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4.2 提公因式法
课堂知识梳理
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因
1.提公因式法：
式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式..如:
ab+ac=a(b+c)
2、找公因式的方法：（1）各项数字的最大公因数，（2）各项相同字母的
最低次数
3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干
净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．把多项式−6x2−9x分解因式，结果正确的是（ ）
A．−3(2x2+3x) B．−3(2x2−3x) C．−3x(2x−3) D．−3x(2x+3)
2．（把−6x3y2−3x2y2+8x2y3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．−3x2y2 B．−2x2y2 C．−6x2y2 D．−x2y2
3．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（ ）
A．100 B．120 C．48 D．140
4．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．ax−bx与by−ay B．ab−ac与ab−bc
C．6xy−8x2y与−4x+3 D．(a−b) 3 与(b−a)2y
5．分解因式b2(x−2)+b(2−x)正确的结果是（ ）
A．(x−2)(b2+b) B．b(x−2)(b+1) C．(x−2)(b2−b) D．b(x−2)(b−1)
6．在因式分解练习时，小颖做了4道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）
A．x2−y2=(x−y)(x+ y) B．x2−4xy+4 y2=(x−2y) 2
C．x2y−2x y2=xy(x−2y) D．x2−x=x(x2−1)
17．已知d=x4−2x3+x2−8x+11，则当x2−2x−3=0时，d的值为（ ）．
A．25 B．24 C．23 D．22
8．分解因式6x2y3+15x y2z的结果是______．
9．因式分解：(x+3) 2−(x+3)=_________.
10．计算(1+√3) 2018 −2(1+√3) 2017 −2(1+√3) 2016=______________．
11．已知x+ y=3，xy=−4，则x2y+x y2的值是 _____．
12．把下列多项式因式分解：
(1)x2−xy+x；
(2)m2n−mn2+mn；
(3)9x3y3−21x3y2+12x2y2；
(4)x2(x−y)+ y2(x−y)．
13．先化简再求值：2x(x+ y)−(x+ y)(x−y)，其中x=2,y=−1．
1
14．先化简再求值：a(a−b) 2−b(b−a) 2，其中a=2，b= ．
2
15．利用因式分解计算：2015+20152−2015×2016
16．通过计算说明255+511能被30整除．
培优第二阶——拓展培优练
17．把−a(x−y)−b(y−x)+c(x−y)分解因式，正确的是（ ）
2A．(x−y)(−a−b+c) B．−(x−y)(a−b−c)
C．−(x−y)(a−b+c) D．−(x−y)(a+b−c)
18．单项式8xmyn−1与12x5myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn−1 C．4xmyn D．4xmyn−1
19．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（ ）
A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300
B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1
C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601
D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601
20．已知m2+m−1=0，那么代数式m3+2m2−2001的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
b| 2|
21．对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定¿ =ad−bc ,如¿ =1×4−2×3=−2．求
d 4
|(a+c)(b−a) 2|
的值为（ ）
(a−c)(a−b) 2
A．2c(a−b) 2 B．2a(a−b) 2 C．(a−c)(a−b) D．(a−c)(a+c)
22．分解因式：(x−5)(3x−2)−3(x−5)=___________
23．若4n+1−22n=48，则n的值为_____________．
24．若m2+m−1=0，则m3+2m2+2021=________．
25．已知：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2= (1+x)⋅[1+x+x(1+x)]= (1+x)⋅¿，因式分解
1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+⋅⋅⋅+x(x+1) 2022，结果为_______________．
26．阅读材料：若x3+2x2−2x+m(m为常数)有一个因式为(x−1)，则如何因式分解
x3+2x2−2x+m？
解：因为x3+2x2−2x+m有一个因式为(x−1)，所以当x−1=0时，x3+2x2−2x+m=0，
于是把x=1代入x3+2x2−2x+m=0得1+2−2+m=0，解得m=−1，原代数式变为
x3+2x2−2x−1，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则
因式分解x3+2x2−2x−1=(x−1)(x2+3x+1)
3若x3+4x2+mx+2(m为常数)有一个因式为(x+2)，则因式分解x3+4x2+mx+2=______．
27．先化简，再求值：2 (5 m2n−3mn2) −(m2n−2mn2)，其中m= 1 ，n=−1．
2 2
28．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2−2ab+b2=ac−bc，试判断△ABC的形状，并
说明理由．
29．在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那
么这个数就一定能够被3整除
(1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除；
(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被
3整除的四位数“1326”试着进行推理：
1326=1000×1+100×3+10×2+1×6
=(999+1)×1+(99+1)×3+(9+1)×2+6
=999×1+99×3+9×2+(1+3+2+6)
∵“3(333×1+33×3+3×2)”能被3整除，
∴当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整
除．
现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你
借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的
第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位
与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上
的数字相加．请证明，若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除．
4培优第三阶——中考沙场点兵
30．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
31．（2022·江苏镇江·统考中考真题）分解因式：3x+6=_________．
32．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：3a2−21ab=________
33．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知ab=2，a+b=3，则a2b+ab2的值为_____．
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