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专题 04 实数重难点题型归纳
重难点题型归纳
【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【题型2算术平方根的非负性】
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
【题型4 根据立方根性质求解】
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
【题型6 无理数的估算】
【题型7 无理数的大小比较】
【题型8 实数的性质】
【题型10实数的实际综合应用】
【题型11程序设计与实数运算】
【题型12新定义下的实数运算】
【题型13与实数运算相关的规律题】
考点1：算术平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
考点2：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
位.例如： ， ， ， .
考点3：立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：
√33.75≈1.554，√337.5≈3.347，则√33750≈15.54【题型1 平方根、算术平方根与立方根的概念】
1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列各数没有平方根的是（ ）
A．3 B．0 C．−1 D．0.9
【答案】C
【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可．
【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是−1，
故选C．
1
2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试） 的平方根是（ ）
36
1 1 1
A． B．− C．± D．±6
6 6 6
【答案】C
【分析】本题考查平方根的定义：若一个数的平方等于a，就说这个数是a的平方根，记作±❑√a，根据
平方根的定义直接求解即可得到答案．
1 2 1
【详解】解：∵(± ) = ，
6 36
1 √ 1 1
∴ 的平方根是±❑ =± ．
36 36 6
故选：C．
√ 1
3．（24-25八年级下·湖南郴州·开学考试）❑ 的平方根是（ ）
81
1 1 1 1
A．− B．± C． D．±
9 9 3 3
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解
题的关键．
根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
√ 1 1
【详解】解：❑ = ，
81 91 1
的平方根是± ．
9 3
故选：D．
4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）❑√16= ．
【答案】4
【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：❑√16=4，
故答案为：4．
5．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）√38= ．
【答案】2
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据开立方定义：x3=a，则x叫a的立方根，记作x=√3 a，求
解即可得到答案，．
【详解】解：√38=√3 23=2，
故答案为：2．
6．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵43=64，
∴61+a=64，则a=3．
故选：C．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）若√361+a的值为4，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案．
【详解】解：∵43=64，
∴61+a=64，则a=3．
故选：C．
【题型2算术平方根的非负性】
8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知❑√x+2+|y−1)=0，那么(x+ y) 2024的值为 ．【答案】1
【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入
(x+ y) 2024计算即可．
【详解】解：∵❑√x+2+|y−1)=0，
∴x+2=0,y−1=0，
∴x=−2,y=1，
∴(x+ y) 2024=(−2+1) 2024=1．
故答案为：1．
9．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）若|a−3|+❑√b−4+(c−3) 2=0，则a+b+c= ．
【答案】10
【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术
平方根、偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的
值，再代入即可得．
【详解】解：∵|a−3|+❑√b−4+(c−3) 2=0
∴a−3=0,b−4=0,c−3=0
∴a=3,b=4,c=3
∴a+b+c=3+4+3=10，
故答案为：10．
10．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知(a−2) 2+❑√b+2=0，则3a−2b的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性以及求代数式的值，先根据平方和算术平方根的非负性
求出a，b的值，再将a，b的值代入3a−2b中进行计算即可．掌握平方和算术平方根的非负性是解题
的关键．
【详解】解：∵(a−2) 2+❑√b+2=0，(a−2) 2≥0，❑√b+2≥0，
∴a−2=0，b+2=0，
∴a=2，b=−2，
∴3a−2b=3×2−2×(−2)=6+4=10，∴3a−2b的值是10．
故答案为：10．
n
11．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且❑√m−4+|n−9)=0，则 的平方根是 ．
m
3
【答案】±
2
【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能
灵活运用是解题的关键．
先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答．
【详解】解：∵❑√m−4+|n−9)=0，
∴m−4=0,n−9=0，即m=4,n=9，
n √ n √9 3
∴ 的平方根是±❑ =±❑ =± ．
m m 4 2
3
故答案为：± ．
2
12．（24-25七年级下·全国·期中）若❑√a−2+|b−1)+(c+3) 2=0，则a+b+c= ．
【答案】0
【分析】由绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性可得a−2=0，b−1=0，
c+3=0，解方程即可求出a、b、c的值，然后将其代入a+b+c求值即可．
【详解】解：∵❑√a−2+|b−1)+(c+3) 2=0，
∴a−2=0，b−1=0，c+3=0，
解得：a=2，b=1，c=−3，
∴a+b+c=2+1−3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，代数式求值等知识点，熟练
掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性及完全平方数的非负性是解题的关键．
【题型3 根据平方根性质求解（3种题型）】
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知一个正数的平方根分别为2x+1和3−4x，则这个正数是
（ ）
A．25 B．16 C．8 D．2【答案】A
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据
正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意知2x+1+3−4x=0，
解得：x=2，
∴2x+1=2×2+1=5，
∴这个正数是52=25，
故选：A．
14．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是2m−1和3−m，则m的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m−1与3−m，
∴2m−1+3−m=0，
∴m=−2，
故答案为：−2．
【答案】503.6
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地
向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵❑√25.36≈5.036，
❑√2536000=❑√25.36×❑√10000=5.036×100=503.6
故答案为：503.6．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)16x2−25=0；
(2)2(x−1) 2=32．
5
【答案】(1)x=±
4
(2)x=5或x=−3
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键，注意整体思想的运
用．25
（1）先变形为x2=
，再求平方根即可求解；
16
（2）先变形为(x−1) 2=16，再求平方根得x−1=±4，然后解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：16x2−25=0，
25
x2=
，
16
√25
∴x=±❑ ，
16
5
即x=± ；
4
（2）解：2(x−1) 2=32，
(x−1) 2=16，
∴x−1=±❑√16，
即x−1=±4，
∴x=5或x=−3．
16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)m2−49=0；
1
(2) (x−2) 2−8=0．
8
【答案】(1)m=±7
(2)x =−6，x =10
1 2
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）先将m2−49=0变形为m2=49，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可；
1
（2）先将 (x−2) 2−8=0变形为(x−2) 2=64，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
8
【详解】（1）解：m2−49=0，
∴m2=49，
解得：m=±7；
1
（2）解： (x−2) 2−8=0，
8
∴(x−2) 2=64，∴x−2=±8，
解得：x =−6，x =10．
1 2
17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)9x2−16=0；
(2)4(2x−1) 2=36
4
【答案】(1)x=±
3
(2)x=2或x=−1
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用平方根的定义解方程即可；
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：9x2−16=0；
9x2=16，
16
x2=
，
9
4
x=±
3
（2）解：4(2x−1) 2=36
(2x−1) 2=9
2x−1=±3
2x−1=3或2x−1=−3
解得：x=2或x=−1．
18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）观察下表，你能得到什么规律？
a 0.0121 1.21 121 12100
❑√a0.11 1.1 11 110
（2）已知❑√15≈3.873，根据上述规律求❑√0.15，❑√150000，❑√0.000015的近似值．
【答案】（1）被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向
右）移动一位．
（2）❑√0.15≈0.3873，❑√150000≈387.3，❑√0.000015≈0.003873．
【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．（1）根据表格数据总结规律即可；
（2）根据规律即可求得答案．
【详解】（1）由a=0.0121时，❑√a=0.11；
a=1.21时，❑√a=1.1；
a=121时，❑√a=11；
a=12100时，❑√a=110；
可知被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位；
（2）利用被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，算术平方根的小数点相应向左（或向右）移
动一位，
可知❑√0.15≈0.3873，
❑√150000≈387.3，
❑√0.000015≈0.003873．
19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知5a+2的立方根是3,b−1的算术平方根是❑√3．
(1)求a、b的值；
(2)求a+3b的平方根．
【答案】(1)a=5，b=4
(2)±❑√17
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出a,b的值是解
题的关键．
（1）根据题意得出5a+2=27，b−1=3，计算即可得到答案；
（2）把a=5,b=4代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：5a+2的立方根是3，b−1的算术平方根是❑√3，
∴5a+2=27,b−1=3，
∴a=5，b=4；
（2）解：当a=5,b=4时，
a+3b=5+3×4=17,
17的平方根是±❑√17，
∴a+3b的平方根是±❑√17．
【题型4 根据立方根性质求解】
20．（24-25八年级上·山东烟台·期末）√364的平方根是 ．【答案】±2
【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
先求得√364=4，根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：√364=4，
∴√364的平方根是±2，
故答案为：±2．
21．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）❑√25.36=5.036, ❑√253.6=15.906，则❑√253600=
．
【答案】503.6
【分析】此题考查了算术平方根的定义，求一个数的近似数，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地
向左或向右移动1位，进行解答即可．
【详解】解：∵❑√25.36≈5.036，
❑√2536000=❑√25.36×❑√10000=5.036×100=503.6
故答案为：503.6．
22．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，√3−1285≈−10.87，√312850≈23.42，√3 a≈1.087，
√312.85≈b，则a= ，b= ．
【答案】 1.285 2.342
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点
就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三
位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值．
【详解】解：∵√3−1285≈−10.87,√3 a≈1.087，
∴a≈1.285,
∵√312850≈23.42,√312.85≈b,
∴b≈2.342,
故答案为：1.285；2.342
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数a的正的平方根是2m−6，且a的平方根是±(2−m)．
(1)求m的值；
(2)求这个正数a的值及a的平方根．【答案】(1)4
(2)a=4，a的平方根是±2
【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义．
（1）由题意得：2m−6>0，求出m>3，进而得到−(2−m)>0，推出2m−6=−(2−m)即可求解；
（2）根据a=(2m−6) 2求出a的值，再根据平方根的定义即可求a的平方根．
【详解】（1）解：由题意得：2m−6>0，
∴ m>3，
∴ −(2−m)>0，
∴ 2m−6=−(2−m)，
∴ m=4；
（2）a=(2m−6) 2=(2×4−6) 2=4，
a的平方根是±❑√4=±2，
∴ a=4，a的平方根是±2．
24．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值．
(1)x3−216=0；
(2)(x+5) 3=64；
(1 ) 3
(3) x+1 =8．
2
【答案】(1)x=6
(2)x=−1
(3)x=2
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，
（1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可；
（3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可．
【详解】（1）解：x3−216=0
x3=216
x=√3216
x=6；（2）解：(x+5) 3=64
x+5=√364
x+5=4
x=−1；
(1 ) 3
（3）解： x+1 =8
2
1
x+1=√38
2
1
x+1=2
2
1
x=1
2
x=2.
【题型5 算术平方根和立方根的综合运算】
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知2b−2的立方根是−2，4a+3b算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求2a−b的平方根．
9
【答案】(1)a= ，b=−3
2
(2)±2❑√3
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根．
（1）根据立方根和算术平方根的定义得出2b−2=(−2) 3=−8，4a+3b=32=9，求解即可；
（2）先求出2a−b的值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：∵2b−2的立方根是−2，4a+3b算术平方根是3．
∴2b−2=(−2) 3=−8，4a+3b=32=9，
9
解得：a= ，b=−3；
2
9
（2）解：由（1）可得a= ，b=−3，
29
∴2a−b=2× −(−3)=9+3=12，
2
∴2a−b的平方根为±❑√12=±2❑√3．
26．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知2a−1的算术平方根是❑√11，a−5b+1的立方根是−2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a−b的立方根．
【答案】(1)a=6，b=3
(2)√3 9
【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键．
（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算；
（2）由（1）及立方根可直接求解．
【详解】（1）解：∵ 2a−1的算术平方根是❑√11，
∴ 2a−1=11，
解得：a=6，
∵ a−5b+1的立方根是−2，
∴ a−5b+1=−8，
解得：b=3；
（2）由(1)知a=6，b=3，
∴ 2a−b=2×6−3=9，
∴ 2a−b的立方根为√3 9．
27．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知2x+3是49的算术平方根，x+4 y−13的立方根是−3．
(1)求x，y的值；
(2)求y−2x的立方根．
【答案】(1)x=2，y=−4
(2)−2
【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义；
（1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答；
（2）将x=2，y=−4代入求出y−2x的值，再根据立方根的定义解答．
【详解】（1）解：∵2x+3是49的算术平方根，
∴2x+3=7，
解得：x=2，
∵x+4 y−13的立方根是−3，∴x+4 y−13=(−3) 3=−27，即2+4 y−13=−27
解得：y=−4；
（2）∵x=2，y=−4，
∴y−2x=−4−2×2=−8，
∴y−2x的立方根是−2．
【题型6 无理数的估算】
28．（2025年陕西省西安市经开区九年级中考一模数学试题）m,n是连续的两个整数，若m<❑√10”，“<”或“=”填空： 1．
2
【答案】>
【分析】本题主要考查实数大小的比较，无理数的估算，根据无理数的估算得到❑√5>2，进而求解即
可．
【详解】解：∵5>4，
∴❑√5>2，
❑√5
∴ >1．
2
故答案为：>．
30．（24-25九年级下·北京·开学考试）已知❑√5，<或=）．
2 6
【答案】<
【分析】本题考查了利用求差法比较实数的大小．任意两个实数a和b比较大小，可以求这两个实数的
差a−b，当a−b的差大于0时，a>b；当a−b的差小于0时，a
