文档内容
*4.5 相似三角形判定定理的证明
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
一、情景导入
相似三角形的判定方法有哪些？
答：（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似.
怎样证明这些结论呢？
二、合作探究
探究点：相似三角形的判定定理
【类型一】 根据条件判定三角形相似
如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝
AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组
对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分
别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组
对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其
夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.
方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要
注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.
第 1 页 共 3 页【类型二】 探索三角形相似的条件
如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.
（1）若AB＝9，CD＝4，BD＝10，请问在BD上是否存在点P，使以P、A、B三点为顶点的
三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB＝9，CD＝4，BD＝12，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点
的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB＝9，CD＝4，BD＝15，请问在BD上存在多少个点P，使以P、A、B三点为顶点
的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶
点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P？两个点P？三个点P？
解：（1）设BP＝x，则DP＝10－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，此时方程无解.
综上，存在这样的点P，此时BP＝；
（2）设BP＝x，则DP＝12－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝6.
综上所述，存在两个这样的点P，此时BP＝6或；
（3）设BP＝x，则DP＝15－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，解得x＝3或
12.
综上所述，存在三个这样的点，此时BP＝，3或12；
（4）设BP＝x，则DP＝l－x.
若△ABP∽△CDP，则＝，即＝，解得x＝；若△ABP∽△PDC，则＝，即＝，得方程x2－lx
＋mn＝0，Δ＝l2－4mn.
当Δ＝l2－4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三
角形相似的一个点P；
当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三
角形相似的两个点P；
当Δ＝l2－4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三
角形相似的三个点P.
方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.
三、板书设计
相似三角形判定定理的证明
本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度
第 2 页 共 3 页分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培
养学生的探索精神和合作意识.
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