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第 04 讲 解题技巧专题：确定一次函数的表达式(6 类热点题型
讲练)
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【类型一 已知一点求正比例函数的表达式】................................................................................................1
【类型二 已知一点求一次函数中K值或b值】.............................................................................................2
【类型三 已知两点求一次函数的表达式】....................................................................................................4
【类型四 已知两直线平行，求直线的表达式】............................................................................................6
【类型五 两直线平移，求直线的表达式】....................................................................................................9
【类型六 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】................................................................10
【过关检测】....................................................................................................................................................13
【类型一 已知一点求正比例函数的表达式】
例题：（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）已知y与x成正比例，且当 时， ，则y与x的函
数表达式是______.
【答案】
【分析】设y与x的函数关系式是 ，再根据当 时， ，即可根据待定系数法求得结果．
【详解】解：设y与x的函数关系式是设 ，
当 时，
，
与x的函数关系式是 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了正比例函数的解析式，解题的关键是求出k的值．
【变式训练】
1．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）一个正比例函数的图象过点 ，它的表达式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【分析】设正比例函数为 ，将点 代入求解即可．
【详解】解：设正比例函数为 ，将点 代入得 ，
解得： ，即 ，
故选A
【点睛】此题考查了待定系数法求解正比例函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法的应用．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）已知正比例函数 的图像过点 ．
(1)求这个正比例函数的表达式；
(2)已知点 在这个正比例函数的图像上，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）把点A代入解析式，即可求出a的值．
【详解】（1）把点 代入 ，解得 ，
∴正比例函数的解析式为： ；
（2）把点 代入 ，则
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握正比例函数的定义，熟练运用待定
系数法求解析式．
【类型二 已知一点求一次函数中K值或b值】
例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若点 在一次函数 （
）的图象上，则 的值是______．
【答案】1
【分析】把 代入 求解即可．
【详解】把 代入 ，得
，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解
析式是解答此题的关键．
【变式训练】1．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知一次函数 ，当 时， ．求该函数的表达式，
并判断点 是否在该函数的图象上．
【答案】 ，不在
【分析】只需要将x、y的值代入函数解析式即可求出k的值，得到表达式，再将 代入表达式中，求
出y值，即可判断点是否在函数图像上．
【详解】解：将 ， 代入一次函数解析式，得 ，
解得 ，
所以一次函数的解析式为 ，
将 代入 ，可得 ，
所以点 不在该函数的图像上．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程
或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐
标特征．
2．（2022春·北京昌平·八年级校联考期中）已知关于x的一次函数表达式是y=(1-3k)x+2k-1．
(1)当k为何值时，函数图象过原点？
(2)若y随x的增大而增大，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象过原点，因此将原点坐标(0，0)代入，可得一元一次
方程2k- 1 = 0，解方程即可求出k的值；
（2）由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象中y随x的增大而增大，根据一次函数的性质及一次函数的定
义，可列出关于k的不等式1 - 3k > 0，求出k的取值范围即可．
(1)
解：由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象过原点，
∴将点(0，0)代入函数解析式得2k-1=0，
解得 ；
(2)
解：由题意知，函数y=(1-3k)x+2k-1的图象中y随x的增大而增大，
∴1-3k>0，
解得 ．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义和性质及不等式的性质，掌握一次函数的定义和性质是解题的关
键．
【类型三 已知两点求一次函数的表达式】
例题：（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图像经过点 和 ，求
该一次凾数的表达式．
【答案】一次凾数的表达式为
【分析】将点 和 代入一次函数 中，得 ，进行计算即可得．
【详解】解：将点 和 代入一次函数 中，得
解方程组得 ，
∴一次凾数的表达式为： ．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽池州·八年级统考期末）已知一次函数 的图象经过点 和 ．
(1)求k，b的值；
(2)若 ，求函数y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）得一次函数表达式为 ，求出 时y的值，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，
解得 ；
（2）由（1）得一次函数表达式为 ，
当 时， ，
∵ ，∴y随x增大而减小，
∴当 时， ．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，正确掌握一次函数的基础知识
是解题的关键．
2．（2023秋·山东淄博·七年级校考期末）在直角坐标系内，一次函数 的图象经过三点
．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值；
(3)求一次函数 与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）把A、B的坐标代入函数解析式，求出k、b即可；
（2）把 代入函数解析式可得m的值；
（3）求出 与两坐标轴的交点，根据面积公式求得即可．
【详解】（1）解：把 代入 中得：
，
解得： ，
∴这个一次函数解析式为： ；
（2）解：把 代入： 中得： ，
∴ ；
（3）解：当 时， ，
∴与y轴的交点坐标 ，
当 时， ，
∴与x轴的交点坐标 ，
∴两坐标轴所围成的三角形的面积 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
3．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知一次函数 的图象经过点
和点 ，且点B在正比例函数 的图象上．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的表达式
(3)若 ， 是此一次函数图象上两点，试比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把B点坐标代入正比例函数解析式即可求出a的值；
（2）把点A和B点坐标分别代入 得到关于k和b的方程组，然后解方程组求出k和b，从而得到
一次函数解析式；
（3）根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵点 在正比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由(1)可得点B的坐标为 ，将 和 代入 中，
得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关
键．
【类型四 已知两直线平行，求直线的表达式】
例题：（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线 平行，且过点 ，则此一
次函数的解析式是______．
【答案】 ##【分析】设一次函数的解析式是 ，根据两直线平行求出 ，把点的坐标代入函数解析式，
求出b即可．
【详解】解：设一次函数的解析式是 ，
∵一次函数图象与直线 平行，
∴ ，
即 ，
∵一次函数的图象过点 ，
∴代入得： ，
解得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题
的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级单元测试）已知一次函数的图象与直线 平行，且过点 ，那么一次函数的
表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为 ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线 平行，
∴可设一次函数解析式为： ．
将点 代入 ，得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为： ．
故选B．
【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定
系数法求解析式．
2．（2023·天津和平·统考一模）已知直线 （ ， 为常数， ）与直线 平行，且与直线
交于 轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________．
【答案】【分析】根据直线 与直线 平行得到 的值；再根据与直线 交于 轴的同一点得到
的值，进而得出函数的表达式．
【详解】解：∵直线 （ ， 为常数， ）与直线 平行，
∴ ，
∵直线 与 轴的交点坐标为 ，且直线 与直线 交于 轴的同一点，
∴直线 （ ， 为常数， ）与 轴的交点坐标为 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与 轴
的交点问题，熟知两直线平行则 相等是解题的关键．
3．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(－2，4)，且与正比例函数
y＝2x的图像平行．
(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)求一次函数y＝kx＋b的图像与坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据两个函数的图像平行可得 ，再将点 代入 即可得；
（2）先分别求出一次函数 与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解： 一次函数 的图像与正比例函数 的图像平行，
，
一次函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则一次函数的解析式为 ．
（2）解：画出一次函数 的图像如下：当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 ，
则一次函数 的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
【类型五 两直线平移，求直线的表达式】
例题：（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）将一次函数 的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所
得直线对应的函数表达式为______．
【答案】
【分析】根据函数图象的平移法则求解即可．
【详解】解：∵把一次函数 的图象沿 轴向上平移 个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为： ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟记法则是解题关键．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级校考期中）一次函数 的图象向上平移7个单位后所得直线的解析
式为______．
【答案】
【分析】根据一次函数的平移规律：上加下减可得出平移后的直线解析式．
【详解】解；一次函数 的图象向上平移7个单位后所得直线的解析式为 ，
故答案为； ．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题
的关键．
2．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数 的图象平移后经过点 ．
(1)求平移后的函数表达式；
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为 ，将点 ，待定系数法求解析式
即可求解；
（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为 ，将点 ，代入得，
，
解得： ，
∴平移后的函数表达式为： ；
（2）解：由 ，令 ，解得 ，
令 ，解得： ，
如图，设一次函数 ，分别与坐标轴交于点 ，
则
∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，
根据平移求得解析式是解题的关键．
【类型六 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考阶段练习）已知 与 成正比例，且当
时， ，
(1)求 与 的函数关系式；
(2)求当 时的函数值：
(3)如果 的取值范围是 ，求 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设 ，把 ， ，代入可得关于 的方程，解方程即可；
（2）把 代入函数解析式即可求解；
（3）根据 的取值范围，结合一次函数解析式，利用等量代换可得关于 的不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设 ，
时， ，
，
解得 ，
与 的函数关系式 ；
（2）解：将 代入 ，
得 ；
（3）解： 的取值范围是 ，
，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，求一次函数自变量的取值
范围，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江西景德镇·八年级统考期末）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)当 时，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，把 时， 代入解析式确定k值即可．
（2）根据解析式，代入计算即可．
【详解】（1）解：设 ，
将 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
即 ；
（2）解：把 代入 得： ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法和准确进行计算是解题的关
键．
2．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）已知 与 成正比例，且当 时
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)当该直线向左平移 个单位，则平移后直线的解析式为______【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设 ，将 ， 代入即可求解；
（2）根据一次函数平移的规律即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设 ，将 ， 代入得
解得： ，
∴解析式为
（2）将 向左平移 个单位，则平移后直线的解析式为： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解
本题的关键．
3．（2023·全国·八年级专题练习）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)写出y与x之间的函数表达式；（化成 的形式）
(2)当 时，求y的值；
(3)若 时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据成正比例的定义，设 ，把 时， 代入求出k的值即可；
（2）把 代入（1）中的表达式即可；
（3）把 代入（1）中的表达式即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
设 ，
把 时， 代入得： ，
解得： ，则 ，
整理得 ；
（2）把 代入 中，得 ；
（3）把 代入 中，得 ，解得： ．
【点睛】本题主要考查了成正比例的定义，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
【过关检测】
1．（2023春·天津红桥·八年级统考期末）将一次函数 的图象沿 轴向上平移4个单位长度，所
得直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
【详解】∵一次函数 的图象沿 轴向上平移4个单位长度，
∴所得直线的解析式为 ．
故选C．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
2．（2023春·吉林·八年级统考期末）若函数 的图象平行于直线 .
(1)求函数解析式；
(2)将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点的横坐标为____．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据两直线平行的问题，得到 ，求出m，即可得解；
（2）根据平移规则，上加下减，得到平移后的解析式，继而得解；
【详解】（1）∵函数 的图像平行于直线
∴ ，
解得∴所求函数解析式为
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的解析式为： ，
即 ，
令 ，得 ，
解得： ，
故平移后的图象与x轴的交点的横坐标为
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征：一次函数图像与几何变换，也考查了一次函数的性质以及
两直线平行的问题．
3．（2023·上海·八年级假期作业）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)已知点 在该函数的图像上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得： ，再将 代入求解即可；
（2）将点 代入解析式，联立 ，求解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
将 代入得， ，解得
即 ，化简得：
即
（2）将点 代入得，
则 ，解得
即
【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如 的函数为正比例
函数．
4．（2023春·八年级课时练习）已知正比例函数 图像经过点 ，求：
(1)这个函数的解析式；(2)判断点 是否在这个函数图像上；
(3)图像上两点 ， ，如果 ，比较 ， 的大小．
【答案】(1)
(2)不在
(3)
【分析】（1）将 代入 ，利用待定系数法求解；
（2）将 代入（1）中所求解析式，看y值是否为 即可；
（3）根据k值判断正比例函数图象的增减性，即可求解．
【详解】（1）解： 正比例函数 的图象经过点 ，
时，
解得
这个函数的解析式为 ；
（2）解：将 代入 中得： ，
点 不在这个函数图象上；
（3）解： ，
随x的增大而减小，
又
．
【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式，根据比例系
数判断函数图象的增减性．
5．（2023·上海·八年级假期作业）已知 与 成正比例，当 时，
(1)求 与 的函数表达式；
(2)当 时，求函数值 ；
(3)当 时，求自变量 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义得出 的值，即可得出答案；
（2）将 代入（1）中函数解析式进而得出答案；（3）将 代入（1）中函数解析式进而得出答案．
【详解】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴ ．
∴ ．
∵当 时， ，
∴ ．
∴ ．
∴ 与 的函数表达式为 ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解
题的关键．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线 与轴交于点C，与y轴交于点B，已知点 ,点
，连接AO．
(1)求直线 的表达式．
(2)P为 轴上一点，若 面积是 面积的2倍，求点P坐标．
(3)在x轴上是否存在点Q，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数关系是即可；
（2）先求出 的面积，利用 面积是 面积的2倍，得到方程，解之即可；（3）分三种情况 ， ， 分类讨论，利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）解：设函数关系式为： ，代入 ， 得：
，
解得： ，
所以函数关系数为： ；
（2）解： ，
,则 ，
即 ，解得 ，
或 ；
（3）解：存在
，
①当 时，点 或 ；
②当 时，根据“三线合一”可以得到 ；
③当 时，设 则有 ，
解得： ，
所以 ；
综上所述：点 或 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数，等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握待定系数法和等腰三角形的性质是
解题的关键．
