文档内容
专题 17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................12
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 12
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 17
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 21
题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 26
题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 31
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 36
题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 40
题型八：焦点到渐近线距离为b 44
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 49
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 53
题型十一：渐近线平行线与面积问题 56
重难点突破：数形结合转化长度角度 62关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，
其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第5题，5分
离心率问题是高考
2024年I卷第12题，5分 数学的必考内容，主要
考查圆锥曲线的概念和
2023年I卷第5、16题，10分
几何性质。在二轮复习
掌握求解，理解 2023年甲卷第9题，5分 中，应掌握其基本性质
离心率
应用。 2022年甲卷第10题，5分 和常规处理方法，特别
是要从挖掘椭圆和双曲
2022年浙江卷第16题，4分
线的几何性质入手，以
2021年甲卷第5题，5分 应对考试中的相关问
题。
2021年天津卷第8题，5分求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线
上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过
作平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .
故答案为：
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
3．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心率分别为 ．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C
上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故所以椭圆 的离心率 ，故选A.
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径
的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，故 ，故 ，
故选：AC.题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典例1-1】已知椭圆 上一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆右焦点，且
满足 ，设 ，且 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为 ，连接 ，
则四边形 为矩形，
则 ，
所以 ，
在 中，由 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
【典例1-2】已知椭圆C： 上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦
点，且 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为 ，
因为 ，所以根据椭圆的对称性可知：四边形 为矩形，
所以 ，
在 中， ，
根据椭圆定义可知： ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
所以离心率为
故选：B．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
1 1
e= =
sinα+cosα π
√2sin(α+ )
椭圆： 4 ，根据α范围求解值域．
1 1
e= =
cosα−sinα π
√2cos(α+ )
双曲线： 4 ，根据α范围求解值域．
【变式1-1】设 是双曲线 在第一象限内的点， 为其右焦点，点 关于原点 的
对称点为 ，且 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的左焦点为 ，设 ，
则根据题意得 ，
则双曲线的离心率为
，
令 ，
易知 在 单调递增，
且 ，
则 ，即 .
故选：C.
【变式1-2】双曲线 （ ， ）左支上一点 关于原点的对称点为点 为其右焦点，若
，设 ，且 ，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为 ，则 ，
因为双曲线左支上一点 关于原点的对称点为点 为其右焦点， ，
所以由双曲线的对称性可得四边形 为矩形，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率的范围为 ，
故选：D
1．已知双曲线 右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为 为双曲线的右焦点，
若 ，设 ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
因为 ，则四边形 为矩形，
所以 ，
则 ， ．
．
．
即 ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
所以 ，
即双曲线离心率的取值范围是 ，
故选：C．题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上的一个动点，
若使得满足 是直角三角形的动点 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
故选：C．
【典例2-2】已知 为椭圆 上一动点， 、 分别为该椭圆的左、右焦点， 为短轴
一端点，如果 长度的最大值为 ，则使 为直角三角形的点 共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
【答案】B
【解析】当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
当 为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点 有2个；
因为 为短轴一端点，令 ， 长度的最大值为 ，
椭圆 ，
所以说明椭圆与圆 有且仅有下顶点这唯一交点，
设 ，
所以 ，即所以 ，
因为 ，
所以 带入 中得：
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
当 带入 得：
所以 ，
所以 ，
所以 即 ，
当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点 有2个，
当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点 有0个，所以使 为直角三角形的点 共有4个或6个，
故选：B.
x2 y2
+ =1(a>b>0)
是椭圆a2 b2
的焦点，点 在椭圆上，
∠F
1
PF
2
=θ
，则
cosθ≥1−2e2
（当且仅当
动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ， 点 在以 为直径端点的圆上，
由此可得该圆的半径 ， ，即 ，
， .
故选：A.
【变式2-2】已知椭圆 的方程为 为其左、右焦点， 为离心率， 为椭圆上一
动点，有如下说法：
①当 时，使 为直角三角形的点 有且只有4个；
②当 时，使 为直角三角形的点 有且只有6个；③当 时，使 为直角三角形的点 有且只有8个；
以上说法中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当 时 ，使 为直角三角形的点 有且只有4个，分别为横坐标为
的四个点；
当 时 ，使 为直角三角形的点 有且只有6个，分别为横坐标为 的四个点及
短轴两个顶点；
当 时 ，使 为直角三角形的点 有且只有8个，分别为横坐标为 的四个点
及 为直角的四个点
1．已知 为椭圆 上一点， 分别是椭圆的左、右焦点.若使 为直角三角形的
点 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 轴时，有两个点 满足 为直角三角形；
当 轴时，有两个点 满足 为直角三角形.
使 为直角三角形的点 有且只有4个，
以原点为圆心， 为半径的圆与椭圆无交点， ，，又 ，解得 .
故选：A.
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典例3-1】已知椭圆 与双曲线 共焦点， 分别为
左、右焦点，点 为 与 的一个交点，且 ，设 与 的离心率分别为 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 在第一象限，由题知 ，
解得 ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
化简得 ，即 ，
所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
则 ，
由“对勾”函数的性质可知，函数 在区间(1,+∞)上单调递增，所以 ．
故选：C
【典例3-2】已知以 为焦点的椭圆 与双曲线 共焦点，一动点 在直线
上运动，双曲线 与椭圆 在一象限的交点为 ，当 与 相等时，
取得最大值，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设 ，设双曲线的实轴长为 ，
双曲线 与椭圆 在一象限的交点为 ，
设 ，则 ，
故 ，
由 ，得 ，即 ；
动点 在直线 上运动，设l与x轴交点为E，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
由题意知 为锐角，且 ,
即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 的最大值为 ，而当 与 相等时， 取得最大值，
可知 ，即 ，结合 ，
得 ，则 ，
故双曲线的离心率 ，
故选：C
α α
sin2 cos2
2 2
+ =1
e e
椭 2 双 2 ，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）共焦点 ，，过 引直线 与双曲线左、右两支分别交于点 ， ，过 作 ，垂足为 ，且 （ 为
坐标原点），若 ，则 与 的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
故焦点坐标为 、 ，
则椭圆的离心率为 ，
由 ， ，则 ，
过点 作 于点 ，由 为 中点，
故 ， ，
由 ，故 ，
则 ， ，
由双曲线定义可知， ，
故 ，则离心率为 ，
故 与 的离心率之和为 .
故选：B.【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点为 ，且 .若椭圆的离心率为 ，则双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ,
②
联立①②解得, ,
在 中由余弦定理得：
即
即椭圆的离心率 ，
双曲线的离心率 ，
故选：B
1．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为M，
且 ．双曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ，P为曲线 与 的一个公共
点，若 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 的上顶点为M，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
设双曲线 的方程为 ，
假设点 在第一象限，则
，得 ，在 中，由余弦定理得
，即 ，
整理得 ，
所以 ，则 ，
，所以 ，
所以 ，
故选：D
题型四：椭圆与双曲线的 4a 通径体
【典例4-1】设双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，过 的直线交双曲线 的左
支于 、 两点，若 ，且 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：，由双曲线的定义可得 ，
所以， ，则 ，
由余弦定理可得 ，
，
因为 ，
故 ，整理可得 ，故该双曲线的离心率为 .
故选：B.
【典例4-2】已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ， 是双曲线 右支上的
一点， 交双曲线 的左支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：因为 是双曲线 右支上的一点， 交双曲线 的左支于点 ，
若 ，
由双曲线的定义，可得 ，
，则 ，
所以 ，
故 为等边三角形，则 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理，可得
，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：D.
椭圆与双曲线的4a通径体如图，若 ，易知 ，若 ，则一定有 ，根据
可得 ，即
【变式4-1】若椭圆 （ ）的离心率与双曲线 （ ， ）的离
心率之积为1， ， 分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且 ，
， ，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点， ，则椭圆C的方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题， ，又 ， ， ．
， 直线MN过点 ，
， ，
， ．在 中，
．
设椭圆C的焦距为 ，离心率为 ，双曲线E的焦距为 ，离心率为 ，
在 中，
，
， ， ．
， ， ， ，
椭圆C的方程为 .
故选：B．
【变式4-2】已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆C于
M，N两点.若 ，且 ，则椭圆C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以可设 ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
在 中， ， ，
由 ，可得 ，
即椭圆 的离心率为 .
故选：B.
1．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点，
若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 过原点 的直线 交椭圆于 ， 两点， 被 平分，又 被 平分， 四边形 是平行四边形，
又 ， 四边形 是矩形，
，
由对称性可得 ， 设 ， ，
， ，
，
．
故选：B．
题型五：椭圆与双曲线的 4a 直角体
【典例5-1】已知椭圆 的左､右焦点分别为 、 ，过 作直线 与椭圆相交于 、
两点， ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设 ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
由椭圆定义可知 ， ，
，解得 ，所以 ， ，
在 中，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
，
，即 0，
解得 ，所以椭圆离心率 .
故选：D.
【典例5-2】设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于A，B两点，
且 ， ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，
因为 ，则 ， ，
由椭圆的定义可得 ， ，
因为 ，即 ，
在 中，则 ，即 ，
解得 ，可得 ，
在△ 中，可得 ，整理得 ，
所以椭圆E的离心率为 .
故选：B．
|λ−1|
如左图，若 AF 2 ⊥AB ，AB过原点，且 ⃗AF 1 =λ⃗F 1 B ， ∠AF 1 F 2 =α ，则
ecosα=
λ+1 可得离心率．
如右图，若
BF
2
⊥AC
，AB过原点，且
⃗AF
2
=λ⃗F
2
C(0<λ<1)
，通过补全矩形，可得
AF
1
⊥AC
，
λ+1 b2 |λ−1|
|AF|= ⋅ ecosα=
2 2 a ，借助公式 λ+1 可得离心率．【变式5-1】设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，
且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，不妨令 ，
由过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ，|BF |+|BF |=2a，
1 2
则 ， ，
又因为 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
由勾股定理可得， ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B.【变式5-2】设 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于
两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，再由
是等腰直角三角形
，故选D,
1．设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，
，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由余弦定理，得： ，
∴ ，
化简可得 ，而 ，
故 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴椭圆的离心率 .
故选：D.
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例6-1】椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线l交椭圆C于A，B
两点，若 ， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，由椭圆定义知 ，又 ，所以 ，再由椭圆定义 ，
因为 ，所以 ，
所以由余弦定理可得 ，
即 ，
化简可得 ，即 ，
解得 或 （舍去）.
故选：D
【典例6-2】已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若 ，
2
，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得，又 互补， ，两式消去
，得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
同角余弦定理使用两次
【变式6-1】已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
， ，在 和 中利用余弦定理可得
即
化简可得
同除 得： 解得 或 （舍去）
故选：
【变式6-2】已知双曲线C的焦点为 ，过 的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若
，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 则 ， ，由双曲线的定义可得 ，
，在 和 中，利用余弦定理求出 ，进而求出双曲线的标准方程.如图，设
则 ， ，
由双曲线的定义可得 ，
在 和 中，由余弦定理得
又 互补， ，
两式消去 ，可得 ，
所以 ， ，
所以双曲线的标准方程可得 .
故选：B
1．已知双曲线 左右焦点为 ， ，过 的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且 ，若 为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，
又 ，所以 ，从而 ， ， ，
中， ，
中． ，
所以 ， ，所以 ，
故选：C．
题型七：双曲线的 4a 底边等腰三角形
【典例7-1】设 为双曲线C： 的右焦点，直线l： （其中c为双曲线C
的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若 ，则双曲线C的离心率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为 ，如图，取线段 的中点H，连接 ，则 ．因为 ，所以 ，即 ，则 ．
设 ．因为 ，
所以 ，则 ，从而 ，故
，解得 ．
因为直线l的斜率为 ，所以 ，整理得 ，即 ，则
，故 ．
故选：C
【典例7-2】设 为双曲线 ： （ ， ）的右焦点，直线 ： （其中 为双
曲线 的半焦距）与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，若 ，则双曲线
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的左焦点为 ，如图，取线段 的中点 ，连接 ，则 ．因为，所以 ，即 ，则 ．设 ．因为
，所以 ，则
，从而 ，故 ，解得 ．因为直线 的斜
率为 ，所以 ，整理得 ，即 ，
故选：D．
当 或者 时，令 ,则一定存在① ，②
【变式7-1】设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 作斜率为 的直线 与
双曲线 的左､右两支分别交于 两点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设 为 的中点，连接 .易知 ，所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
设 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
因为 是 的中点， ，所以 .
在Rt 中， ；
在Rt 中， .
所以 ，解得 .
所以 .
因为直线 的斜率为 ，
所以 ，所以 ，
，所以离心率为 .
故选：A1．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线 与双曲线
的左、右两支分别交于 ， 两点，且 在线段 的垂直平分线上，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，如图：
设M，N的中点为P，连接 ，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有 ，；
直线l的方程为 ，令 ，
，由双曲线的性质可得 ，
解得 ，
在 中， ，在 中， ，
解得 ，由于 ， ，
解得 ；
故选：D.
题型八：焦点到渐近线距离为 b
【典例8-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作双曲线 的一条渐近
线的垂线 ，垂足为 ，直线 与双曲线 的左支交于 点 ，且 恰为线段 的中点，则双曲线 的离
心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连结 ，因为点 分别为 和 的中点，所以 ，且
设点 到一条渐近线 的距离 ，所以
，又 ，所以 ，
中，满足 ，
整理为： ，
双曲线的离心率 .
故选：D
【典例8-2】已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 ， ，过C的右支上一点P
作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 的最小值为 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题，设原点为 ，
根据双曲线的定义可知 ，且 （当且仅当 为线段 上的点时等号成
立），
所以 ，
因为 的最小值为 ，即 ，
所以 ，此时 为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为 ,
所以在 中， ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 .
故选：B
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线 ， ，过右焦点作 ， ，
由于渐近线方程为 ，故 ，且斜边 ，故 ，故
， .
【变式8-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作直线 ，使得它双
曲线的一条渐近线垂直且垂足为点 ， 与双曲线的右支交于点 ，若线段 的垂直平分线恰好过 的右
焦点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，不妨设点 在第三象限，则直线 的方程为 ，即 ，点 到直线 的距离为 ，
记线段 的中点为 ，则 ，且 ，
又因为 为 的中点，则 为 的中点，则 ，
因为 ，所以， ，
由双曲线的定义可得 ，
由勾股定理可得 ，即 ，整理可得 ，
因此，双曲线 的离心率为 .
故选：C.
【变式8-2】已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与双曲线的一
条渐近线交于点 （异于坐标原点 ），若线段 交双曲线于点 ，且 则该双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为 ，因为 ， 为 的中点，所以 为 的中点，
将直线 ， 的方程联立 ，可得 ，
又 ，所以 即 ，
又 点在双曲线上，所以 ，解得 ，
所以该双曲线的离心率为 ，
故选：A.
1．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的一条渐近线的垂
线，分别交两条渐近线于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足恰为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设点 位于第二象限，可求得点 的坐标，再由直线 与直线 垂直，转化为两直线斜率
之积为 可得出 的值，进而可求得双曲线 的离心率.设点 位于第二象限，由于 轴，则点 的
横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 ，
由题意可知，直线 与直线 垂直， ， ，
因此，双曲线的离心率为 .
故选：B.
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典例9-1】已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，过 作双曲线 的一条渐近线的垂
线，垂足为 .若 ( 为坐标原点)的面积等于 ( 为双曲线 的半焦距)，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设双曲线 ： 的右焦点 ，
双曲线 的一条渐近线方程设为 ，可得 ， ，
的面积为 ，即有 ，
化为 ， ，解得 .
故选：A.
【典例9-2】已知双曲线 的左焦点为 ，过点 的直线与两条渐近线的交点分别
为 两点(点 位于点M与点N之间)，且 ，又过点 作 于P(点O为坐标原点)，
且 ，则双曲线E的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 在第二象限， 在第三象限，如下图所示：
因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
利用几何法转化
【变式9-1】过双曲线 的焦点 作其渐近线的垂线，垂足为 ，直线 交双曲线的另一条渐近
线于 点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，双曲线的渐近线 ， ，
由 ， ，可得 ，
由 可知 为线段 的中点，又 可得直线 为线段 的垂直平分线，
由 ，即 ，可得 ，
，因此，双曲线的离心率为 .
故选：B.
【变式9-2】过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于
第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．( ，+∞) B．( ，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C： 的渐近线 ，右焦点 ，
不妨设过右焦点 与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与 联立得 ，所以 ， ，所以交点坐标为 ，因
为交点在第二象限，所以 ，因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，即
故选：A
1．已知双曲线 ，过右焦点 作 的一条渐近线的垂线 ，垂足为点 ， 与 的另一条渐近线交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
所以， ，则 ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，所以， ，
， ，
由二倍角的正切公式可得 ，即 ，可得 ，
因此， .
故选：A.题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典例10-1】设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以线段 为直径的圆与直线
在第一象限交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
即有 为等腰三角形，
设 ，
则 ，
所以
即为 ，所以 ，
故选：A
【典例10-2】已知 ， 分别为双曲线 ： 的左，右焦点，以 为直径的圆与
双曲线 的右支在第一象限交于 点，直线 与双曲线 的右支交于 点，点 恰好为线段 的三等
分点(靠近点 )，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
由双曲线的定义可得： ， ，
因为点 在以 为直径的圆上，所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，
在 中， ， ， ，
由 可得 ，即 ，
所以双曲线离心率为 ，
故选：C.b
y= x
以 F 1 F 2为直径作圆，交一条渐近线 a 于点B， BF 1交另一条渐近线于点A，则令 ∠BOF 2 =α ,则
α
∠BF 1 F 2 = 2， e= √1+tan2α
【变式10-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与
的一条渐近线在第一象限交点为 ，直线 与另一条渐近线交于点 ．若点 是线段 中点，则双曲
线 的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】如图，点Q是以 为直径的圆的弦 中点，则 ，于是得 ，因直线 是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知 ，因此有 ，
则有直线 的斜率 ，离心率 ，
双曲线 的离心率是2
故选：B
1．已知双曲线 的左，右焦点分别为F，F，若以FF 为直径的圆和曲线C在第
1 2 1 2
一象限交于点P，且△POF 恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ， 设 ，
则由题意可得 是直角三角形，
由 恰好为正三角形得， ，∴ ，∴ ，
，
．
故选：C．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
【典例11-1】已知 ， 分别为双曲线C： 的左、右焦点，过 作C的两条渐近线
的平行线，与渐近线交于M，N两点．若 ，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】易知MN关于x轴对称，令 ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ．， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选: C.
【典例11-2】已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作 的渐近线的平行
线，与渐近线在第一象限交于 点，此时 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
因为双曲线 ，则其渐近线方程为 ，
且 ，过 作 的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于 点，
则直线方程为 ，联立直线方程 ，解得 ，
所以 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，因为 ，则 ，
则 ，且 ，
即 ，化简可得 ，则 .
故选：C
a2b2
①双曲线C： 上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
c2
②双曲线C： 上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于A，B两点，则
c2 ab a2 −b2
|PA||PB| 是一个常数 4 ， S AOBP = 2 ， O⃗A⋅O⃗B= 4
【变式11-1】已知双曲线 上一点 坐标为 为双曲线 的右焦点，
且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于 ，
则该双曲线的离心率是 .
【答案】 或【解析】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 ．故答案为： 或 ．
【变式11-2】已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作 的两条渐近线
的平行线分别交两条渐近线于 、 两点.若 为等腰直角三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，
因为 为等腰直角三角形，由对称性可知， 、 关于 轴，
所以， ，所以， ，所以， ，可得 ，故 ，
故该双曲线的离心率为 ，
故选：D.
1．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线 上的任意一点，过点 作
双曲线 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 ， 两点，若四边形 （ 为坐标原点）
的面积为 ，且 ，则点 的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线 的渐近线为 , , ,则直线 方程为 ,联立直
线 方程可求出点 ,即可得到 ,再求得点 到直线 的距离 ,即可利用四边形 的面积求出
,再利用条件 求出 的取值范围即可.由题意可知,四边形 为平行四边形,
不妨设双曲线 的渐近线为 , ,
设点 ,则直线 方程为 ,
且点 到直线 的距离 .联立 ,解得 , ,
∴
,
∴
设四边形 的面积为 ,则 ,
又∵ , ,
∴
, ,
∴ ∴
∴双曲线 的标准方程为 ,
, , , ,
∴ ∴
,
∴
又∵ , ,解得 ,
∴
故选:D.
重难点突破：数形结合转化长度角度
【典例12-1】已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 是 左支上一点，
，若存在点 满足 ，则 的离心率为 .【答案】
【解析】
因为 ，所以 是 的中点，又 为 的中点，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
设 ，则 ， ，且 在双曲线上，
则 ，即 ，又 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
【典例12-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P是C的右支上一点，
连接 与y轴交于点M，若 （O为坐标原点）， ，则双曲线C的离心率为
【答案】 /
【解析】依题意有
所以 ，
设 又
所以 、
在 中，
所以 ，
故有： 即
解得： 即
在 中，有
即 ，
所以
故答案为： .
数形结合
【变式12-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 的左支上，
， ，延长 交 的右支于点 ，点 为双曲线上任意一点（异于 两点），
则直线 与 的斜率之积 .
【答案】2【解析】依题意，设双曲线 的半焦距为 ，则 ，
因为 是 的中点，所以 ，故由 得 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，则 ，
设 ， ， ，
所以 ，
故答案为：2
【变式12-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，且
，射线 分别交 于 两点（ 为坐标原点），若 ，则 的离心率为
．
【答案】【解析】由双曲线的对称性得 ，由 ，得 ，
不妨设点 在 的右支上，且 ，
在 中，由双曲线定义知 ，
由勾股定理得 ，
则 ，
且
又 ， ，所以 ，
则在 中，由 ，得 ，
化简得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，化简得 .
所以 的离心率为 .
故答案为： .1．已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为坐标原点， ， 为 上位于 轴上方的两
点，且 ， ．记 ， 交点为 ，过点 作 ，交 轴于点 ．若
，则双曲线 的离心率是 ．
【答案】
【解析】做出图像，如图所示，则 ，
在 中，由 得， ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 ，
在 中，由 得， ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
则 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
由 可得， ，则 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
故答案为： ．
