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第 05 讲 因式分解法
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元
二次方程。
①用因式分解法解一元二次方程
2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。
②整体法（换元法）解方程
3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择
合适的方法解方程。
知识点01 因式分解解一元二次方程
1. 因式分解解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，在使两个一次式分别等
于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 ，则A＝ ，B＝ 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；
完全平方公式： ；③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练1】
1．因式分解：2a2b+6ab2＝ ．
2．分解因式：9a2﹣16b2＝ ．
3．分解因式4x2﹣4x+1＝ ．
4．分解因式：x2+x﹣12＝ ．
【即学即练2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
6．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
知识点02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【例】解方程 ．
解：设 ，则原方程可化为 ．解得 ．
当y=1时，即x-1=1，解得x=2；
当y=4时，即x-1=4，解得x=5．
所以原方程的解为x =2，x =5．
1 2
【即学即练1】
7．提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y ＝4，
1
y ＝﹣1（不符合要求，舍去）．
2
当y ＝4时，x2＝4，x＝±2．
1
∴原方程的解为x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
题型01 利用因式分解法解一元二次方程
【典例1】一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x ＝3，x ＝1 B．x ＝2，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣2 D．x ＝﹣2，x ＝﹣1
1 2 1 2
【变式1】一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝5 B．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣5 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 2
【变式2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣1
1 2 1 2【变式3】解方程
（1） ； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）．
【变式4】解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2．
题型02 用整体法（换元法）解方程
【典例1】已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝
1 2
0，它的解是（ ）
A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
【变式1】已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1
﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为 x ＝1，x ＝4，则关于 y 的一元二次方程
1 2
的解为 ．
【变式3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2
﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．①
解得y ＝1，y ＝4
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝± ；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ．
∴原方程的解为x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2 3 4
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了
的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0．
【变式4】阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则
（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t ＝﹣2，t ＝3．当t ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；
1 2 1
当t ＝3时，x2＝3，解得 ；∴原方程的解为 ；
2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝ ，原方程化
为 ，解得t＝ ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解．
题型03 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【变式1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2【变式2】若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 ．
【变式3】若实数x满足2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则x2﹣x+1＝ ．
【变式4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则a+b+4＝ ．
题型04 解含有绝对值的方程
【典例1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x ＝5，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x ＝﹣5，x ＝2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【变式1】阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1（舍去）．
3 4
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
题型05 用合适的方法解一元二次方程
【典例1】用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0．【变式1】解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0．
【变式2】解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）．
【变式3】解一元二次方程：
（1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9．
1．方程x2﹣8x＝0的解是（ ）
A．x ＝0 x ＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解
1 2
2．已知一元二次方程的两根分别为x ＝3，x ＝﹣4；则这个方程为（ ）
1 2
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝03．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
4．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以（x﹣1）得 整理得x2﹣4x＝﹣3 整理得x2﹣4x＝﹣3， 移项得x（x﹣1）﹣3（x
x＝3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣ 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ﹣1）＝0，
3， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝
∴b2﹣4ac＝28，
∴x﹣2＝±1，
0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝1，x ＝3
1 2
∴x＝ ＝2± ∴x ＝1，x ＝3
1 2
，
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣
1 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
6．对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的
解是（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣1
C．x ＝﹣1，x ＝4 D．x ＝1，x ＝﹣4
1 2 1 2
7．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13
8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣2或1
10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为
例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为
（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，
它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方
程 x2﹣4x﹣21＝0 时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S 正确的是（ ）
A． S＝21+4＝25
B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25
D． S＝21﹣4＝17
11．如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝ ．
12．若实数x满足 ，则 ＝ ．
13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形
的面积是 ．
14．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣
3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 ．
16．选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；（3）2x2﹣2 x﹣5＝0（公式法）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
（1）化简T；
（2）若a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根，求T的值．
18．已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．
下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形：
变形 m n p
x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4
（x﹣4）2＝12 4 4 12
（x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3
（x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13（1）依据表格解答：
①求表格中t的值．
②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系；
（2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 和（x﹣m ）（x﹣n ）＝p （p ≠p ），求
1 1 1 2 2 2 1 2
的值．
19．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y ＝1，y ＝2．
1 2
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．∴原方程的解是：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程： ﹣ ＝1．
（3）若实数x满足x2+ ﹣3x﹣ ＝2，求x+ 的值．
20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图 1可以得到
（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题：
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，
∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，
∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【类比应用】
（1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 2 0 ；
（2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值；
【迁移应用】
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一
直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC +S△BOD ＝54，则一块三角板的面积为 2 2 ．
