文档内容
第 05 讲 平面直角坐标系 （6 个知识点+6 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为
正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象
限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
知识点2．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的
坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
知识点3．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第
四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，
b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
知识点4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与
纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由
距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，
是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去
解决问题．
知识点5．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设 有 两 点 A （ x ， y ） ， B （ x ， y ） ， 则 这 两 点 间 的 距 离 为 AB ＝
1 1 2 2
．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
知识点6．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个⇒点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相
应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
知识复习
一．点的坐标（共6小题）
1．（2023秋•莱州市期末）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为
A． B． C． D．
2．（2024•南岗区校级开学）若 ， ，则点 在第 象限．
3．（2024•渝中区校级开学）平面直角坐标系中，点 在 轴上，则点 的
坐标为 ．
4．（2023秋•镇江期末）在平面直角坐标系中，点 位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024•南岗区校级开学）在平面直角坐标系中，对于点 ，若点 的坐标为
，其中 为常数，则称点 是点 的“ 倍相关点”．例如，点 的
“3倍相关点” 的横坐标为： ，纵坐标为： ，所以点 的“3倍相关点” 的坐标为 ．
（1）已知点 的“ 倍相关点”是点 ，求 的值；
（2）已知点 的“ 倍相关点”是点 ，且点 在 轴上，求点 到 轴的距离．
6．（2023 秋•泰和县期末）已知当 ， 都是实数，且满足 时，称
为“开心点”．例如点 为“开心点”．
因为当 时， ， ，得 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
所以 是“开心点”．
（1）判断点 是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点 是“开心点”，请判断点 在第几象限？并说明理由．
二．规律型：点的坐标（共6小题）
7．（2023秋•长丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的
点，其顺序按图中“ ”方向排列，其对应的点坐标依次为 ， ， ， ，
， ， ， ， ，根据这个规律，第2023个点的横坐标为
A．44 B．45 C．46 D．478．（2023秋•包河区期末）如图，在一个单位为1的方格纸上，△ ，△ ，△
， ，是斜边在 轴上，斜边长分别为 2，4，6， 的等腰直角三角形．若△
的顶点坐标分别为 ， ， ，则依图中所示规律， 的横坐
标为
A． B．1010 C．1012 D．
9．（2023秋•大埔县期末）如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1次从原点运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，
按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点 的坐标是 ．
10．（2023春•商城县期末）在平面直角坐标系中，一只电子青蛙从原点 出发，按向上，
向右，向下，向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，
那么点 的坐标是 ．11．（2023春•巴东县期末）综合与实践
问题背景：
（1）已知 ， ， ， ．在平面直角坐标系中描出这几个点，并
分别找到线段 和 中点 、 ，然后写出它们的坐标，则 ， ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为 ， ， ， ，
则线段的中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点 ， ， ，第四个点
与点 、点 、点 中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，
求点 的坐标．
12．（2023春•凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点 自 处向上运动1个单位
至 ，然后向左运动2个单位至 处，再向下运动3个单位至 处，再向右运动4个
单位至 处，再向上运动5个单位至 处， 如此继续运动下去，设 ， ， ，
2，3， ．（1）依次写出 、 、 、 、 、 的值；
（2）计算 的值；
（3）计算 的值．
三．坐标确定位置（共6小题）
13．（2023秋•东明县期末）如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用 表示左
眼，用 表示右眼，那么嘴的位置可以表示成
A． B． C． D．
14．（2023秋•莱州市期末）如图，在一次活动中，位于 处的小王准备前往相距 的
处与小李会合．请你用方向和距离描述小王相对于小李的位置，其中描述正确的是
A．小王在小李的北偏东 ， 处
B．小王在小李的北偏东 ， 处
C．小王在小李的南偏西 ， 处D．小王在小李的南偏西 ， 处
15．（2023秋•中牟县期末）如图，雷达探测器测得 ， ， ， ， ， 六个目标．
按照规定的目标表示方法，目标 ， 的位置分别表示为 和 ，那么，目标
表示为 ．
16．（2023秋•武功县期末）围棋起源于中国，它蕴含着中华文化的丰富内涵，是中国文
化与文明的体现．如图，围棋盘放在某个平面直角坐标系内，黑棋①的坐标为 ，白
棋④的坐标为 ，则白棋②的坐标为 ．
17．（2023春•播州区期中）如图为某公园的平面示意图，其中 ， ，
， 为 的中点．已知儿童游乐园距离公园入口 ．
（1）用方向和距离描述卫生间和游船码头相对于公园入口的位置；
（2）用方向和距离描述公园入口相对于滑冰场的位置．18．（2023秋•大东区期末）如图，已知火车站的坐标为 ，文化馆的坐标为 ．
（1）请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场，市场，超市的坐标；
（3）已知游乐场 ，图书馆 ，公园 的坐标分别为 ， ， ，请在图中
标出 ， ， 的位置．
四．坐标与图形性质（共6小题）
19．（2023秋•江门月考）如图， 为坐标原点，点 在点 北偏西 的方向上，点
在点 南偏东 的方向上，点 在点 的东北方向上，则下列所给结论中不正确的是A． B． C． D．
20．（2023春•椒江区期末）中国象棋中“马走日字” “马”从两个小方格组成的
“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点 出发，
可到达 ， ， ， ， ， 中任意一点，若“马”从点 出发连续走了 次“日”字
后到达点 ，则 的最小值为
A．6 B．7 C．8 D．9
21．（2024•碑林区校级开学）已知点 的坐标为 ，线段 平行于 轴且 ，
则点 的坐标为 ．
22．（2024•沙坪坝区校级开学）若一个四位数的千位与百位之差、十位与个位之差均等于
2，称这个四位数是“顺2差数”，例如：四位数5342， ， 为“顺
2差数”；若四位数的百位与千位之差、个位与十位之差均等于2，称这个四位数是“逆2
差数”，例如：四位数3524， ， 为“逆2差数”．若数 ， 分
别为“顺2差数”和“逆2差数”，它们的个位数字均为4， ， 的各数位数字之和分别记为 和 ， ，若 为整数，此时 的最大值为
．
23．（2023秋•高青县期末）已知点 ，解答下列各题：
（1）若点 在 轴上，求出点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，且 轴，求出点 的坐标．
24．（2023秋•城关区期末）对于平面直角坐标系 中的点 ，若点 的坐标为
（其中 为常数，且 ，则称点 为点 的“ 属派生点”．
例如： 的“2属派生点”为 ，即 ．
（1）点 的“2属派生点” 的坐标为 ；
（2）若点 的“3属派生点” 的坐标为 ，则点 的坐标 ；
（3）若点 在 轴的正半轴上，点 的“ 属派生点”为 点，且线段 的长度为线段
长度的2倍，求 的值．
五．两点间的距离公式（共6小题）
25．（2023春•石林县期末）若点 与点 、 在同一条平行于 轴的直线上，
且 ，则 点的坐标为
A． B．
C． 或 D． 或
26．（2023春•宝塔区期末）在平面直角坐标系中，点 ， ， ，若
轴，则线段 的最小值及此时点 的坐标分别为A．6， B．10， C．1， D．3，
27．（2023春•孝义市期中）已知点 ， ，则 ， 两点间的距离为 ．
28．（2023春•西华县期中）已知平面直角坐标系内的三点： ， ，
．
（1）当直线 轴时，求 ， 两点间的距离；
（2）当直线 轴，点 在第二、四象限的角平分线上时，求点 和点 的坐标．
29．（2023春•葫芦岛期中）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，线段
平行于 轴，且 ，则 ．
30．（2023春•同江市期末）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题．
已知在平面内两点 ， ， ， ，这两点间的距离 ，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式
可简化为 或 ．
（1）已知 ， ，试求 ， 两点间的距离；
（2）已知 ， 在平行于 轴的直线上，点 的纵坐标为5，点 的纵坐标为 ，试求
， 两点间的距离．
六．坐标与图形变化-平移（共6小题）
31．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分
别为 ， ， ．
（1）将 向右平移4个单位后得到△ ，请画出△ ；
（2）请直接写出 的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写
出△ 内部所有的整点的坐标．32．（2023春•云梦县期中）在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， 和
，我们定义它们两点间的坐标距离如下：
若 ，则点 和点 的坐标距离为 ；
若 ，则点 和点 的坐标距离为 ．
已知点 ，将点 先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点 ．
（1）点 的坐标为 ， 、 两点间的坐标距离为 ；
（2） 为 轴正半轴上一点， 为 轴正半轴上一点，
①若点 与点 之间的坐标距离等于4，求点 的坐标；
②若 、 与点 之间的坐标距离均为3，求 、 两点间的坐标距离．
33．（2023秋•河口区期末）在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位长度，
再向下平移4个单位长度得到点 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
34．（2023春•播州区期中）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点
，“炮”位于点 ．则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点A． B． C． D．
35．（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 出发，按向上，
向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点 ， ， ，
， 那么点 的坐标为 ．
36．（2023秋•怀宁县期末）将点 向下平移1个单位，向左平移3个单位得
到点 ，点 恰好落在 轴上，则点 的坐标是 ．
强化训练
一、单选题
1．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·广西河池·七年级统考期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）A．华艺影城3号厅2排 B．解放路中段
C．南偏东 D．东经 ，北纬
3．（2024下·全国·七年级假期作业）第三象限的点 到 轴距离为 ，到 轴距离为 ，则
点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）若点P位于第二象限，且到x轴的距离为
3个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·全国·七年级专题练习）已知三角形 平移后得到三角形 ，且
， ， ，已知 ，则 ， 的原坐标分别为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．（2023下·七年级课时练习）已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别是（－2，1），
（2，3），（－3，－1），由三角形ABC经过平移得到的三角形顶点坐标可能是（ ）
A．（0，3），（0，1），（－1，－1） B．（－3，2），（3，2），（－4，0）
C．（1，－2），（3，2），（－1，－3）D．（－1，3），（3，5），（－2，1）
7．（2024·全国·七年级竞赛） 平移后得到 ，点 对应的点是
，则点 对应的点 、点 对应的点 的坐标分别是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023下·广西柳州·七年级鹿寨县鹿寨中学校考开学考试）小明从学校出发，步行去少
年宫（如图），行走路线正确的是（ ）．A．向西偏南 行走600米 B．向北偏东 行走600米
C．向西偏南 行走600米 D．向南偏西 行走600米
9．（2024下·全国·七年级专题练习）下列表述中能确定准确位置的是（ ）
A．教室第 列 B．辽宁大剧院第 排
C．北偏东 D．东经 ，北纬
10．（2021下·七年级课时练习）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若 得到的数
为1， 得到的数为3，则 得到的数为（ ）．
A．8 B． C．2 D．
二、填空题
11．（2024下·全国·七年级课堂例题）将点 向右平移若干个单位长度后得
到点 ，则m的值为 ．
12．（2023下·广东清远·七年级校考期中）已经点 在 轴上，那么 ，
则 点的坐标为 ．
13．（2024下·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考开学考试）点 在第四象限，
且点 到 轴的距离为3，到 轴的距离为5，则点 的坐标为 ．
14．（2022下·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐八一中学校考期中）将点 先向上平移3个
单位，再向左平移2个单位，得到点 ，则点 的坐标是15．（2024下·全国·七年级假期作业）在平面直角坐标系内， 满足 ， ，
那么有序实数对 共有 个．
16．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点 向上平移2
个单位长度得到点 ，则点 的坐标是 ．
17．（2023下·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）小刚在小明的北偏东 方向的 处，
则小明在小刚的 ．（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）
18．（2023下·七年级课时练习）从小丽家乘车出发，向南行驶3000米，再向西行驶2000
米到公园；从小刚家乘车出发，向南行驶2000米，再向西行驶1000米也到该公园，那么
小丽家在小刚家的 方向上．
三、解答题
19．（2023下·贵州黔西·七年级校考期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为
．
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．
20．（2023下·河南信阳·七年级统考期中）在正方形网格中建立平面直角坐标系 ，使
得A，B两点的坐标分别为 ， ，过点B作 轴于点C．(1)按照要求画出平面直角坐标系 ，线段 ，写出点C的坐标 ；
(2)直接写出以A，B，C为顶点的三角形的面积 ；
(3)若线段 是由线段 平移得到的，点A的对应点是C，画出线段 ，写出一种由线
段 得到线段 的过程．
21．（2023下·新疆阿勒泰·七年级校考期中）如图是某学校的平面示意图，在8×8的正方
形网格中，如果校门所在位置的坐标为 ，教学楼所在位置的坐标为
(1)请画出符合题意的平面直角坐标系；
(2)在（1）的平面直角坐标系内表示下列位置的坐标：
旗杆_____________；体育馆_____________；
图书馆___________；实验楼_____________．
22．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，若点 表示放置2个胡萝卜，1棵青
菜；点 表示放置4个胡萝卜，2棵青菜．(1)请写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；
(2)若一只小兔子从A到达B（顺着方格线走）有以下几种路径可选择：
①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B．
问：走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的青菜最多？
23．（2024下·全国·七年级专题练习）如图所示， 、点B在y轴上，将三角形
沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形 ，且点C的坐标为 ．
(1)直接写出点E的坐标 ___________；
(2)在四边形 中，点P从点B出发，沿“ ”移动．若点P的速度为每秒1
个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当 ____秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当 时，设 ， ， ，试问x，y，z之间的数量关系
能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．
24．（2023下·福建莆田·七年级统考期末）七（1）班同学到绶溪公园开展劳动实践活动，
李想和陈臻根据景区示意图描述延寿桥的位置，图中小正方形的边长表示 ．
李想：“延寿桥在森林秘境西北方向约 处．”
陈臻：“我通过建立平面直角坐标系，得到延寿桥的坐标是 ．(1)根据信息画出平面直角坐标系；并用方位和距离描述山地公园相对于森林秘境的位置．
(2)写出公园内状元码头、绶溪水街的坐标．
25．（2024下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）在平面直角
坐标系中，对于点 ，若点 的坐标为 ，其中 为常数，则称点 是点
的“ 倍相关点”．
例如，点 的 “3倍相关点” 的横坐标为： ，纵坐标为： ，
所以点 的 “3倍相关点” 的坐标为 ．
(1)已知点 的 “ 倍相关点”是点 ，求 的值；
(2)已知点 的 “ 倍相关点”是点 ，且点 在 轴上，求点 到 轴的距离．
26．（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、 ，且a，b满足： ，现同时将点A，B分别向下平移4个
单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接 ．
(1)求C，D两点的坐标及四边形 的面积；
(2)点P是线段 上的一个动点，连接 ，当点P在 上移动时（不与B，D重合），
的值是否发生变化，并说明理由；
(3)已知点M在y轴上，且点D在 的外部，连接 ，若 的面积与四边
形 的面积相等，求点M的坐标．
