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3.2 图形的旋转
题型一 旋转图形和中心对称图形的识别
1．（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的定义，
旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义．
【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动，
∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象；
选项A中汽车飞驰主要是平移运动；
选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主；
选项D中升降电梯是垂直平移运动．
故选：B．
2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）下列运动形式属于旋转的是（）
A．火箭升空 B．钟摆的摆动 C．传送带移动 D．电梯的运行
【答案】B
【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键．
旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均
为直线运动，不属于旋转．
【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动，
A．火箭升空为直线运动，不符合题意；
B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意；
C．传送带移动为直线运动，不符合题意；
D．电梯的运行为直线运动，不符合题意．
故选：B．
3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（ ）
A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千
【答案】D
【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均
为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转．
【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动，
A项为平移运动，无旋转中心；
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学科网（北京）股份有限公司B项传送带为平移运动；
C项电梯为上下平移运动；
D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动．
故选：D．
4．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，将立方体绕它的对角线 旋转，应该形成（ ）种立
体图形．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本
的图形特征，是解答本题的关键．
【详解】根据正方体的特征，正方体沿对角线旋转一周，得到的是一个上、下端为圆锥，中间是两个有公
共小底面的两个圆台．
故选：C
5．（25-26七年级上·江苏常州·月考）2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动
得到图②，这次运动可以是（ ）
A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以
【答案】C
【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、
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学科网（北京）股份有限公司平移的定义进行判断即可．
【详解】解：由图可知，图 绕图案中心点旋转 后可得到图 ，通过平移或者翻折不可以得到，
这次运动可以是旋转，
故选：C．
6．（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于 年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬
奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转 后得到的图片是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转 后得到的图片是：
故选：D．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）2024年巴黎奥运会是第33届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日
至8月12日在法国巴黎举行，以下为巴黎奥运会项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义是解题
的关键．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
8．（四川省凉山彝族自治州2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）2025年12月2日是第14个
“全国交通安全日”，学习交通标志是学校安全教育的重要组成部分，下列交通标志中既是轴对称图形又
是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直
线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕
着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐
项判断即可．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：C．
9．（25-26九年级上·甘肃陇南·期末）围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，
下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转 ，
如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图
形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
10．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选
项判断即可．
【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
11．（25-26九年级上·山东滨州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转180度后，
能够与原图形重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
选项B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
选项C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司选项D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
12．（25-26七年级上·江苏南京·月考）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以
左脚跟为旋转中心，沿着 （填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转 度．
【答案】 逆时针 90
【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向
和旋转角度．
根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度．
【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度．
故答案为：逆时针，90．
题型二 找旋转中心、旋转角、对应点
1．（北京市大兴区2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷）如图，在正方形网格中，点 ， 和
， 的顶点均在格点上，将 绕旋转中心旋转得到 ，则旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格
结构作 、 的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图， 、 的垂直平分线相交于点Q，
则旋转中心点Q．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26九年级上·全国·假期作业）如图，在正方形网格中，△ 绕某一点旋转某一角度得到△
，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相
等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接 、 、 ，作 的垂直
平分线，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交点为旋转中心．
【详解】解：如图，
△ 绕某点旋转一定的角度，得到△ ，
连接 、 、 ，
作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过 ，
即旋转中心是 ．
故选： ．
3．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图， 绕点 逆时针旋转 后得到 （点B、C的对
应点分别为点 、 ），则 等于（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得 是旋转角，
∴ ．
故选：B．
4．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在 的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格
点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分
线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点 绕某点旋转后的对应点为点 ，点 绕
某点旋转后的对应点为点 ，点 绕某点旋转后的对应点为点 ，连接 ， ，借助网格，画出线段
， 的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求．
【详解】解：如图所示，点 即为所求，
故选：C．
5．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）如图，将 绕O逆时针旋转一定的角度后得到 ，若
， ，则旋转角的度数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转角的求解，解题的关键是正确找出旋转角．
先确定旋转角，再由角的和差计算求解即可．
【详解】解：∵将 绕点 按逆时针方向旋转一定角度后得到 ， ， ，
∴旋转角的度数是 ，
故选：B．
6．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形 绕点 按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形
，则旋转中心和旋转角是（ ）
A．点B， B．点O，
C．点B， D．点O，
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的概念，熟练掌握“旋转中心是旋转过程中不动的点，旋转角是对应点与旋
转中心连线的夹角”是解题的关键．根据旋转的定义，确定旋转中心，再找出对应点与旋转中心连线的夹
角作为旋转角．
【详解】解：∵三角形 绕点 旋转得到三角形 ，
∴旋转中心是点 ，
∵点 的对应点是点 ，
∴旋转角是 ，
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转 ，得到
，则其旋转中心可以是点 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的
性质找到旋转中心即可得到答案．
【详解】解：由图可知， 与 各对应点到点 的距离相等，
∴ 点为旋转中心，
故答案为： ．
8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 的顶点都在方格纸的格点上，将 绕点 按顺时
针方向旋转得到 ，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
【答案】 /90度
【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B， 与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答．
【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知 是旋转角，且 ，
故答案为： ．
9．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为
，点D的坐标为 ，线段 绕某点经过旋转后得到 （点A与点C对应），则旋转角为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根
据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数．
【详解】解： 线段 绕某点经过旋转后得到 ，
则如图所示，连接 、 ，分别作线段 、 的垂直平分线，
设线段 、 的垂直平分线交于点 ，点 即为旋转中心，
，
旋转角为 ，
故答案为： ．
题型三 求旋转中心的个数
1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形 旋转后能与正方形 重合，那么图形所在
的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋
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学科网（北京）股份有限公司转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；
分别以C、D、 的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形 旋转后能与正方形 重合，即可
求解．
【详解】以点C为旋转中心，把正方形 逆时针旋转 ，可得到正方形 ；
以点D为旋转中心，把正方形 顺时针旋转 ，可得到正方形 ；
以 的中点为旋转中心，把正方形 旋转 ，可得到正方形 ；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
2．（20-21九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心
的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转
角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
题型四 成中心对称
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点 与点B关于点 成中心对称，则点B的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中
点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解．
利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为 ，列方程
、 ，求解得 B 的坐标．
【详解】设点B坐标为 ，
点 与点B关于点 成中心对称，
， ，
解得 ，
．
故选B．
2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）下列图形中， 与 成中心对称的是（ ）
A． B． C．
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学科网（北京）股份有限公司D．
【答案】B
【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称 是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一
个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应
点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A中 与 不成中心对称，不符合题意；
选项B中 与 成中心对称，符合题意；
选项C中 与 不成中心对称，不符合题意；
选项D中 与 不成中心对称，不符合题意，
故选：B．
3．（18-19九年级上·全国·单元测试）将 绕点 旋转 得到 ，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的定义，掌握旋转的定义是解题的关键．
把一个图形绕某一点O旋转 的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可．
【详解】解：观察选项中的图形，只有C选项是 绕点 旋转 得到 ，
故选：C．
4．（25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，若 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ ， ， ， ；
故只有选项D不成立；
故选D．
5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 与 成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不
正确的是（ ）
A．点A与点D是对应点 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相
等”逐项判断即可得解．
【详解】解：∵ 与 成中心对称，点O是对称中心，
∴点 与点 是对应点， ， ，
故选项A、B、C不合题意；
不能说明 ，故选项D符合题意．
故选：D．
6．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点 与点B关于点 成中心对称，
则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B
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学科网（北京）股份有限公司的坐标，即可作答．
【详解】解：设点B的坐标为 ，
∵点 与点B关于点 成中心对称，
∴点 是 的中点
∵点 ，点 ，
∴横坐标： ，纵坐标：
∴ ， ．
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
7．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形 中， ，点E是 上一点，点D与
点C关于点E成中心对称，连接 并延长，与 的延长线交于点F．证明：点A与点F关于点E成中心
对称．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明
得 ， ，即可得证．
【详解】证明： 点 与点 关于点 中心对称，
是线段 的中点，即 ，
，
，
在 与 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
， ，
点A与点F关于点E成中心对称．
题型五 确定两个图形的对称中心
1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知 与 成中心对称，则对称中心是点 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键．
根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接 和 ，交点即为对称
中心．
【详解】解：如图所示：
故答案为： ．
2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 和 关于点P成中心对称，
则点P的坐标是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对
应点连线的交点，据此解答即可．
【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图， ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形 与四边形 是成中心对称的两个图形．
请试着确定其对称中心的位置．
【答案】见解析
【分析】此题考查对称中心的确定方法，成中心对称图形的性质：成中心对称的两个图形的对应点连线经
过对称中心，并且被对称中心平分，掌握成中心对称的图形的性质是解题的关键．
连接两对对应点，交点即为所求的对称中心．
【详解】解：连接 ，交点O即为所求的对称中心．
如图所示：
4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图， 和 关于点 成中心对称，若 ， ，
，请在图中画出它们的对称中心 ，并求出 的周长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析，15
【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
连接 ， ，其交点就是对称中心 ；依据 和 关于点 成中心对称，即可得到
，进而得出 的周长．
【详解】解：如图所示，点 即为所求；
和 关于点 成中心对称，
，
， ， ，
的周长 ；
答： 的周长为15．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中
心对称图形的，请画出它的对称中心．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转 后能与原图形重合．理解中心对称
图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可．
【详解】解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转 后和原图形重合，所以是中心对称
图形，它们的对称中心在对角线的交点．
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学科网（北京）股份有限公司如图，点 即为所求的点．
题型六 求关于原点对称点的坐标
1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）点 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标
互为相反数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标为 ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“横纵坐标都互为相反数”是关键．根据关于原
点对称的点，横纵坐标均互为相反数，直接作答即可．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征为：横纵坐标都互为相反数，
可得：点 关于原点的对称点的坐标是 ．
故选：B．
3．（25-26九年级上·河南信阳·月考）平面直角坐标系内与点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的横
纵坐标均互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标性质，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，进行求解
即可．
【详解】解：∵点P的坐标为 ，
∴关于原点对称的点的坐标为 ．
故选：C．
4．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键；
根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解．
【详解】解：点 关于原点的对称点坐标为 ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·四川成都·月考）与点 关于 轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查关于y轴和原点对称的点的坐标特点，掌握相关知识是解题关键．
关于y轴对称的点的坐标特征是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；关于原点对称的点的坐标特征
是：横纵坐标互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：与点 关于 轴对称的点的坐标为 ，关于原点对称的点的坐标为 ．
故答案为： ， ．
6．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点位于第 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对
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学科网（北京）股份有限公司称性质是解题的关键．
根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点坐标的符号即可求解．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标为 ，
∴点 在第四象限，
故答案为：四．
题型七 已知两点关于原点对称求参数
1．（25-26九年级上·四川德阳·期中）在平面直角坐标系中，若点 关于原点对称的点的坐标是 ，
则坐标 关于x轴对称的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特
征求解．
【详解】解：∵点 关于原点对称的点的坐标是 ，
∴ ，
解得 ，
∴点A的坐标为 ，
点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标为 ．
故选：A．
2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果点 关于原点的对称点为 ，则
．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2026
【分析】本题考查了关于原点对称的点的特点，代数式求值，解题的关键是熟练掌握根据关于原点对称的
点的特点求出 和 的值．根据关于原点对称的点的特点，可求出 和 的值，即可进一步得到答案．
【详解】解：∵点 关于原点的对称点为 ，
，
，
故答案为：2026．
3．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）已知点 ， 关于原点中心对称，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点中心对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点中心对称的点，横、纵
坐标分别互为相反数”是解题的关键．根据关于原点中心对称的点的坐标特征，求出 和 的值，再计算
．
【详解】解：∵ 点 ， 关于原点中心对称，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）已知点 和
点 关于原点对称，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得 ，
∴ ；
故答案为：1．
5．（25-26九年级上·安徽·期末）已知点 ， ．
(1)若 ， 两点关于原点对称，求 ， 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， 两点关于 轴对称，求 ， 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记关于原点对称、关于 轴对称的两个点的坐标特
征是解决问题的关键．
（1）由关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标均互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由关于 轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ， 两点关于原点对称，
， ，
， ；
（2）解： ， 两点关于 轴对称，
， ，
， ．
题型八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图， 与 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两
个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中
心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
根据中心对称的性质判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 与 关于点O成中心对称，
∴ ， ，故C选项成立，不符合题意，
， ，故B， D选项成立，不符合题意，
不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意
故选：A．
2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 与 关于点D中心对称，连接 ，以下结论错误
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵ 与 关于点D中心对称，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴选项A、C、D正确；
无法证明 ，
∴选项B错误；
故选：B．
3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图， ，曲线 和曲线 关于点 成中心对称，曲线
和曲线 关于点 成中心对称，曲线 和曲线 关于点 成中心对称 如果 ，那么
图中所示的封闭图形的面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题主要考查了中心对称的应用，求不规则图形的面积，
先连接 ，可得封闭图形的面积等于三角形 的面积，再根据三角形面积公式求出结果即可.
【详解】解：如图所示，连接 ，由曲线 和曲线 关于点D成中心对称，曲线 和曲线 关于
点E成中心对称，曲线 和曲线 关于点O成中心对称，
∴ 经过点D，O，E，且弧形的面积相等，
∴封闭图形的面积等于 .
故选：B.
4．（24-25九年级上·河南许昌·期中）如图，直线 于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点
是点 于点 于点D．若 ，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．12 D．无法确定
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，过点A作 轴于点E，
∵直线 于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点 于点 于点D，
，
∴ ，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和 长方形 的面积 ．
故选：B
5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形 中，O为 的中点， ， 与
关于点B中心对称，连接 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题
的关键．
先求出 及 的长，进一步得出 及 的长，据此求出 的长，最后用三角形的面积公式进行计算
即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，O为 的中点， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ．
在 中，
．
∵ 与 关于点B中心对称，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为： ．
6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图， 和 关于点C中心对称，连接 ．若 ，
， ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解决问题的
关键．根据中心对称的性质 及 ，由勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：由中心对称图形可知 ，
， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在等腰三角形 中， 是底边 的中线， 与
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学科网（北京）股份有限公司关于点 C 成中心对称，连接 ，若 则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得
，再由中心对称图形的性质可得 ， ，
，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】解：在等腰三角形 中，∵ 是底边 的中线， ，
∴ ，
∵ 与 关于点 C 成中心对称，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
8．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， 是 上一点， 和
关于点 对称，连接 ， 求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定．
根据中心对称的性质得出 ， ，进而证明 ，即可证明四边形 是平行
四边形．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】证明： 和 关于点O对称，
，
四边形 是平行四边形．
9．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图， 与 关于点 成中心对称．
(1)连接 ，证明四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识
的运用是关键．
（1）根据中心对称的特点得到 ，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可
求证；
（2）由勾股定理，平行四边形的性质得到 ，由此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵ 与 关于点 成中心对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
题型一 旋转的性质运用
1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（ ）
A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等
C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上
【答案】D
【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可．
【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相
等，
故选：D．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，若 、 、
三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得 ，
， ，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得出 ，即可
得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由旋转的性质可得： ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故选：B．
3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图， 中， ，在 边的同侧作等边三角形
， ， ，连接 ．以下结论中正确的有（ ）
①四边形 是平行四边形；
② ；
③ ；
④ 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的．
A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明
和 可得 ，由等边三角形的性质得 ，得四边
形 是平行四边形； ； 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的，
故可得结论．
【详解】解：∵ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ， ，故②正确；
∴ ，故③正确；
同理可证 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是平行四边形；
∵ ，且 ，
∴ 可以看成是 绕点C顺时针旋转 得到的，故④正确；
∴正确的结论是①②③④，
故选：C．
4．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形 中， ，将矩形 绕着点D逆
时针旋转得到矩形 ， 与 相交于点M，当点 落在 延长线上时，若 ，则四边形
的面积为 ．
【答案】315
【分析】先连接 、 ，由旋转性质得 ，再由等腰三角形三线合一得 ，进而通过求
证 ，得 的长，并表示出 的三边，根据勾股定理 列出等量
关系式，求出 、 的长，最后根据梯形面积公式求解．
【详解】解：如图，连接 、 ，
设 ，由 得 ，
四边形 是矩形，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
矩形 绕着点D逆时针旋转得到矩形 ，
， ， ， ， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，
，
， ， ，
，
解得： （舍去）或 ，
， ，
四边形 是直角梯形，
，
故答案为：315．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积
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学科网（北京）股份有限公司的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和
性质，勾股定理和梯形面积的计算求解．
5．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 落在 的
延长线上．
(1)求证： 为等边三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】本题考查三角形综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记旋转性质及等边三
角形判定与性质是解决问题的关键．
（1）由旋转性质得到 ， ，即可由等边三角形的判定定理得到 为等边三角形；
（2）先由旋转性质得到 ，再等量代换有 ，最后结合等边三角形性质即可得证．
【详解】（1）证明： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形；
（2）证明： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
，
，
，
在等边 中， ，
．
6．（25-26九年级上·全国·月考）如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到
的位置，使得 ，连接 与 交于点 ，且 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）由全等三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，即得
，再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
由旋转可得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图， 是等边 内的任意一点，将 绕点 顺时针旋转
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学科网（北京）股份有限公司到 的位置，连接 ．请判断 的形状，并说明理由．
【答案】 是等边三角形，理由见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性
质可得 ，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解．
【详解】解： 是等边三角形，理由如下：
∵将 绕点 顺时针旋转 到 的位置，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在 中， ． 是任意一点，连接 ，再将 绕点
顺时针旋转至 ，使 ，连接 ， ．
(1)如图（ ），若点 在 的内部，则 与 相等吗？若相等，请给出证明．
(2)如图（ ），若点 在 的外部，则 与 相等吗？若相等，请给出证明．
【答案】(1) ，证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）证明 即可求证；
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，证明如下：
由旋转可得， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，证明如下：
由旋转可得， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）已知 是 内部的一条射线，M，N分别是边 ， 上的
点，线段 ， 分别以 ， 的速度同时绕点O逆时针旋转．
(1)如图①若 ，当 、 逆时针旋转2s时，分别到 、 处，求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)如图②，若 分别在 内部旋转时，总有 ，求 的值
(3)如图③，C是线段 上一点，点M从点A出发沿线段 向点C运动，同时点N从点C出发沿线段
向点B运动，M，N两点的速度比是 ．若运动过程中始终有 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质，
对于（1），根据旋转可知 ， ，再表示 ，然后根据 的度数，可得答
案；
对于（2），设旋转时间是ts，并表示 ，即可得出 ，最后代入可得结论；
对于（3），根据题意可得 ，再根据 ，可得 ，然后代入得出答案．
【详解】（1）∵线段 分别以每秒 ， 的速度绕点O旋转2s，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）设旋转时间是ts，则 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
（3）∵M，N两点的速度之比是 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
40 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道
题：
（ ）如图 ，在等腰 中， ， ，点 在边 上，且 ，小红
对小波说：“图中线段 、 和 有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把 绕点 逆时针转 得到 ，连接 ，就能证出
”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若 ， ，则 ______；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（ ）小波接着对小红说：“如图 ，在四边形 中， 度， ，
，若 ， ，你知道 的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出 的长度．
【答案】（ ）① ；②证明见解析；（ ）
【分析】（ ）①由勾股定理可得 ，即得 ，得到 ，再利用勾股定
理解答即可求解；②由旋转的性质可得 ， ， ， ，进
而可证 ，得到 ，再根据 得到 ，即可求证；
（ ）作 于 ，由勾股定理得 ，进而得 ，又由等腰三角形
的判定可得 ，即得 ，再利用勾股定理解答即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（ ）①∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
②证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，如图所示，
则 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，’
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（ ）作 于 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
正确作出辅助线是解题的关键．
题型二 画旋转图形
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学科网（北京）股份有限公司1．（宁夏吴忠三中、四中、六中、九中2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷）如图，正方形网
格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点
均在格点上．
(1)画出 以原点 为中心的中心对称图形 ，并写出点 的坐标；
(2)画出将 绕原点 顺时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形．
（1）根据中心对称的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出 ，并写出点 的坐标；
（2）根据旋转的性质，找到A，B的对应点，顺次连接即可得出 ，并写出点 的坐标
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图所示， 即为所求； ．
2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
， ， ．将 绕原点O顺时针旋转 后得到 ，画出 ．（点A、
B、C的对应点分别为点 、 、 ）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．
先利用旋转变换的性质，分别画出A、B、C的对应点 、 、 ，然后顺次连接即可解答．
【详解】解：如图： 即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26九年级上·山西大同·月考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中， ABC的顶点
均在格点（网格线的交点）上，直线 经过小正方形的边．
(1)画出 关于直线 成轴对称的 ；
(2)将（1）中的 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了画轴对称图形，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质画出点 的对应点分别为 ，即可画出
（2）根据旋转的性质找出 每个顶点绕点 逆时针旋转 后得到的对应点，再连线得到 ．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图所示： 即为所求．
4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为点
， ， ．
(1)画出将 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的 ，其中点A、B、C的对应点分
别为点 、 、 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)画出将 绕原点O顺时针旋转 得到的 ，其中点A、B、C的对应点分别为点 、 、 ，
并直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键．
（1）根据平移方式可得 、 、 的坐标，描出 、 、 ，并顺次连接 、 、 即可；
（2）根据所给旋转方式和网格的特点可得 、 、 的位置， 描出 、 、 ，并顺次连接 、 、
即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求．
（2）解：如图所示， 即为所求，点 的坐标为 ，
5．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）已知在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)画出与 关于原点对称的 ；
(2)将 绕点C顺时针旋转 得到 ，画出 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换．
（1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求．点 的坐标为 .
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出 绕点O顺时针旋转 的 和 后的
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转作图，确定 各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定 各
顶点绕点O顺时针旋转 和 后的对应点，再顺次连接即可．
【详解】解：如图， 和 即为所求：
7．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)请画出 以点O为旋转中心，顺时针旋转 后得到的图形 （A的对应点为 ，B的对应
点为 ，C的对应点为 ）；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求 的面积．
【答案】(1)画图见解析；
(2) ．
【分析】（ ）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（ ）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可；
本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形．
【详解】（1）解：如图， 以点O为旋转中心，顺时针旋转 后得到 ；
∴ 即为所求；
（2）解： 的面积
．
题型三 旋转中的规律性问题
1．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图所示，把正方形铁片 置于平面直角坐标系中，顶点 的
坐标为 ，点 ，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 ，
第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点 的坐标为
（ ）
51 / 120
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究
规律的方法，属于中考常考题型．首先求出 的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【详解】解：第一次 ，
第二次 ，
第三次 ，
第四次 ，
第五次 ，
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵ ，
的纵坐标与 相同为2，横坐标为 ，
∴ ，
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边 绕点A旋转 ，得到
，再将 绕点 旋转 ，得到 ，再将 绕点 旋转 ，得到 ，
52 / 120
学科网（北京）股份有限公司…，按此规律进行下去，若点 且等边 的高为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意先求得 的坐标，进而求得 的坐标，发现规律，即可求得 的坐标．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，将等边 绕点A旋转 ，得到 ，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
则 ，
同理可得 ， ，
53 / 120
学科网（北京）股份有限公司…… ， ，
即 ．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与
图形，找到规律是解题的关键．
3．（2025·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ， ， ， ， ……都是
平行四边形的顶点，点 ， ， ……在 轴正半轴上， ， ， ， ，
， ， ……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中
心的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的
关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第 个平行四边形的对称中心坐标为
，即可求解．
【详解】解：如图所示，作 轴于点 ，
， ，
54 / 120
学科网（北京）股份有限公司，
，
， 重合，
，
则 的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为 ；
同理可得： ， ， ，
则 的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为 ；
同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是 ；
同理可得：第 个平行四边形的对称中心的坐标是 ；
第6个平行四边形的对称中心的坐标是 ，即 ， ， ，
故选：D．
4．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 绕点 逆时针旋转
后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转2026次得到正方形 ，如果点 的坐标为
，那么点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点 对应点的坐标，发现规律是解题的关
键．
55 / 120
学科网（北京）股份有限公司根据旋转的性质可得点 的坐标与点 的坐标相同，利用已知条件求出 即可得解．
【详解】 正方形 绕点 逆时针旋转 ，
，每旋转 次回到原来位置，
余 ，
点 的坐标与点 的坐标相同，
已知点 ，则点 ，旋转 后点 ，再旋转 后点 ，
点 的坐标为 ．
故答案是 ．
5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在直角坐标系中，已知点 ， ，对 连续
作旋转变换，依次得到 ， ， ， ，…，那么 的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系及图形的旋转变换、勾股定理，通过分析几次旋转得到旋转规律
是解题的关键．
过点 作 轴于点 ，根据勾股定理列式求出 ，利用等积法求出 ，根据勾股定理列式求
出 ，得出 ，可得 坐标，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一
个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用 除以 ，根据商为 ，余数为 ，可知
第 个三角形的直角顶点为第 个循环组后第二个三角形的直角顶点，求出即可．
56 / 120
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为 ，
∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为 ，
第三次旋转变换后直角顶点坐标为 ，
第四次旋转变换后直角顶点坐标为 ，
第五次旋转变换后直角顶点坐标为 ，
∴由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，
∵ ，
57 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ 的直角顶点是第 个循环组后第二个三角形的直角顶点，
∵一个循环组横坐标前进的长度为： ，
∴ ，
∴ 的直角顶点的坐标为 ．
故答案为： ．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为2的正方形，
A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为 ，将P点关于A对称得到 ，将 关于O点对
称得到 ，将 关于C点对称得到 ，将 关于B点对称得到 ，将 关于A点对称得到 ，……，按
照顺序以此类推，则 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律
求解即可．
【详解】解：如图，由题意 ，
58 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ 与P重合，四次一个循环，
∵ ，
∴ 与 重合，
∴ ．
故答案为： ．
题型四 坐标系中的旋转
1．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ．将线段
绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点
C作x轴的垂线，求出点C的坐标，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
59 / 120
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为 ，
则 ，
解得
60 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴
∴线段 的函数表达式为 ，
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出 关于 轴对称的 ；
(2)点 坐标为____________；
(3)计算 的面积；
(4)若 为平面内一点，使 是以 为直角边的等腰直角三角形，直接写出 点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
(4) 或 或 或
【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解
题的关键．
61 / 120
学科网（北京）股份有限公司（1）根据轴对称的性质，做出点 ，再连线，即可求解；
（2）根据图形，即可求解；
（3）利用割补法求三角形的面积即可；
（4）分别将线段 绕点A顺时针旋转 、逆时针旋转 ，将线段 绕点B顺时针旋转 、逆时针
旋转 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图 所示．
（2）解：由图可知，点 坐标为 ．
（3）解：由图可知， ．
（4）解：如图，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，
根据旋转可知 ，此时 是以 为直角边的等腰直角三角形，
62 / 120
学科网（北京）股份有限公司由图可知点 坐标为 ；
同理，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
将线段 绕点B顺时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
将线段 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，点 坐标为 ；
综上可知，点P坐标为 或 或 或 ．
3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰 的直
角顶点A作直线l，过点C作 于点D，过点B作 于点E，研究图形，不难发现：
．如图2，图3，在平面直角坐标系中，点 为x轴正半轴上一点，点B为y轴上一点，
将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)如图2，若点B在y轴正半轴上且B点坐标为 ，则点C的坐标为_______．
(2)如图3，若点B在y轴负半轴上且B点坐标为 ，请求出 的面积．
(3)点B在y轴上运动过程中（点B不与点O重合）， 的面积是否发生变化？若不变，请直接写出
的面积；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的面积为
(3)不变， 的面积为2
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
（1）过点 作 轴于点 ，证明 ，根据全等三角形的性质以及坐标系，即可得出点C
63 / 120
学科网（北京）股份有限公司的坐标；
（2）过点 作 轴于点 ，，同（1）得出 ，根据点C的坐标即可求出面积；
（3）根据（1）（2）得方法，得出C的纵坐标为2，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据旋转得 ，
∴ ，
∴根据点的坐标可得， ，
∴点C的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据旋转得 ，
64 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴根据全等可能， ，
∴
∴点C的坐标为 ，
∴ 的面积为 ；
（3）解： 的面积不发生变化，理由如下：
①如（2）得，当点 位于纵轴负半轴时，设B点坐标为 ，
则 ，
∴
∴点C的坐标为 ，
∴ 的面积为 ；
②当点 位于纵轴正半轴时，B点坐标为 ，如图，过点 作 轴于点 ，
同理（1）可证 ，
∴ ，
∴ 点的纵坐标为2，
∴ ；
综上， 的面积不发生变化．
4．（25-26八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中， ， ，点 为 轴上的动点，连
接 ，将 绕点 逆时针方向旋转 到 ，连接 交 于点 ．
65 / 120
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 与点 重合时，请直接写出点 的坐标；
(2)如图2，当点 运动到 中点处时，求证： ；
(3)已知点F（0，4），当点 在 轴上运动时，连接 、 ，在射线 上取一点 ，连接 、 ，
使得 ．请补充完图形并直接写出 、 、 三者的数量关系．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)作图见解析， 或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并
证明是解题的关键．
（1）根据题目可知 是 的中点，即可得解；
（2）过点 作 ，垂足为 ，证明 和 ，即可得证；
（3）当点 在 轴负半轴且 时，点 不可能在射线 上；当点 与点 重合时，点 与点
重合时，此时 ， ；当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，此时 ， ，
再分两种情况讨论：当点 在点 与点 之间时，当点 在点 的右边时讨论即可．
【详解】（1）由题可知： ，
，
， ，
．
66 / 120
学科网（北京）股份有限公司（2）过点 作 ，垂足为 ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， 是 的中点，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3） ，
当点 在 轴负半轴且 时，点 不可能在射线 上；当点 与点 重合时，点 与点 重合
时，此时 ， ；当点 与点 重合时，此时点 与点 重合，此时 ， ．
①当点 在点 与点 之间时，过点 作 交 的延长线于点 ，如图（1），
67 / 120
学科网（北京）股份有限公司， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
②当点 在点 的右边时，作 ，如图（2），
68 / 120
学科网（北京）股份有限公司由题可得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
题型五 线段旋转问题
1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在 中， ， ，点 在 边上，
69 / 120
学科网（北京）股份有限公司．若 ， ，则 的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】解题的核心思路是旋转构造．将 绕点 顺时针旋转 至 ，连接 、 ．首先利用
证明 ，从而得到 ，并推导出 ．再证明 ，得到 ．
这样，在 中，由勾股定理得 ，即 ．最后代入已知数值
，即可求出 的长度．
【详解】解：如图，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
由旋转可知， ，且 ．
∴ ．
在 与 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ 中， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
70 / 120
学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得： ．
又∵ ，
∴ ．
在 与 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
已知 ， ，
代入得： ．
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．
解题的关键是成功构造旋转全等 ，并利用 角证明第二次全等 ，从而将
转移到 ．
2．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， 为 轴正半轴
上一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的
71 / 120
学科网（北京）股份有限公司性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设 ，则 ，证明 ，由全等三角形的
性质可得 ， ，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到
，即可求得当 时， 有最小值，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
作 轴于点 ，如下图，
∵将线段 绕点 逆时针旋转 ，点 的对应点为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
72 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴当 时，BQ有最小值，最小值为 ．
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图， 是等边 内一点， ， ， ．将线段
以点 为旋转中心按逆时针方向旋转 得到线段 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据旋转的性质得 ， ，推出 是等边三角形，证明
得 ，由 得 ，由
可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，将线段 以点 为旋转中心按逆时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
73 / 120
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理
等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点 ， ， ，连接 ，并
将线段 绕点A顺时针旋转 ，点B旋转到点 ，连接 ．则 周长的最小值为 ．
【答案】８
【分析】过点B作 轴于点C，过点 作 轴于点D，证明 ，得出 ，
根据A、B两点的坐标，得出 ，说明点 在直线 上运动，根据 为定值，得出当
最小时， 的周长最小，作点O关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于
点E，连接 ，根据两点之间线段最短，得出当 在点E处时， 最小，且最小值为 的长度，
根据勾股定理求出结果即可．
74 / 120
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：过点B作 轴于点C，过点 作 轴于点D，如图，
则 ，
由旋转知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在直线 上运动，
当 最小时， 的周长最小，
作点O关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点E，连接 ，
则 ，
∴ ，
当点 与点E重合时， 最小，且最小值为 的长度，
∵ ，
∴由勾股定理得 ，
即 的最小值为5，
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为：８．
75 / 120
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线
段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质．
5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形 中，M是高 所在直线上的一
个动点，连接 ，将线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点M运动过程中，线段
长度的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，
作辅助线构造全等三角形是解题关键．取 的中点 ，连接 ，根据等边三角形的性质和旋转的性质，
可证 ，得到 ，由垂线段最短可知，当 时， 有最小值，此时
有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
等边三角形 的边长为8，
，
，
， ，
是 的中点，
，
，
76 / 120
学科网（北京）股份有限公司线段 绕点B逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
由垂线段最短可知，当 时， 有最小值，此时 有最小值，
， ，
，
线段 长度的最小值是2，
故答案为：2．
6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，且
， 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，把
绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点E作 ，交 延长线于点G，则
， ， ，证明 ，设 ， ，求出 ，
77 / 120
学科网（北京）股份有限公司， 则 ，则 ， ，利用勾股定理
求出 ，即可求解．
【详解】解：如图，把 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点E作 ，交
延长线于点G，过点 作 于点 ，
则 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
78 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形 ， 是正方形 内一点．若 ，
，将 绕点 顺时针旋转至 处，此时点 、 、 三点正好在同一直线上．
(1)求 的度数；
(2)求 的长；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由题意可知， ，那么 ， ，从而得到 ，
然后利用平角，得到 ；
（2）结合（1）可知， ， ，从而得到 ，然后利用勾股定
理求得 即可；
（3）过点 作 于点 ，然后利用勾股定理求得 ，接着利用 求得面
积即可．
【详解】（1）解： 正方形 ，
，
将 绕点 顺时针旋转至 处，
，且旋转角度为 ，
， ，
是等腰直角三角形，
79 / 120
学科网（北京）股份有限公司，
点 、 、 三点正好在同一直线上，
；
（2）解： ， ， ，
， ，
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
；
（3）解： 是等腰直角三角形， ，
，
，
，
过点 作 于点 ，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
80 / 120
学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性
质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
题型六 面积旋转问题
1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知长方形 ， ， ， 是 的中点，连
接 ，将 绕点 旋转（其中 、 分别与 、 对应）使得 落在直线 上，得 ，连接
，那么 的面积是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查图形的旋转，画出将 绕点 顺时针或逆时针旋转 后的图形，然后根据三角形面
积公式计算即可．解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形的形状相同．
【详解】解：如图，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∵长方形 中， ， ， 是 的中点，
81 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的面积是 或 ．
故答案为： 或 ．
2．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，
， ， ，将 绕点C顺时针旋转一定角度
，如果在旋转的过程中 有一边与 平行，那么此时 的面积是 ．
【答案】 或12
82 / 120
学科网（北京）股份有限公司【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当 时，过点B作 延长线于点F；当 时，
过点B作 延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答．
【详解】如图1，当 时，过点B作 延长线于点F，
根据题意可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
如图2，当 时，过点B作 延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的面积
综上所述： 的面积是 或12．
故答案为： 或12．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质， 直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论
思想解答．
3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图， 为等边 内一点；将 绕点 顺时针旋转 至
的位置，连接 ．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的长与 的面积．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析
(2) ， 的面积为
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质．
（1）根据旋转的性质得到 ，可知 ，即可证明 是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质得到 ，根据勾股定理求出 ，将 绕
点 顺时针旋转 至 的位置，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接
84 / 120
学科网（北京）股份有限公司，可知 ， ， ，最后根据
计算即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形．理由如下：
由旋转可知： ．
，
是等边三角形．
（2）解： 是等边三角形，
，
．
．
如图2，将 绕点 顺时针旋转 至 的位置，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 至
的位置，连接 ．
85 / 120
学科网（北京）股份有限公司；
同理可得： ．
．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ．
(1)画出 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的对应点 的坐标_______；
(2)画出将 绕原点 顺时针旋转 后得到的 ；
(3)求 的面积．
【答案】(1)作图见解析， ；
(2)见解析；
(3) .
86 / 120
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了画中心对称图形、旋转图形，解决本题的关键是根据中心对称的性质以及旋转的性质
作图．
分别作出点 、 、 关于原点成中心对称的点 、 、 ，连接点 、 、 ，得到 ，借
助网格写出点 的坐标；
分别作出点 、 、 绕原点 顺时针旋转 的对应点 、 、 ，连接点 、 、 ，得到
即可；
把 补充成一个 的矩形，借助矩形的面积公式和三角形的面积公式求出 的面积即可．
【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点 、 、 关于原点成中心对称的点 、 、 ，
连接点 、 、 ，得到 ，
即为所求，
点 的坐标为 ；
（2）解：如下图所示，分别作出点 、 、 绕原点 顺时针旋转 的对应点 、 、 ，
连接点 、 、 ，得到 ，
即为所求；
87 / 120
学科网（北京）股份有限公司（3）解：如下图所示，把 补充成一个 的矩形，
则 ．
5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形 中， ， ，
．
(1)如图2，连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，则
的形状是_______．
(2)若 ， ，在（1）的基础上，求四边形 的面积．
(3)如图3，四边形 中， ， ， ， ， ，则四边形
的面积为_______．
【答案】(1)等边三角形
(2)
88 / 120
学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，则 ， ，即可判断 的形状；
（2）由（1）知等边三角形的边长为 ，过点 作 于点 ，结合等腰三角形三线合一性质及勾
股定理求出 ，再求出 即可；
（3）连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，连接 ，过
点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，证明 是等腰直角三角
形，利用勾股定理求出 ， ，再求出 和 的面积和即可．
【详解】（1）解：∵将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
即 的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）如图，过点 作 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 、 、 共线，
89 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴四边形 的面积为 ；
（3）连接 ，由于 ，所以可将 绕点 顺时针方向旋转 ，得到 ，连接 ，过
点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，
∵将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
90 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形
的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键．
91 / 120
学科网（北京）股份有限公司6．（22-23八年级下·江苏南京·月考）（1）问题背景
如图甲， ， ，垂足为 ，且 ， ，求四边形 的面积．
小明发现四边形 的一组邻边 ，这就
为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过
程：
第一步：将 绕点 逆时针旋转 ；
第二步：利用 与 互补，
证明 三点共线，
从而得到正方形 ；
进而求得四边形 的面积．
请直接写出四边形 的面积为 ．
（2）类比迁移如图乙， 为等边 外一点， ， ，且 ，求四边形 的面
积．
（3）拓展延伸
如图丙，在五边形 中， ， ， ， ， ，求五边形
的面积．
【答案】（1）25（2） （3）24
【分析】（1）根据四边形 的面积等于正方形 的面积计算即可；
（2）如图乙中，延长 至 ，取 ，连接 ．只要证明 ，即可推出四边形
的面积等于 的面积；
（3）如图丙中，延长 至 ，连接 、 、 ．只要证明五边形 的面积等于四边形
92 / 120
学科网（北京）股份有限公司的面积即可．
【详解】解（1）由题可知 ．
故答案为25．
（2）如图，延长 至 ，取 ，连接 ．
等边 中， ， ，
，
四边形 中， ，
，
又 ， ，
，
， ．
，
，
为等边三角形且 ，
．
（3）如图，延长 至 ，连接 、 、 ．
， ， ，
，
．
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考
压轴题．
题型七 角度旋转问题
1．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）将一副直角三角板 和 如图放置，此时 ， ， ， 四
点在同一条直线上，点 在边 上，其中 ， ， ．将图中的
三角板 绕点 以每秒 的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板
，设旋转的时间为 秒．若在旋转过程中，三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行，则
的值为
【答案】6或9或18
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当
时，a为 ，第二种情况当 时，a为 ，第三种情况，当 时，a为 ，根据角度
转动速度分别求解t即可．
【详解】解：I．如图，当 时，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
a为
（秒），
II．如图，当 时，
，
，
a为 ，
（秒），
III． 如图，当 时，
此时 与 在同一条直线上，
a为 ，
（秒），
综上所述：三角板 的某一边恰好与 所在的直线平行， t的值为：6或9或18
故答案为：6或9或18
2．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知 ，射线 从 开始，绕点 逆时针旋转，
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学科网（北京）股份有限公司旋转的速度为每秒 ，射线 从 开始，绕点 顺时针旋转，旋转的速度为每秒 ， 和 同时
开始旋转，当射线 第一次与射线 重合时，射线 和 同时停止旋转，设旋转的时间为 秒．
(1)射线 和 重合时，求 的值．
(2)射线 与 重合时，求 的值．
(3)求 为何值时， ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或
【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解
决问题是关键．
（1）用 除以射线 的旋转速度求解即可；
（2）用 除以射线 和 的旋转速度和求解即可；
（3）分两种情况讨论：①射线 与 重合前；②射线 与 重合后，根据角度的和差关系列方程
求解即可．
【详解】（1）解： （秒）；
（2）解： （秒）；
（3）解：由题意可知， ， ， ，
，
，
①如图，射线 与 重合前，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ；
②如图，射线 与 重合后，
，
，
解得： ，此时射线 和 重合，
综上可知，当 时， 的值为 或 ．
3．（2025七年级上·全国·专题练习）已知 ， ，按如图①所示摆放，将 ，
边重合在直线 上， ， 边在直线 的两侧．
(1)保持 不动，将 绕点 旋转至如图②所示的位置，则 ________，
________；
(2)若 按每分钟5°的速度绕点 逆时针方向旋转， 按每分钟2°的速度也绕点 逆时针方向旋
转， 旋转到射线 上时都停止运动，设旋转时间为 分钟．求 的大小（用含 的整式
表示）．
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】本题主要考查角的计算，掌握角的和差计算是关键．情况不确定时，要注意考虑分类讨论．
（1）根据旋转角的性质求解即可；
（2）设旋转时间为 秒，当 与 相遇时，求出 ，分 时， 与 相遇前和
时， 与 相遇后两种情况计算即可；
【详解】（1） ， ，
97 / 120
学科网（北京）股份有限公司，
；
故答案是： ； ．
（2）设旋转时间为 秒，则 ， ，
，解得 ，
① 时， 与 相遇前， ，所以 ；
② 时， 与 相遇后， ，所以
．
4．（23-24七年级下·四川资阳·开学考试）如图1，点 ， ， 依次在直线 上，将射线 绕点 沿
顺时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度旋转（如图2），设
旋转时间为 （ ，单位秒）．
(1)当 时， ______°．
(2)在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 是由射线 、射线 组成的角（指大于 而不超过
的角）的平分线？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3) 或
【分析】本题考查了角的动态旋转问题，角的和差关系，角平分线的性质以及一元一次方程的应用．结合
98 / 120
学科网（北京）股份有限公司具体的角度关系，分情况建立一元一次方程是解题的关键．
（1）根据射线 、 的旋转速度和时间 ，分别计算出 与 的度数，再利用点 、 、
在直线 上这一条件，通过角的和差关系求出 的度数；
（2）分情况讨论：一是 旋转 位置后， 平分 ；二是另一种 平分 ．在每种情况下，
根据射线旋转速度和时间表示出相关角的度数，再利用角平分线性质（角平分线将角分成相等的两部分）
建立关于 的一元一次方程，求解并验证是否符合条件．
（3）分三种情况讨论 的情况：第一次 比 多转 ；第二次 比 多转
；第三次 比 多转 ．在每种情况下，根据射线旋转速度和时间表示出角的
度数，再根据 建立关于 的一元一次方程，求解后根据 的条件，舍去不符合的解．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
点 ， ， 依次在直线 上，
．
故答案为： ．
（2）解：存在，理由如下：
① 旋转一周的时间为 （秒），
，即 已经旋转 的位置，
若 平分 且 ，位置如图1：
此时 ，
，
，
平分 ，
，
99 / 120
学科网（北京）股份有限公司，
解得 ；
②若 平分 且 ，位置如图2：
此时 ，
，超过 的部分就是 ，
，
平分 ，
，
，
解得 ；
（3）解：①如图3，
当 第一次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，
②如图4，
100 / 120
学科网（北京）股份有限公司当 第二次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，
③如图5，
当 第三次达到 时， 比 多转了 ，
得： ，解得 ，不符合题意．
综上所述，当 时， 或 ．
题型八 画中心对称图形
1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知 和其内一点 ．
(1)求作 ，使 与 关于点 成中心对称；
(2)指出各对应边以及各对应角．
【答案】(1)见解析
(2)对应边为 和 ， 和 ， 和 ；对应角为 和 ， 和 ，
和
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点 、 、 关于点 的对称点是解题的
关键．
（1）连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使 ，连接 并延长至 ，使
101 / 120
学科网（北京）股份有限公司，然后顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：对应边为： 和 ， 和 ， 和 ．
对应角为： 和 ， 和 ， 和 ．
2．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ．
将 绕点A逆时针旋转 后得到 ．
(1)画出 ，点 的坐标为______；
(2)画出 关于点O对称的图形 ；
(3)连接 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，根据旋转的性质是
解题的关键．
102 / 120
学科网（北京）股份有限公司（1）根据旋转的性质确定 ，然后顺次连接即可画出图形，最后写出 的坐标；
（2）根据中心对称的性质确定 ，然后顺次连接即可画出图形．掌握中心对称的性质是解题的
关键；
（3）由旋转的性质易证 是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
由图可得 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：由旋转的性质可得 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知 的顶点 在格点上，在网格中按下列要求作
图：
103 / 120
学科网（北京）股份有限公司(1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ；
(2)作出与 关于点 成中心对称的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形．
（1）根据旋转的性质分别作出A、B的对应点 ，再顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A、B、C的对应点 ，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示， 为所作图形；
（2）解：如图所示， 为所作图形．
4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）（1）画出 关于直线 成轴对称的图形；
（2）画出四边形 关于点O成中心对称的图形．
104 / 120
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】本题考查了画轴对称图形，画中心对称的图形．
（1）根据轴对称作图方法作图即可；
（2）根据中心对称图形的作图方法作图即可；
【详解】解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示，四边形 即为所求．
题型九 说出一个图形到另一个图形的变换过程
1．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（ ）
A．只需经过两次轴对称变换
B．只需经过两次中心对称变换
C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换
105 / 120
学科网（北京）股份有限公司D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换
【答案】B
【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可．
【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称
均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转
，明确两者的概念是解题的关键．
2．（18-19九年级上·全国·单元测试）以如图（1）（以 为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，
分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点 旋转 ，再向右平移一个单位；
④绕着 的中点旋转 即可．
【答案】②③④
【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点 旋转 ，再向右平移一个单位，
或绕着 的中点旋转 即可得到图（2）．
故答案为：②③④．
3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就
是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做
了如下探索：
106 / 120
学科网（北京）股份有限公司(1)如图①在方格纸上作 ，作 关于直线m对称的 ，再作 ，关于直线n对称的
， ，发现 ，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什
么？请你画图并写出小明发现的结论．
(2)如图②在方格纸上作 ，作 关于直线m对称的 ，再作 关于直线n对称的
， ，发现 ，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什
么？请你画图并写出小明发现的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形
绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与
另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新
图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
（1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答；
（2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答．
【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换；
（2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺
107 / 120
学科网（北京）股份有限公司时针（或逆时针）旋转 （中心对称变换）．
4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长
度， 和 的顶点均在格点上，且 ．
(1)画出 关于直线 对称的 ．
(2)画出 ，使 与 关于点 成中心对称．
(3) 与 是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心．
(4)写出一种由 经过轴对称、平移和旋转变换得到 的过程．
【答案】(1)见解析
(2)是轴对称图形，对称轴见解析
(3)见解析
(4)见解析，答案不唯一．
【分析】本题主要考查作图—平移变换、轴对称变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变
换和旋转变换的定义和性质．
108 / 120
学科网（北京）股份有限公司（1）分别作出三个顶点关于直线x的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）由图形可得其对称轴；
（4）结合图形，对照平移变换、轴对称变换和旋转变换的概念求解即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求
（2）如图所示， 即为所求，
（3） 与 是轴对称图形，对称轴如图所示
（4）将 以点B为旋转中心，逆时针旋转 后，再向右平移6个单位得到 ．
109 / 120
学科网（北京）股份有限公司题型一 旋转的综合运用
1．（25-26九年级上·江苏·假期作业） 如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，点 在以
为圆心， 为半径的圆上， 关于 的对称点为 ．连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ．连
接 ．则 的最小值是（ ）
A．14 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握
点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键．
根据题意，轴对称，旋转的性质得到点 关于点 的对称点 坐标为 ，点 在以点 为圆心， 为
半径的圆上，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，找到 与 的关系，由此得到 的最小值是
的最大值，最后数形结合分析即可求解．
【详解】解：∵点 ， ，
∴点 关于点 的对称点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ，
∵点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 关于 的对称点为 ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
如图，连接 ，
110 / 120
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，
∴ ，
将 绕点 逆时针旋转 得 ，则 ，
∴ 与 轴的负半轴的夹角为 ，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∴当点 在 上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得：
点 在 上逆时针运动，点 在 上顺时针运动，
连接 ，
∴ ，
∵点 ， 的运动方向不同，
∴线段 与线段 的关系是：相交（如图 ）与平行（如图 ），
111 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴如图 ，当 时，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，
当 ， 时， ，
∴ 最大时， 的值最小，
∴当 时， 的值在四边形 是平行四边形时最大，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
2．（25-26七年级上·重庆·月考）如图1，点 在直线 上， ，射线 平分 ，
若 ．
(1)求 的度数；
(2)如图2， 的两边 ， 分别与射线 ， 重合，现将 绕点 以每秒 的速度顺时
针方向旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运动，设运动时间为 秒．
①在运动过程中，若射线 为 的平分线，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②如图3，在 运动的同时，射线 从射线 开始，绕着点 以每秒 的速度逆时针方向旋转，
当射线 与射线 重合时，立即以原速反方向顺时针方向旋转，当 停止运动时，射线 也停止
运动．当 时，请直接写出的值．
112 / 120
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)① 或
② 或 或
【分析】本题考查了角的倍分计算，一元一次方程的应用，角的平分线，熟练掌握解方程，角的关系是解
题的关键．
（1）设 ，则 ，从而得 ，又由射线 平分 ，
得 ,结合 ，构造一元一次方程求解得 ，进而求
出 的度数；
（2）①设运动时间为 ，则 ， ， ，
故 ，当 时， ；当 时，
解答即可；
②设运动时间为 ，则 ， ， ，分类计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∵射线 平分 ，
∴ ,
∵ ，且 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）①设运动时间为 ，则 ， ， ，
113 / 120
学科网（北京）股份有限公司故 ，
∵射线 为 的平分线，
∴ ，
当 时，如图所示，
根据题意，得 ,
此时 ，
∴
∴ ，
∴ ；
当 时，如图所示，
根据题意，得 ,
设运动时间为 ，则 ， ， ，
此时 ，
故 ，
114 / 120
学科网（北京）股份有限公司∵射线 为 的平分线，
∴ ，
此时
∴
∴
∴ ，
∴ ；
②解：设运动时间为 ，则 ， ， ，
当 时，如图所示，
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
整理，得 ，
解得 ；
当 时，如图所示，
则 ， ， ，
115 / 120
学科网（北京）股份有限公司∴ ∴ ，
∵ ，
∴
整理，得 ，
解得 ；
如图所示，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得 ；
综上所述，当运动时间为 或 或 成立．
3．（25-26八年级上·广东广州·期中）汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满
足：
116 / 120
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，已知 ， ，则 ______；
(2)如图2，点 从点 出发，以每秒1个单位长度沿 轴正半轴运动；与此同时，点 从点 出发，以每
秒2个单位长度沿 轴正半轴运动；点 从点 出发，以每秒2个单位长度沿 轴负半轴运动．连接 ，
将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 交 轴于点 ．当 时，求运动时间 ．
(3)如图3，已知 ，点 是 中点，过点 作直线 轴，点 是直线 上的动点，连接
，作 ，且 ，若 达到最小，且最小值为 时，求此时 的值．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是作垂线构造全等三角形．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）过点D作 轴于点E，可证明 ，得 ，再证明 ，得
，在 中由勾股定理可求出 的值．
（3）过点作 轴于点 ，可证明 ，可证得 ，点 在平行于 轴，且到
轴的距离为 的直线 上，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，得 ，由勾
股定理可求出 的值．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）
由已知可得 ， ，
过点D作 轴于点E，
∵将 绕点 逆时针旋转 至 ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中 ，
∴
∴
∴ （负值舍去）．
答：当 时，运动时间为 ．
（3）
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为 的中点，
∴ ．
作 轴于点 ，
∵ ，且
又∵
∴
∴
∴ ，
∴
∴点 在平行于 轴，且到 轴的距离为 的直线 上
作点 关于直线 的对称点
则有 ，
∴
∴连接 ， 与直线 的交点时 最小
在 中
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ （负值舍去）
答：若 达到最小，且最小值为 时，此时 的值为2．
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