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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）把 因式分解时，应提取的公因
式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公因式的概念（多项式各项都含有的相同因式），即可求解．
【详解】由题意得应该提取的公因式是：
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解中公因式的概念，解题的关键是掌握公因式的概念．
2．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式 的公因式是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定
各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各
项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
3．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知 ，则当 时， 的值为
（ ）．A．25 B．24 C．23 D．22
【答案】C
【分析】先把 变形，再整体代入求值．
【详解】∵ ，
∴ ，
，
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式变形时解题的关键．
4．（2021春·四川成都·八年级校考期中）多项式 中，各项的公因式是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察多项式的数字因数，字母，根据一个因式能同时整除几个多项式，这个因式叫做这几个多项
式的公因式，即可求解．
【详解】解： 各项的公因式是 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查公因式的概念，掌握多项式中各项都含有相同的数字因数，相同的字母，相同字母
的指数也相同是解题的关键．
5．（2023春·七年级课时练习）多项式 进行因式分解，公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据公因式的定义：多项式 中，各项都含有一个公共的因式 ，因式 叫做这个
多项式各项的公因式进行解答即可．
【详解】解：多项式 进行因式分解，公因式是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是公因式，掌握其定义是解决此题的关键．
6．（2023春·七年级课时练习）下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用公因式的定义逐一分析得出答案．
【详解】解：A． ，没有公因式，故此选项不符合题意；
B． 有公因式 ， ，故此选项符合题意；
C． ，没有公因式，故此选项不符合题意；
D． ，没有公因式，故此选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了公因式的含义，提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市天河中学校考期末）已知 ， ，则 的值是
________．
【答案】
【分析】对式子进行因式分解，再整体代入求解即可．
【详解】解： ，
将 ， 代入可得，原式 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解．
8．（2022秋·北京·八年级清华附中校考期末）在多项式 中，各项的公因式是______．
【答案】
【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．
【详解】解：多项式 中，各项的公因式是 ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母
的最小指数，是解题的关键．
9．（2022秋·上海黄浦·七年级统考期中）分解因式： _____________________．
【答案】
【分析】直接提取公因式 ，进而分解因式得出答案．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）多项式 因式分解时应提取的公因式为______．
【答案】
【分析】根据公因式取系数最大公约数，相同字母的最低次项相乘即可求解．
【详解】解：多项式 因式分解时应提取的公因式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了确定公因式，解题关键是明确公因式的确定方法．
三、解答题
11．（2022秋·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
(1)5xy－10x；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式5x即可；（2）直接提取公因式 即可．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
12．（2022秋·八年级课时练习）先因式分解，再计算求值：
（1） ，其中 ；
（2） ，其中 ．
【答案】（1） ，6；（2） ．
【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值；
（2）先利用提取公因式法分解因式，再代入求值．
【详解】解：（1）原式＝ ，
把 代入，得：原式＝ ＝6，
（2）原式＝ ，
把 代入，得：原式＝ ．
【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法是关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·山东日照·八年级统考期末）已知 ，则多项式 的值为
__________．
【答案】0
【分析】先进行因式分解，再代值计算即可．【详解】解：
；
当 时，原式 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握分组法进行因式分解，整体思想代入求值，是解题的关键．
2．（2021春·安徽马鞍山·七年级校考期中）若 ，则 的值为_____________．
【答案】2
【分析】利用幂的乘方与积的乘方进行计算，得出关于 的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
3．（2022秋·上海普陀·七年级统考期中）如果 ，那么 的值是______．
【答案】
【分析】首先需要先将 变形为 ，
经过提公因式得到 ，将 整体代入即可．
【详解】解：将 代入，得到 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，寻找公因式 是解题的关键．
4．（2022·河北保定·统考二模）已知 ， ．
（1）则 ______．
（2） ______．
【答案】 24 28
【分析】根据提公因式进行因式分解及完全平方公式变形．然后整体代入即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ．
∴ ，
，
故答案为：（1）24；（2）28；
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，熟记公式结构以及公式的变形对解题比较有用．
5．（2022春·湖南岳阳·七年级校考期中）已知：
，因式分解 ，结果为
_______________．
【答案】
【分析】将 提出一个 ，再将
提出一个 ，继续提出一个 ，以此类推，直到原
式变为 ，再化简即可．【详解】解：
…
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将
多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．
二、解答题
6．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期末）（1）因式分解： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】（1） ；
（2） ，
【分析】（1）根据提公因式法求解即可；
（2）先去括号，再合并同类项进行化简，最后把 ， 代入求解即可．
【详解】解：（1）；
（2）
；
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解和整式的化简求值，熟练掌握提公因式法和整式的运算法则是解题的关键．
7．（2021春·四川成都·七年级校考期中）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)1
(2)10
【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后相减即可求出；
（2）利用完全平方公式展开，然后相加求出 的值，进而可得答案．
【详解】（1）解： ①，
②，
由 得： ，
∴ ；
（2）解： ①，
②，由 得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，因式分解的应用，学生们熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．（2022秋·贵州遵义·八年级校考期中）阅读下列材料．
形如 型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一
次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可；
（2）令 仿照材料进行因式分解得 ，再将 代回可得 ，同
理对 进行因式分解即可．【详解】（1）解：
（2）令 ，则可得
，
再将 代回，得：
同理： ，
即：
【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键．
