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3.2 图形的旋转
题型一 旋转图形和中心对称图形的识别
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】 逆时针 90
题型二 找旋转中心、旋转角、对应点
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】
8．【答案】 /90度
9．【答案】
题型三 求旋转中心的个数
1．【答案】C
2．【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司题型四 成中心对称
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】
7．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明
得 ， ，即可得证．
【详解】证明： 点 与点 关于点 中心对称，
是线段 的中点，即 ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
点A与点F关于点E成中心对称．
题型五 确定两个图形的对称中心
1．【答案】
2．【答案】
3．
【答案】见解析
【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经
过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司连接两对对应点，交点即为所求的对称中心．
【详解】解：连接 ，交点O即为所求的对称中心．
如图所示：
4．
【答案】见解析，15
【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
连接 ， ，其交点就是对称中心 ；依据 和 关于点 成中心对称，即可得到
，进而得出 的周长．
【详解】解：如图所示，点 即为所求；
和 关于点 成中心对称，
，
， ， ，
的周长 ；
答： 的周长为15．
5．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转 后能与原图形重合．理解中心对称
图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可．
【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后和原图形重合，所以是中心对称
图形，它们的对称中心在对角线的交点．
如图，点 即为所求的点．
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学科网（北京）股份有限公司题型六 求关于原点对称点的坐标
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】四
题型七 已知两点关于原点对称求参数
1．【答案】A
2．【答案】2026
3．【答案】
4．【答案】1
5．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记关于原点对称、关于 轴对称的两个点的坐标特
征是解决问题的关键．
（1）由关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标均互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由关于 轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ， 两点关于原点对称，
， ，
， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ， 两点关于 轴对称，
， ，
， ．
题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】
6．【答案】
7．【答案】
8．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定．
根据中心对称的性质得出 ， ，进而证明 ，即可证明四边形 是平行
四边形．
【详解】证明： 和 关于点O对称，
，
四边形 是平行四边形．
9．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识
的运用是关键．
（1）根据中心对称的特点得到 ，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求
证；
（2）由勾股定理，平行四边形的性质得到 ，由此即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）证明：如图所示，
∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
题型一 旋转的性质运用
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】315
5．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三
角形判定与性质是解决问题的关键．
（1）由旋转性质得到 ， ，即可由等边三角形的判定定理得到 为等边三角形；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先由旋转性质得到 ，再等量代换有 ，最后结合等边三角形性质即可得证．
【详解】（1）证明： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形；
（2）证明： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
，
在等边 中， ，
．
6．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）由全等三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，即得
，再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
由旋转可得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7．
【答案】 是等边三角形，理由见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性
质可得 ，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解： 是等边三角形，理由如下：
∵将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
8．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）证明 即可求证；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解： ，证明如下：
由旋转可得， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
8 / 51
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
（2）解： ，证明如下：
由旋转可得， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
9．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质，
对于（1），根据旋转可知 ， ，再表示 ，然后根据 的度数，可得答
案；
对于（2），设旋转时间是ts，并表示 ，即可得出 ，最后代入可得结论；
对于（3），根据题意可得 ，再根据 ，可得 ，然后代入得出答案．
【详解】（1）∵线段 分别以每秒 ， 的速度绕点O旋转2s，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设旋转时间是ts，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
（3）∵M，N两点的速度之比是 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
10．
【答案】（ ）① ；②证明见解析；（ ）
【分析】（ ）①由勾股定理可得 ，即得 ，得到 ，再利用勾股定
理解答即可求解；②由旋转的性质可得 ， ， ， ，进
而可证 ，得到 ，再根据 得到 ，即可求证；
（ ）作 于 ，由勾股定理得 ，进而得 ，又由等腰三角形
的判定可得 ，即得 ，再利用勾股定理解答即可求解．
【详解】解：（ ）①∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
②证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，如图所示，
则 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，’
∴ ；
（ ）作 于 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
正确作出辅助线是解题的关键．
题型二 画旋转图形
1．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形．
（1）根据中心对称的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出 ，并写出点 的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据旋转的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出 ，并写出点 的坐标
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求； ．
2．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
先利用旋转变换的性质，分别画出A、B、C的对应点 、 、 ，然后顺次连接即可解答．
【详解】解：如图： 即为所求．
3．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出点 的对应点分别为 ，即可画出
（2）根据旋转的性质找出 每个顶点绕点 逆时针旋转 后得到的对应点，再连线得到 ．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：
（2）解：如图所示： 即为所求．
4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键．
（1）根据平移方式可得 、 、 的坐标，描出 、 、 ，并顺次连接 、 、 即可；
（2）根据所给旋转方式和网格的特点可得 、 、 的位置， 描出 、 、 ，并顺次连接 、 、
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学科网（北京）股份有限公司即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求．
（2）解：如图所示， 即为所求，点 的坐标为 ，
5．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换．
（1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求．点 的坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司6．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转作图，确定 各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定 各
顶点绕点O顺时针旋转 和 后的对应点，再顺次连接即可．
【详解】解：如图， 和 即为所求：
7．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ．
【分析】（ ）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（ ）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可；
本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形．
【详解】（1）解：如图， 以点O为旋转中心，顺时针旋转 后得到 ；
∴ 即为所求；
（2）解： 的面积
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学科网（北京）股份有限公司．
题型三 旋转中的规律性问题
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】
题型四 坐标系中的旋转
1．【答案】
2．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4) 或 或 或
【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解
题的关键．
（1）根据轴对称的性质，做出点 ，再连线，即可求解；
（2）根据图形，即可求解；
（3）利用割补法求三角形的面积即可；
（4）分别将线段 绕点A顺时针旋转 、逆时针旋转 ，将线段 绕点B顺时针旋转 、逆时针
旋转 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图 所示．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：由图可知，点 坐标为 ．
（3）解：由图可知， ．
（4）解：如图，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，
根据旋转可知 ，此时 是以 为直角边的等腰直角三角形，
由图可知点 坐标为 ；
同理，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
将线段 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
将线段 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上可知，点P坐标为 或 或 或 ．
3．
【答案】(1)
(2) 的面积为
(3)不变， 的面积为2
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
（1）过点 作 轴于点 ，证明 ，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C
的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，，同（1）得出 ，根据点C的坐标即可求出面积；
（3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据旋转得 ，
∴ ，
∴根据点的坐标可得， ，
∴点C的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据旋转得 ，
∴ ，
∴根据全等可能， ，
∴
∴点C的坐标为 ，
∴ 的面积为 ；
（3）解： 的面积不发生变化，理由如下：
①如（2）得，当点 位于纵轴负半轴时，设B点坐标为 ，
则 ，
∴
∴点C的坐标为 ，
∴ 的面积为 ；
②当点 位于纵轴正半轴时，B点坐标为 ，如图，过点 作 轴于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理（1）可证 ，
∴ ，
∴ 点的纵坐标为2，
∴ ；
综上， 的面积不发生变化．
4．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)作图见解析， 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并
证明是解题的关键．
（1）根据题目可知 是 的中点，即可得解；
（2）过点 作 ，垂足为 ，证明 和 ，即可得证；
（3）当点 在 轴负半轴且 时，点 不可能在射线 上；当点 与点 重合时，点 与点
重合时，此时 ， ；当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，此时 ， ，
再分两种情况讨论：当点 在点 与点 之间时，当点 在点 的右边时讨论即可．
【详解】（1）由题可知： ，
，
， ，
．
（2）过点 作 ，垂足为 ，
，
， ，
21 / 51
学科网（北京）股份有限公司，
在 和 中，
，
，
， ，
， 是 的中点，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3） ，
当点 在 轴负半轴且 时，点 不可能在射线 上；当点 与点 重合时，点 与点 重合
时，此时 ， ；当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，此时 ， ．
①当点 在点 与点 之间时，过点 作 交 的延长线于点 ，如图（1），
， ，
四边形 是正方形，
， ，
22 / 51
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
②当点 在点 的右边时，作 ，如图（2），
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学科网（北京）股份有限公司由题可得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
题型五 线段旋转问题
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】８
5．【答案】2
6．【答案】
7．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)3
【分析】（1）由题意可知， ，那么 ， ，从而得到 ，
然后利用平角，得到 ；
（2）结合（1）可知， ， ，从而得到 ，然后利用勾股定
理求得 即可；
（3）过点 作 于点 ，然后利用勾股定理求得 ，接着利用 求得面
积即可．
【详解】（1）解： 正方形 ，
，
将 绕点 顺时针旋转至 处，
，且旋转角度为 ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
点 、 、 三点正好在同一直线上，
；
（2）解： ， ， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
；
（3）解： 是等腰直角三角形， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
过点 作 于点 ，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性
质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
题型六 面积旋转问题
1．【答案】 或
2．【答案】 或12
3．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析
(2) ， 的面积为
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质．
（1）根据旋转的性质得到 ，可知 ，即可证明 是等边三角形；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据等边三角形的性质得到 ，根据勾股定理求出 ，将 绕
点 顺时针旋转 至 的位置，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接
，可知 ， ， ，最后根据
计算即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形．理由如下：
由旋转可知： ．
，
是等边三角形．
（2）解： 是等边三角形，
，
．
．
如图2，将 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至
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学科网（北京）股份有限公司的位置，连接 ．
；
同理可得： ．
．
4．
【答案】(1)作图见解析， ；
(2)见解析；
(3) .
【分析】本题考查了画中心对称图形、旋转图形，解决本题的关键是根据中心对称的性质以及旋转的性质
作图．
分别作出点 、 、 关于原点成中心对称的点 、 、 ，连接点 、 、 ，得到 ，借
助网格写出点 的坐标；
分别作出点 、 、 绕原点 顺时针旋转 的对应点 、 、 ，连接点 、 、 ，得到
即可；
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学科网（北京）股份有限公司把 补充成一个 的矩形，借助矩形的面积公式和三角形的面积公式求出 的面积即可．
【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点 、 、 关于原点成中心对称的点 、 、 ，
连接点 、 、 ，得到 ，
即为所求，
点 的坐标为 ；
（2）解：如下图所示，分别作出点 、 、 绕原点 顺时针旋转 的对应点 、 、 ，
连接点 、 、 ，得到 ，
即为所求；
（3）解：如下图所示，把 补充成一个 的矩形，
则 ．
29 / 51
学科网（北京）股份有限公司5．
【答案】(1)等边三角形
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，则 ， ，即可判断 的形状；
（2）由（1）知等边三角形的边长为 ，过点 作 于点 ，结合等腰三角形三线合一性质及勾
股定理求出 ，再求出 即可；
（3）连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，连接 ，过
点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，证明 是等腰直角三角
形，利用勾股定理求出 ， ，再求出 和 的面积和即可．
【详解】（1）解：∵将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
即 的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）如图，过点 作 于点 ，
30 / 51
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 、 、 共线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴四边形 的面积为 ；
（3）连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，连接 ，过
点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，
31 / 51
学科网（北京）股份有限公司∵将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
32 / 51
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形
的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键．
6．
【答案】（1）25（2） （3）24
【分析】（1）根据四边形 的面积等于正方形 的面积计算即可；
（2）如图乙中，延长 至 ，取 ，连接 ．只要证明 ，即可推出四边形
的面积等于 的面积；
（3）如图丙中，延长 至 ，连接 、 、 ．只要证明五边形 的面积等于四边形
的面积即可．
【详解】解（1）由题可知 ．
故答案为25．
（2）如图，延长 至 ，取 ，连接 ．
等边 中， ， ，
33 / 51
学科网（北京）股份有限公司，
四边形 中， ，
，
又 ， ，
，
， ．
，
，
为等边三角形且 ，
．
（3）如图，延长 至 ，连接 、 、 ．
， ， ，
，
．
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考
压轴题．
题型七 角度旋转问题
1．【答案】6或9或18
2．
【答案】(1) ；
34 / 51
学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3) 或
【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解
决问题是关键．
（1）用 除以射线 的旋转速度求解即可；
（2）用 除以射线 和 的旋转速度和求解即可；
（3）分两种情况讨论：①射线 与 重合前；②射线 与 重合后，根据角度的和差关系列方程
求解即可．
【详解】（1）解： （秒）；
（2）解： （秒）；
（3）解：由题意可知， ， ， ，
，
，
①如图，射线 与 重合前，
，
，
解得： ；
②如图，射线 与 重合后，
，
，
解得： ，此时射线 和 重合，
综上可知，当 时， 的值为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题主要考查角的计算，掌握角的和差计算是关键．情况不确定时，要注意考虑分类讨论．
（1）根据旋转角的性质求解即可；
（2）设旋转时间为 秒，当 与 相遇时，求出 ，分 时， 与 相遇前和
时， 与 相遇后两种情况计算即可；
【详解】（1） ， ，
，
；
故答案是： ； ．
（2）设旋转时间为 秒，则 ， ，
，解得 ，
① 时， 与 相遇前， ，所以 ；
② 时， 与 相遇后， ，所以
．
4．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3) 或
【分析】本题考查了角的动态旋转问题，角的和差关系，角平分线的性质以及一元一次方程的应用．结合
具体的角度关系，分情况建立一元一次方程是解题的关键．
（1）根据射线 、 的旋转速度和时间 ，分别计算出 与 的度数，再利用点 、 、
在直线 上这一条件，通过角的和差关系求出 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）分情况讨论：一是 旋转 位置后， 平分 ；二是另一种 平分 ．在每种情况下，
根据射线旋转速度和时间表示出相关角的度数，再利用角平分线性质（角平分线将角分成相等的两部分）
建立关于 的一元一次方程，求解并验证是否符合条件．
（3）分三种情况讨论 的情况：第一次 比 多转 ；第二次 比 多转
；第三次 比 多转 ．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出角的
度数，再根据 建立关于 的一元一次方程，求解后根据 的条件，舍去不符合的解．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
点 ， ， 依次在直线 上，
．
故答案为： ．
（2）解：存在，理由如下：
① 旋转一周的时间为 （秒），
，即 已经旋转 的位置，
若 平分 且 ，位置如图1：
此时 ，
，
，
平分 ，
，
，
解得 ；
②若 平分 且 ，位置如图2：
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，
，超过 的部分就是 ，
，
平分 ，
，
，
解得 ；
（3）解：①如图3，
当 第一次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，
②如图4，
当 第二次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司③如图5，
当 第三次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，不符合题意．
综上所述，当 时， 或 ．
题型八 画中心对称图形
1．
【答案】(1)见解析
(2)对应边为 和 ， 和 ， 和 ；对应角为 和 ， 和 ，
和
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点 、 、 关于点 的对称点是解题的
关键．
（1）连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使
，然后顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：对应边为： 和 ， 和 ， 和 ．
对应角为： 和 ， 和 ， 和 ．
2．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
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学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，根据旋转的性质是
解题的关键．
（1）根据旋转的性质确定 ，然后顺次连接即可画出图形，最后写出 的坐标；
（2）根据中心对称的性质确定 ，然后顺次连接即可画出图形．掌握中心对称的性质是解题的
关键；
（3）由旋转的性质易证 是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
由图可得 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：由旋转的性质可得 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
3．
【答案】(1)见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)见解析
【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形．
（1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点 ，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示， 为所作图形；
（2）解：如图所示， 为所作图形．
4．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】本题考查了画轴对称图形，画中心对称的图形．
（1）根据轴对称作图方法作图即可；
（2）根据中心对称图形的作图方法作图即可；
【详解】解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示，四边形 即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司题型九 说出一个图形到另一个图形的变换过程
1．【答案】B
2．【答案】②③④
3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形
绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与
另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新
图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
（1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答；
（2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答．
【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换；
（2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺
时针（或逆时针）旋转 （中心对称变换）．
4．
【答案】(1)见解析
(2)是轴对称图形，对称轴见解析
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学科网（北京）股份有限公司(3)见解析
(4)见解析，答案不唯一．
【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变
换和旋转变换的定义和性质．
（1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）由图形可得其对称轴；
（4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求
（2）如图所示， 即为所求，
（3） 与 是轴对称图形，对称轴如图所示
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学科网（北京）股份有限公司（4）将 以点B为旋转中心，逆时针旋转 后，再向右平移6个单位得到 ．
题型一 旋转的综合运用
1．【答案】D
2．
【答案】(1)
(2)① 或
② 或 或
【分析】本题考查了角的倍分计算，一元一次方程的应用，角的平分线，熟练掌握解方程，角的关系是解
题的关键．
（1）设 ，则 ，从而得 ，又由射线 平分 ，
得 ,结合 ，构造一元一次方程求解得 ，进而求
出 的度数；
（2）①设运动时间为 ，则 ， ， ，
故 ，当 时， ；当 时，
解答即可；
②设运动时间为 ，则 ， ， ，分类计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：根据题意，得 ，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∵射线 平分 ，
∴ ,
∵ ，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）①设运动时间为 ，则 ， ， ，
故 ，
∵射线 为 的平分线，
∴ ，
当 时，如图所示，
根据题意，得 ,
此时 ，
∴
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，如图所示，
根据题意，得 ,
设运动时间为 ，则 ， ， ，
此时 ，
故 ，
∵射线 为 的平分线，
∴ ，
此时
∴
∴
∴ ，
∴ ；
②解：设运动时间为 ，则 ， ， ，
当 时，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
整理，得 ，
解得 ；
当 时，如图所示，
则 ， ， ，
∴ ∴ ，
∵ ，
∴
整理，得 ，
解得 ；
如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得 ；
综上所述，当运动时间为 或 或 成立．
3．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点D作 轴于点E，可证明 ，得 ，再证明 ，得
，在 中由勾股定理可求出 的值．
（3）过点作 轴于点 ，可证明 ，可证得 ，点 在平行于 轴，且到
轴的距离为 的直线 上，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，得 ，由勾
股定理可求出 的值．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）
由已知可得 ， ，
过点D作 轴于点E，
∵将 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中 ，
∴
∴
∴ （负值舍去）．
答：当 时，运动时间为 ．
（3）
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为 的中点，
∴ ．
作 轴于点 ，
∵ ，且
又∵
∴
∴
∴ ，
∴
∴点 在平行于 轴，且到 轴的距离为 的直线 上
作点 关于直线 的对称点
则有 ，
∴
∴连接 ， 与直线 的交点时 最小
在 中
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ （负值舍去）
答：若 达到最小，且最小值为 时，此时 的值为2．
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学科网（北京）股份有限公司
