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第四章 图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习） 和 符合下列条件，其中使 与 不相似的是
（ ）
A． ， ，
B． ， ， ， ， ，
C． ， ， ， ，
D． ， ， ， ， ，
【答案】D
【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可．
【详解】解：A、∵ , ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故此选项不符合题意；
B、∵ ， ， ， ， ， ，
∴
∴ ，故此选项不符合题意；
C、∵ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，故此选项不符合题意；
D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角
形的判定条件．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 是 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.
【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相
似这一定理．
3．（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题
（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B，则△ABC≌△A1B1C1；
1
（3）若∠A=∠A，∠C=∠C ，则△ABC∽△A1B1C1；
1 1
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C ，则△ABC∽△A1B1C1．
1
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．
【详解】解：（1）若AB＝AB，AC＝AC ，∠A＝∠A，能用SAS定理判定△ABC≌△ABC ，故（1）
1 1 1 1 1 1 1 1
正确；
（2）若AB＝AB，AC＝AC ，∠B＝∠B，不能用ASS判定△ABC≌△ABC ，故（2）错误；
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）若∠A＝∠A，∠C＝∠C ，能判定△ABC∽△ABC ，故（3）正确；
1 1 1 1 1
（4）若AC：AC ＝CB：C B，∠C＝∠C ，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定
1 1 1 1 1△ABC∽△ABC ，故（4）正确．
1 1 1
正确的个数有3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．
4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学八年级期中）如图，在 中，点P在边AB上，则在下列四个条件
中： ； ； ； ，能满足 与 相
似的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.
【详解】当 ， ，
所以 ∽ ,故条件①能判定相似，符合题意；
当 ， ，
所以 ∽ ，故条件②能判定相似，符合题意；
当 ，
即AC： ：AC，
因为
所以 ∽ ，故条件③能判定相似，符合题意；
当 ，即PC： ：AB，
而 ，
所以条件④不能判断 和 相似，不符合题意；
①②③能判定相似，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.
5．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.
【详解】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;
B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;
D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角
形相似，故本选项正确.
故本题选D.
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理
判断是否满足判定条件是解决本题的关键.
6．（2022·河北唐山·九年级期末）图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似
判断即可．
【详解】由勾股定理得：AC ，BC=2，AB ，∴AC：BC：AB=1： ．
A．三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B．三边之比：1： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C．三边之比为 ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D．三边之比为2： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
二、填空题
7．（ΔABC与△DEF中， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，则△DEF 与△ABC________
【答案】相似
【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可.
【详解】∵ ， ，
∴∠C=180°-65°-42°=73°.
∵ ， ，
∴∠A=∠D, ∠C=∠F,
∴△DEF 与△ABC相似.
故答案为相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的
两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形
与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定
即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.
8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知， ， ， ，要使
，只要 ________．
【答案】
【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.
【详解】解: ∠ACB= ,AC=4,BC=3,
,
要使 ,有 ,, ,
故答案为:
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形.
9．如图所示，D，E分别在 ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足________条件时，有
ABC∽△AED． △
△
【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 =
【分析】由于∠D≠∠B，∠DAE＝∠CAB，则∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，可根据有两组角对应相等的两
个三角形相似判定△ABC∽△AED；当 时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似判定△ABC∽△AED．
【详解】∵DE与BC不平行，∴∠D≠∠B，而∠DAE＝∠CAB，∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，
△ABC∽△AED．
当 时，△ABC∽△AED．
故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹
角对应相等的两个三角形相似．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ， ゜， ， ．当 ________，
________时， ．
【答案】 ,【分析】根据相似三角形的判定方法得到当 ，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′，然后把AB＝
8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3代入计算即可．
【详解】当 ，∠A＝∠A′时，△ABC∽△A′B′C′．
∵AB＝8，∠A＝50゜，A′B′＝4，A′C′＝3，∴∠A′＝50°， ，∴AC＝6．
故答案为6，50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在 ABC和 A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：
ABC∽△A′B′C′． △ △
△
【答案】证明见解析
【分析】在 ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；
再证△ADE≌△△A′B′C′即可．
【详解】证明：在 ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE=∠B，△△ADE∽△ABC．
∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′，
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．12．（2021·全国·九年级课时练习）已知：如图，在 和 中， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】在 的边 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 的平行线，交直线 于点
E，容易证得 ，然后证明 后即可得到 ．
【详解】证明：在 的边 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 的平行线，交直线
于点E，则 ，
∴ （两角分别相等的两个三角形相似）．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
而 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，是教材上常见的定理的证明，熟读教材是解题的关键．
提升篇一、填空题
1．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学九年级阶段练习） 中， ， ，点 在 上，
且 ，若要在 上找一个点 ，使 与 相似，则 __．
【答案】5或
【分析】分两种情况讨论，由 是公共角，当 ，即 时， ，当 ，
即 时， ，可求 的值．
【详解】 是公共角，
当 ，即 时，
解得：
当 ，即 时，
解得：
故答案为5或
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意分类讨论思想的应用．
2．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝
70°，则当∠F＝_____时，△ABC∽△DEF．
【答案】76°
【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．
【详解】∵△ABC和 DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A=70°时，∠B=34°，
∠D=70°， △
∴∠B=∠E=34°，
∴∠C=∠F=76°，
故答案为76°
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在 中，点 在 上， 交于点 ，若
，且 ，则 _________．【答案】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定 BEF∽△DCF，根据相似
三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解． △
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE：BE=4：3，
∴BE：AB=3：7，
∴BE：CD=3：7．
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴BF：DF=BE：CD=3：7，
即2：DF=3：7，
∴DF= ．
故答案为 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题
意判定 BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．
4．如图△，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；
③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有______________.
【答案】①②③
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对
应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】①、当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；
②、当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；
③、当AC2=AP•AB，
即AC：AB=AP：AC，
∵∠A=∠A
∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；
④、∵当AB•CP=AP•CB，即PC：BC=AP：AB，
而∠PAC=∠CAB，
∴不能判断 APC和 ACB相似，∴④不符合题意；
故答案为①△②③． △
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组
角对应相等的两个三角形相似．
5．如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，
点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则
_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
【答案】0.8或2
【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与
AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm．
∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论：
①BP与BC边是对应边，则 = ，即 = ，解得：x=0.8；②BP与AB边是对应边，则 = ，即 = ，解得：x=2．
综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为0.8或2．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分
情况讨论，避免漏解而导致出错．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ，求证： 与 相似.
【答案】证明见解析
【分析】两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角
相等，从而知道 ABC与 ADE相似．
【详解】∵∠1=△∠2， △
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
又∵在 AHE和 DHC中，∠2=∠3，∠AHE=∠DHC
△ △
∴∠C=∠E，
在 ABC和 ADE中
∵△∠E=∠C，△
∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．
7．（2022·甘肃酒泉·九年级期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向
点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点
A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【答案】经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【分析】首先设经x秒钟 PBQ与 ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣
△ △
2x）cm，又由∠B是公共角，分别从 与 分析，即可求得答案．
【详解】解：设经x秒钟 PBQ与 ABC相似，
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm△， △
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当 ，即 时， PBQ∽△ABC，
△
解得：x＝2；
②当 ，即 时， QBP∽△ABC，
△
解得：x＝0.8，
∴经2或0.8秒钟 PBQ与 ABC相似．
【点睛】此题考查△了相似三△角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类
讨论思想与方程思想的应用．
8．如图已知，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE交CD于点O，求证：△ABE∽△OCE.
【答案】证明见解析.【分析】要证明△ABE∽△OCE，需先找对证明两三角形相似的条件，根据已知条件找出即可证明.
【详解】 CD⊥AB，BE⊥AC，
∠AEB＝∠ADC＝90°.
又∠A＝∠A，
∠ABE＝∠OCE.
又 ∠AEB＝∠OEC，
ABE∽△OCE.
【△点睛】此题重点考察学生对证明两三角形相似的理解，熟练两三角形相似的证明方法是解题的关键.
