答案】C
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可．
【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是−1，
故选C．
1
2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试） 的平方根是（ ）
36
1 1 1
A． B．− C．± D．±6
6 6 6
【答案】C
【分析】本题考查平方根的定义：若一个数的平方等于a，就说这个数是a的平方根，记作±❑√a，根据
平方根的定义直接求解即可得到答案．
1 2 1
【详解】解：∵(± ) = ，
6 36
1 √ 1 1
∴ 的平方根是±❑ =± ．
36 36 6
故选：C．
√ 1
3．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）❑ 的平方根是（ ）
81
1 1 1 1
A．− B．± C． D．±
9 9 3 3
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解
题的关键．
根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
√ 1 1
【详解】解：❑ = ，
81 91 1
的平方根是± ．
9 3
故选：D．
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）❑√16= ．
【答案】4
【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：❑√16=4，
故答案为：4．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）√38= ．
【答案】2
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据开立方定义：x3=a，则x叫a的立方根，记作x=√3 a，求
解即可得到答案，．
【详解】解：√38=√3 23=2，
故答案为：2．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵43=64，
∴61+a=64，则a=3．
故选：C．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵43=64，
∴61+a=64，则a=3．
故选：C．
【题型2算术平方根的非负性】
8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知❑√x+2+|y−1)=0，那么(x+ y) 2024的值为 ．【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入
(x+ y) 2024计算即可．
【详解】解：∵❑√x+2+|y−1)=0，
∴x+2=0,y−1=0，
∴x=−2,y=1，
∴(x+ y) 2024=(−2+1) 2024=1．
故答案为：1．
9．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若|a−3|+❑√b−4+(c−3) 2=0，则a+b+c= ．
【答案】10
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术
平方根、偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的
值，再代入即可得．
【详解】解：∵|a−3|+❑√b−4+(c−3) 2=0
∴a−3=0,b−4=0,c−3=0
∴a=3,b=4,c=3
∴a+b+c=3+4+3=10，
故答案为：10．
10．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知(a−2) 2+❑√b+2=0，则3a−2b的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性以及求代数式的值，先根据平方和算术平方根的非负性
求出a，b的值，再将a，b的值代入3a−2b中进行计算即可．掌握平方和算术平方根的非负性是解题
的关键．
【详解】解：∵(a−2) 2+❑√b+2=0，(a−2) 2≥0，❑√b+2≥0，
∴a−2=0，b+2=0，
∴a=2，b=−2，
∴3a−2b=3×2−2×(−2)=6+4=10，∴3a−2b的值是10．
故答案为：10．
n
11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且❑√m−4+|n−9)=0，则 的平方根是 ．
m
3
【答案】±
2
【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能
灵活运用是解题的关键．
先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答．
【详解】解：∵❑√m−4+|n−9)=0，
∴m−4=0,n−9=0，即m=4,n=9，
n √ n √9 3
∴ 的平方根是±❑ =±❑ =± ．
m m 4 2
3
故答案为：± ．
2
12．（24-25七年级下·全国·期中）若❑√a−2+|b−1)+(c+3) 2=0，则a+b+c= ．
【答案】0
【分析】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得a−2=0，b−1=0，
c+3=0，解方程即可求出a、b、c的值，然后将其代入a+b+c求值即可．
【详解】解：∵❑√a−2+|b−1)+(c+3) 2=0，
∴a−2=0，b−1=0，c+3=0，
解得：a=2，b=1，c=−3，
∴a+b+c=2+1−3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，代数式求值等知识点，熟练
掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键．
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知一个正数的平方根分别为2x+1和3−4x，则这个正数是
（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2【答案】A
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据
正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意知2x+1+3−4x=0，
解得：x=2，
∴2x+1=2×2+1=5，
∴这个正数是52=25，
故选：A．
14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是2m−1和3−m，则m的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m−1与3−m，
∴2m−1+3−m=0，
∴m=−2，
故答案为：−2．
【答案】503.6
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地
向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵❑√25.36≈5.036，
❑√2536000=❑√25.36×❑√10000=5.036×100=503.6
故答案为：503.6．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)16x2−25=0；
(2)2(x−1) 2=32．
5
【答案】(1)x=±
4
(2)x=5或x=−3
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运
用．25
（1）先变形为x2=
，再求平方根即可求解；
16
（2）先变形为(x−1) 2=16，再求平方根得x−1=±4，然后解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：16x2−25=0，
25
x2=
，
16
√25
∴x=±❑ ，
16
5
即x=± ；
4
（2）解：2(x−1) 2=32，
(x−1) 2=16，
∴x−1=±❑√16，
即x−1=±4，
∴x=5或x=−3．
16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)m2−49=0；
1
(2) (x−2) 2−8=0．
8
【答案】(1)m=±7
(2)x =−6，x =10
1 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）先将m2−49=0变形为m2=49，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可；
1
（2）先将 (x−2) 2−8=0变形为(x−2) 2=64，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
8
【详解】（1）解：m2−49=0，
∴m2=49，
解得：m=±7；
1
（2）解： (x−2) 2−8=0，
8
∴(x−2) 2=64，∴x−2=±8，
解得：x =−6，x =10．
1 2
17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)9x2−16=0；
(2)4(2x−1) 2=36
4
【答案】(1)x=±
3
(2)x=2或x=−1
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可；
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：9x2−16=0；
9x2=16，
16
x2=
，
9
4
x=±
3
（2）解：4(2x−1) 2=36
(2x−1) 2=9
2x−1=±3
2x−1=3或2x−1=−3
解得：x=2或x=−1．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？
a 0.0121 1.21 121 12100
❑√a0.11 1.1 11 110
（2）已知❑√15≈3.873，根据上述规律求❑√0.15，❑√150000，❑√0.000015的近似值．
【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向
右）移动一位．
（2）❑√0.15≈0.3873，❑√150000≈387.3，❑√0.000015≈0.003873．
【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．（1）根据表格数据总结规律即可；
（2）根据规律即可求得答案．
【详解】（1）由a=0.0121时，❑√a=0.11；
a=1.21时，❑√a=1.1；
a=121时，❑√a=11；
a=12100时，❑√a=110；
可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位；
（2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移
动一位，
可知❑√0.15≈0.3873，
❑√150000≈387.3，
❑√0.000015≈0.003873．
19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知5a+2的立方根是3,b−1的算术平方根是❑√3．
(1)求a、b的值；
(2)求a+3b的平方根．
【答案】(1)a=5，b=4
(2)±❑√17
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出a,b的值是解
题的关键．
（1）根据题意得出5a+2=27，b−1=3，计算即可得到答案；
（2）把a=5,b=4代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：5a+2的立方根是3，b−1的算术平方根是❑√3，
∴5a+2=27,b−1=3，
∴a=5，b=4；
（2）解：当a=5,b=4时，
a+3b=5+3×4=17,
17的平方根是±❑√17，
∴a+3b的平方根是±❑√17．
【题型4 根据立方根性质求解】
20．（24-25八年级上·山东烟台·期末）√364的平方根是 ．【答案】±2
【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
先求得√364=4，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：√364=4，
∴√364的平方根是±2，
故答案为：±2．
21．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）❑√25.36=5.036, ❑√253.6=15.906，则❑√253600=
．
【答案】503.6
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地
向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵❑√25.36≈5.036，
❑√2536000=❑√25.36×❑√10000=5.036×100=503.6
故答案为：503.6．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，√3−1285≈−10.87，√312850≈23.42，√3 a≈1.087，
√312.85≈b，则a= ，b= ．
【答案】 1.285 2.342
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点
就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三
位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．
【详解】解：∵√3−1285≈−10.87,√3 a≈1.087，
∴a≈1.285,
∵√312850≈23.42,√312.85≈b,
∴b≈2.342,
故答案为：1.285；2.342
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数a的正的平方根是2m−6，且a的平方根是±(2−m)．
(1)求m的值；
(2)求这个正数a的值及a的平方根．【答案】(1)4
(2)a=4，a的平方根是±2
【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．
（1）由题意得：2m−6>0，求出m>3，进而得到−(2−m)>0，推出2m−6=−(2−m)即可求解；
（2）根据a=(2m−6) 2求出a的值，再根据平方根的定义即可求a的平方根．
【详解】（1）解：由题意得：2m−6>0，
∴ m>3，
∴ −(2−m)>0，
∴ 2m−6=−(2−m)，
∴ m=4；
（2）a=(2m−6) 2=(2×4−6) 2=4，
a的平方根是±❑√4=±2，
∴ a=4，a的平方根是±2．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值．
(1)x3−216=0；
(2)(x+5) 3=64；
(1 ) 3
(3) x+1 =8．
2
【答案】(1)x=6
(2)x=−1
(3)x=2
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，
（1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可．
【详解】（1）解：x3−216=0
x3=216
x=√3216
x=6；（2）解：(x+5) 3=64
x+5=√364
x+5=4
x=−1；
(1 ) 3
（3）解： x+1 =8
2
1
x+1=√38
2
1
x+1=2
2
1
x=1
2
x=2.
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知2b−2的立方根是−2，4a+3b算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求2a−b的平方根．
9
【答案】(1)a= ，b=−3
2
(2)±2❑√3
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．
（1）根据立方根和算术平方根的定义得出2b−2=(−2) 3=−8，4a+3b=32=9，求解即可；
（2）先求出2a−b的值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵2b−2的立方根是−2，4a+3b算术平方根是3．
∴2b−2=(−2) 3=−8，4a+3b=32=9，
9
解得：a= ，b=−3；
2
9
（2）解：由（1）可得a= ，b=−3，
29
∴2a−b=2× −(−3)=9+3=12，
2
∴2a−b的平方根为±❑√12=±2❑√3．
26．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知2a−1的算术平方根是❑√11，a−5b+1的立方根是−2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a−b的立方根．
【答案】(1)a=6，b=3
(2)√3 9
【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键．
（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算；
（2）由（1）及立方根可直接求解．
【详解】（1）解：∵ 2a−1的算术平方根是❑√11，
∴ 2a−1=11，
解得：a=6，
∵ a−5b+1的立方根是−2，
∴ a−5b+1=−8，
解得：b=3；
（2）由(1)知a=6，b=3，
∴ 2a−b=2×6−3=9，
∴ 2a−b的立方根为√3 9．
27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知2x+3是49的算术平方根，x+4 y−13的立方根是−3．
(1)求x，y的值；
(2)求y−2x的立方根．
【答案】(1)x=2，y=−4
(2)−2
【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义；
（1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答；
（2）将x=2，y=−4代入求出y−2x的值，再根据立方根的定义解答．
【详解】（1）解：∵2x+3是49的算术平方根，
∴2x+3=7，
解得：x=2，
∵x+4 y−13的立方根是−3，∴x+4 y−13=(−3) 3=−27，即2+4 y−13=−27
解得：y=−4；
（2）∵x=2，y=−4，
∴y−2x=−4−2×2=−8，
∴y−2x的立方根是−2．
【题型6 无理数的估算】
28．（2025年陕西省西安市经开区九年级中考一模数学试题）m,n是连续的两个整数，若m<❑√10<n，则
m+n的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理❑√10的大小，确定m、n的值，
再代入计算即可．
【详解】解：∵32=9，42=16，而9<10<16，
∴3<❑√10<4，
而m，n是两个连续整数，若m<❑√10<n，
∴m=3，n=4，
∴m+n=7，
故答案为：7．
【题型7 无理数的大小比较】
❑√5
29．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用“>”，“<”或“=”填空： 1．
2
【答案】>
【分析】本题主要考查实数大小的比较，无理数的估算，根据无理数的估算得到❑√5>2，进而求解即
可．
【详解】解：∵5>4，
∴❑√5>2，
❑√5
∴ >1．
2
故答案为：>．
30．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知❑√5<a<❑√13，且a是整数，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数比大小是解题的关键，根据2<❑√5<3，3<❑√13<4，可得2<a<4，再由a是整数，即可得到答案．
【详解】解：∵22<5<32，32<13<42，
∴2<❑√5<3， 3<❑√13<4，
∵❑√5<a<❑√13，
∴2<a<4，且a是整数，
∴a=3，
故答案为：3．
31．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知m<❑√40<m+1，则整数m的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算
❑√40的大小，进一步可以得出答案．
【详解】解：∵❑√36<❑√40<❑√49，
∴6<❑√40<7，
∵m为正整数，且m<❑√40<m+1，
∴m=6．
故答案为：6．
❑√7−1 5
32．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）估计大小关系： （填>，<或=）．
2 6
【答案】<
【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数a和b比较大小，可以求这两个实数的
差a−b，当a−b的差大于0时，a>b；当a−b的差小于0时，a<b；当a−b的差等于0时，a=b．
❑√7−1 5 3❑√7−3 5 3❑√7−3−5 ❑√63−❑√64
【详解】解： ∵ − = − = = <0，
2 6 6 6 6 6
❑√7−1 5
∴ < ．
2 6
故答案为：< ．
33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数❑√2+1在数轴上的对应点可能是 点．
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到1<❑√2<2，则
2<❑√2+1<3，据此结合数轴可得答案．
【详解】解：∵❑√1<❑√2<❑√4，∴1<❑√2<2，
∴2<❑√2+1<3，
∴实数❑√2+1在数轴上的对应点可能是D点，
故答案为：D．
❑√5−1
34．（24-25七年级上·山东淄博·期末）若m= ，则m的值在（ ）
2
1 1 3 3
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和3之间
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数估算的方法即可求解，掌握无理数估算的方法是解题
的关键．
【详解】解：∵❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴2−1<❑√5−1<3−1，即1<❑√5−1<2，
1 ❑√5−1
∴ < <1，
2 2
故选：B．
【题型8 实数的性质】
35．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）实数−2的倒数是（ ）
1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
1
【详解】解：实数−2的倒数是− ，
2
故选：D．
36．（24-25七年级下·全国·课后作业）−❑√11的绝对值的3倍与4❑√11的差的相反数等于（ ）
A．❑√11 B．−❑√11 C．1 D．−1
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的加减运算，相反数及绝对值，根据题意列出式子，再根据实数的加减
运算法则计算出结果即可．
【详解】解：根据题意可得，−(3×|−❑√11)−4❑√11)=−(3❑√11−4❑√11)=−(−❑√11)=❑√11．
故选：A．
37．（2025七年级下·全国·专题练习）−❑√5的绝对值是（ ）
❑√5 ❑√5 1
A． B．− C．❑√5 D．
5 5 5
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，实数的性质，利用负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
【详解】解：|−❑√5)=❑√5，
故选：C．
38．（22-23七年级上·浙江温州·期中）下列各组数中，运算结果相等的一组是（ ）
1
A．22与 B．23与32 C．|−❑√3|与−❑√3 D．√3−27与−3
4
【答案】D
【分析】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及有理数乘方的法则是解题的关键．分别计算
出各数值，再进行比较即可．
【详解】解：A、∵22=4，
1
∴22≠
，本选项不符合题意；
4
B、∵23=8，32=9，
∴23≠32，本选项不符合题意；
C、∵|−❑√3|=❑√3，
∴|−❑√3|≠−❑√3，本选项不符合题意；
D、√3−27=−3，本选项符合题意．
故选：D．
39．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）❑√10−5的相反数是 ．
【答案】5−❑√10/−❑√10+5
【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：❑√10−5的相反数是5−❑√10；
故答案为：5−❑√10．
【题型9 实数的混合运算】40．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：
(1)❑√9−12025+√3−8；
(2)5÷ ( − 5) +(−2) 2×| 1 − 1 |．
3 2 4
【答案】(1)0
(2)−2
【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的混合运算．
（1）先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再相加减即可；
（2）根据有理数数的运算法则和绝对值性质解答即可；
【详解】（1）解：原式=3−1+(−2)
=2+(−2)
=0；
( 3) 1
（2）解：原式=5× − +4×
5 4
=(−3)+1
=−2．
41．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：−23+√38×❑√(−3) 2−|1−❑√2)．
【答案】−1−❑√2
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据乘方的定义和立方根、平方根的定义把各部分分
别计算出来，然后再运算加减即可．
【详解】解：−23+√38×❑√(−3) 2−|1−❑√2)
=−8+2×3−(❑√2−1)
=−8+6−❑√2+1
=−1−❑√2．
42．（24-25七年级上·山东烟台·期末）计算
√ 1
(1)(−1) 2025−|❑√3−2)+❑2+ −❑√0.25；
4
√1 5√ 1
(2) 3 − 3− +√3−343−❑√36．
8 2 125【答案】(1)❑√3−2
(2)−12
【分析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根
的定义．
（1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可；
（2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可．
√ 1
【详解】（1）解：(−1) 2025−|❑√3−2)+❑2+ −❑√0.25，
4
3 1
=−1+❑√3−2+ − ，
2 2
=❑√3−2；
1 5 1
（2）解：原式= + × −7−6，
2 2 5
=1−7−6，
=−12
43．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算：
(1)(−❑√3) 2 −√38+❑√22；
(2)|❑√2−2)+❑√(−5) 2−❑√9．
【答案】(1)3
(2)4−❑√2
【分析】此题考查了实数的混合运算．
（1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可；
（2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可．
【详解】（1）解：(−❑√3) 2 −√38+❑√22
=3−2+2
=3
（2）|❑√2−2)+❑√(−5) 2−❑√9
=2−❑√2+5−3
=4−❑√2
44．（24-25七年级下·全国·期末）计算：(1)(−1) 2025+❑√25−❑√5(1+❑√5)；
√ 9
(2)❑1 +√327−|1−❑√3)．
16
【答案】(1)−1−❑√5
21
(2) −❑√3
4
【分析】本题考查了实数的混合运算：乘方及立方根的运算，熟练掌握算术平方根、乘方及立方根的
意义是解决问题的关键．
（1）先根据乘方、算术平方根的性质及乘法法则进行计算，然后再计算加减；
（2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，最后再合并即可．
【详解】（1）解：原式=−1+5−❑√5−5，
=−1−❑√5；
√25
（2）解：原式=❑ +3−(❑√3−1)，
16
5
= +3−❑√3+1，
4
21
= −❑√3
4
【题型10实数的实际综合应用】
45．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团
组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为500cm2．完成扇面后，需对扇面边
缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留π）cm，正方形团扇的边长为 cm；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．10❑√5π
【答案】(1) ，10❑√5
π
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算
方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为rcm，正方形的边长为bcm，
由题意得，πr2=500，b2=500，
√500 10❑√5π
∴r=❑ = (cm)，b=❑√500=10❑√5(cm)，
π π
10❑√5π
故答案为： ，10❑√5；
π
10❑√5π
（2）解：圆形扇的周长为：2π× =20❑√5π(cm)≈❑√6000cm，
π
正方形扇的周长为：4×10❑√5=40❑√5(cm)≈❑√8000cm，∵❑√6000<❑√8000，
∴圆的周长较小．
46．（24-25七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通
事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16
❑√df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．
在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16❑√df，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16❑√df，
v=16❑√32×2=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
【题型11程序设计与实数运算】
47．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A．❑√8 B．❑√18 C．❑√12 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根，先根据程序求它的算术平方根，
接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答．
【详解】解：∵输入的x为64，
∴❑√64=8，
∵8是有理数，
∴8的算术平方根是❑√8，❑√8是无理数，
则输出的y是❑√8，
故选：A．
1
48．（2025七年级下·全国·专题练习）小明编写了一个程序，如图．若输出 ，则x的值为 ．
2
【答案】±8
【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程
图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可．
1
【详解】解：∵输出的数是 ，
2
1 1 1
∴根据流程图， 的平方是 ， 的倒数是4，4的立方是64，64的平方根是±8，
2 4 4
故x的值为±8，
故答案为：±8．
49．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为−64时，输出
的值是【答案】❑√2
【分析】将x=−64代入程序进行计算即可求解．
【详解】解：当x=−64时，y=−√3−64=4，
当x=4时，y=❑√4=2，
当x=2时，y=❑√2，输出，
故答案为：❑√2．
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．
【题型12新定义下的实数运算】
50．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数a,b定义一种运算：a※b=ab+a−b．则❑√16※√3−8等
于（ ）
A．−6 B．−2 C．2 D．6
【答案】B
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算❑√16=4，√3−8=−2，再依据新定义规定的运算
a※b=ab+a−b计算可得．
【详解】解：❑√16※√3−8
=4※(−2)
=4×(−2)+4−(−2)
=−8+4+2
=−2，
故选：B．
51．（23-24七年级下·全国·单元测试）对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=am−bn，若3⊕(−5)=15，
4⊕(−7)=28，则(−1)⊕2的值为（ ）
A．−13 B．13 C．2 D．−2
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及新定义下的实数运算，已知等式利用题中的新定义
化简得到方程组，求出方程组的解得到m与n的值，然后再代入新定义运算即可．
【详解】解：根据题意，得3⊕(−5)=3m+5n=15，4⊕(−7)=4m+7n=28，
{3m+5n=15,)
∴
4m+7n=28,
{m=−35)
解得
n=24
∴ (−1)⊕2=−m−2n=35−48=−13．故选 A．
52．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果xn=a，那么x叫作a的n次方根．例如：因为
24=2×2×2×2=16,(−2) 4=(−2)×(−2)×(−2)×(−2)=16，所以16的四次方根是2和−2．由此
可知，81的四次方根是 ．
【答案】3和−3
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题干提供的新定义进行计算即可．
【详解】解：∵(±3) 4=81，
∴81的四次方根是3和−3．
故答案为：3和−3．
【题型13与实数运算相关的规律题】
❑√7 ❑√11 ❑√15
53．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数❑√3， ， ， ，其第8个数为
2 3 4
（ ）
3❑√3 ❑√29 ❑√31 ❑√35
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】C
❑√3+4(n−1)
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第n个数为 ，进而求出第8个
n
数即可．
❑√3 ❑√7 ❑√3+4×1 ❑√11 ❑√3+4×2 ❑√15 ❑√3+4×3
【详解】解：❑√3= ， = ， = ， = ⋯，
1 2 2 3 3 4 4
❑√3+4(n−1)
∴第n个数为 ，
n
❑√31
∴第8个数为 ；
8
故选C．
