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第三章 变量之间的关系
3.3 用图象表示的变量间关系
基础篇
一、单选题
1．（2023春·七年级课时练习）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，
木条AC自由转动至 位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
A． 的度数 B．BC的长度 C． C的面积 D．AC的长度
【答案】D
【分析】根据常量和变量的定义进行判断．
【详解】解：木条AC自由转动至 位置中，
AC的长度始终保持不变，
∴AC的长度是常量；
故选：D
【点睛】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．
2．（2021秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留
几分钟后骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为
，他与自家距离为 ，则s与t的关系图大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A【分析】根据小刚取车的整个过程共分三个阶段：慢匀速步行，图象是坡直线，然后休息
反应时间变化路程不变，再快匀速骑自行车，图像是陡直线，且最后路程为0即可．
【详解】解：小刚取车的整个过程共分三个阶段：
①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；
②在同学家逗留期间，s不变；
③骑车返回途中，速度是徒步速度的3倍，s随t的增大而减小，并且比徒步时的直线更陡；
只有A选项符合，
故选：A．
【点睛】本题考查图象识别，掌握运动的特征和表示的意义是解题关键．
3．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：
（1）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时
间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的
汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（
）
A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④②
【答案】A
【分析】根据题干对应图像中变量的变化趋势即可求解．
【详解】解：（1）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故③图象符合要
求；
（2）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故④图象符合要求；
（3）足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，故①图象符合要求；
（4）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故②图象符合要求；
正确的顺序是③④①②．
故选：A．
【点睛】本题考查用图像表示变量之间的关系，关键是将文字描述转化成函数图像的能力．
4．（2022春·江西九江·七年级统考期中）小华家距离县城15km，星期天8：00，小华骑自
行车从家出发，到县城购买学习用品，小华与县城的距离y（km）与骑车时间x（h）之间
的关系如图所示，给出以下结论：①小华骑车到县城的速度是15km/h；②小华骑车从县城
回家的速度是13km/h；③小华在县城购买学习用品用了1h；④B点表示经过 h，小华与县城的距离为15km（即小华回到家中），其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据函数图象中横、纵坐标的含义以及速度、路程和时间的关系解答即可．
【详解】解：①由图象知，小华骑车到县城的距离是15km，时间是1h，则速度是
15km/h，故正确；
②由图象知，小华骑车从县城回家的距离是15km，时间是： ，则速度是：
，故正确；
③由图象知，纵坐标为0的时间段是1−−2，则小华在县城购买学习用品用了1h，故正确；
④由图象知，B点表示经过 ，小华与县城的距离为15km（即小华回到家中），故正确；
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．
【点睛】本题考查了函数图象．需要学生掌握由图象理解对应函数关系及其实际意义．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修
车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述了他上学的情景，下列说法中
错误的是（ ）
A．自行车发生故障时离家距离为1000米
B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟
D．修车时间为15分钟
【答案】D
【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程、时间，作出判断．
【详解】A、自行车发生故障时离家距离为 米，正确；B、学校离家的距离为 米，正确；
C、到达学校时共用时间 分钟，正确；
D、由图可知，修车时间为 分钟，可知D错误．
故选：D．
【点睛】此题考查了学生从图象中获取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的
“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
6．（2023秋·山东菏泽·六年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考期末）如图，一只兔子
和一只小狗从同一地点出发．下面说法正确的是（ ）
A．小狗的速度始终比兔子快
B．整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同
C．在前3秒内，小狗比兔子跑得快
【答案】B
【分析】由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，即可判定A、C，根据小狗与兔子同
时出发，同时到达，即可判定B．
【详解】解：由图可知：在前3秒内，小狗比兔子跑得慢，故A、C错误；
由图可知：小狗与兔子同时出发，8分钟时都跑了8米，
故整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同，故B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用图象解决问题，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．
二、填空题
7．（2023·全国·七年级专题练习）如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量 （升）与摩
托车行驶路程 （千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行
驶___千米，每行驶100千米耗油___升．【答案】 10 500 2
【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，
x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出
每行驶100千米消耗汽油升数．
【详解】解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100
千米耗油2升．
故答案为：10，500，2．
【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图1，点P从 的顶点B出发，沿 匀速
运动到点A，图2是点P运动时，线段 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲
线部分的最低点，则 边上的高长为_________．
【答案】4
【分析】根据题意，当点P从B运动到A的过程中， 由0开始增大，到C时最大为5；
当点P从C运动到A的过程中， 的长度先减小，当 时达到最小，最小值为4，
然后又增大，进而可求解．
【详解】解：根据题意，结合图1和图2，
当点P从B运动到A的过程中， 由0开始增大，到C时， 最大为5；当点P从C运
动到A的过程中， 的长度先减小，当 时达到最小，最小值为4，然后又开始增
大，则 边上的高长为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查图象的理解和应用，把图形和图象结合理解得到线段长度的变化是解答的关键．
9．（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练
习）一港口受潮汐的影响，某天 小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安
全，只有当船底与水底间的距离不少于 米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与
水面的距离）为 米的轮船进出该港的时间最多为（单位：时） ______小时．
【答案】
【分析】从图像上找到当水深为 米的两个时间相减即可得到本题的答案．
【详解】解： 当船底与水底间的距离不少于 米时，才能进出该港．
水深度 即船底与水面的距离 为 米的轮船在水深为 米时才可以通航，
从图像可知水深为 米的时间为 时和 时，
进出该港口的时间为 小时，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念．
10．（2023春·七年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里
锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的
距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家
的平均速度是_____千米/小时．
【答案】
【分析】结合图象，可得出体育场离张强家的距离为第一段图象所对应的 轴的最高点；
进而得出在体育场锻炼的时间；根据图象，可得出早餐店离张强家为 千米，所用时间为
分钟，注意要将单位转化为小时，再根据“平均速度=总路程 总时间”，即可得出结
果．【详解】解：由图象得：体育场离张强家的距离 千米，张强在体育场锻炼的时间为：
分钟，
∵早餐店离张强家为 千米，
又∵张强从早餐店回家所用时间为： 分钟，
即 分钟= 小时，
∴张强从早餐店回家的平均速度为： 千米/小时．
故答案为： ； ；
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
三、解答题
11．（2022春·陕西汉中·七年级统考期末）某种车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量
（升）与车行驶路程 （千米）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)这种车的油箱最多能装______升油；
(2)加满油后可供该车行驶______千米；
(3)该车每行驶200千米消耗汽油______升；
(4)油箱中的剩余油量小于10升时，车辆将自动报警，行驶多少千米后，车辆将自动报警？
【答案】(1)50
(2)500
(3)20
(4)当车辆行驶400千米后，车辆将自动报警
【分析】（1）当x=0时，y的值就是这种车的油箱的最大容量；
（2）当y=0时，x的值就是该车行驶的行驶里程；
（3）观察图象可知，该车每行驶200千米消耗汽油20升；
（4）观察图象可知，行驶400千米后，车辆将自动报警．
（1）解：这种车的油箱最多能装50升油；
（2）解：加满油后可供该车行驶500千米；
（3）解：∵50-30=20（升）∴该车每行驶200千米消耗汽油20升；
（4）解：∵由图可知，当 时， ，∴油箱中的剩余油量小于10升时，车辆将自动报警，行驶400千米后，车辆将自动报警．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，从一次函数的图象上获取正确的信息是解题关键．
12．（2023春·七年级课时练习）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图
书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问
题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？
【答案】（1）3千米，6千米；（2）40分钟；（3）4.5千米每小时
【分析】（1）观察图象即可得出结论，最远距离是在第60分钟，根据图象可知第120分
钟与图书馆的距离为0，据此可知共跑了多少千米；
（2）观察图象平行于横轴的线段，距离没有发生变化，根据时间差即可求得停留时间；
（3）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在CD路段内的跑步速度
【详解】（1）由图象知，甲同学离图书馆的最远距离是3千米，他在120分钟内共跑了6
千米；
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）CD路段内的路程为 千米，
所用的时间为 小时，
所以甲同学在CD路段内的跑步速度是 千米每小时．
【点睛】本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·七年级课时练习）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运
动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP与△ABP的周长的差为__________。
【答案】5.5
【分析】由图2及题意可得 、 、 及 的长，当线段 最短时， ，此
时由勾股定理可求得 的长，从而可分别求得 及 的周长，最后可求得这两
个三角形周长的差．
【详解】解： 从图2可以看出：
，
当线段 最短时， ，此时， ，
的周长 ，
的周长 ，
故： 与 的周长的差为5.5，
故答案为：5.5．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理，读懂y与x之间的关系图，进而得 、 、
及 的长是解题的关键．
2．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两车在某时间段内速度随时间变化的
图象．下列结论：
①甲的速度始终保持不变；
②乙车第12秒时的速度为32米/秒；
③乙车前4秒行驶的总路程为48米.
其中正确的是_______________．（填序号）
【答案】②③.
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【详解】（1）从图像可以看出甲的速度从0加速到32米/秒，速度在变化，故①错误；
（2）从图像可以看出乙在第12秒时速度为20米/秒，故②正确；（3）乙车前4秒行驶的路程为： （米）故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．要注意坐标系中y轴表示速度．
3．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的图象如图所示，则慢车
比快车早出发______小时，快车追上慢车行驶了______千米，快车比慢车早______小时到
达B地．从A地到B地快车比慢车共少用了______小时.
【答案】 2 276 4 6
【分析】根据横纵坐标的意义，分别分析得出即可．
【详解】由图象直接可得出：一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时
间的图象如图，
则慢车比快车早出发2小时，快车追上慢车行驶了276千米，快车比慢车早4小时到达B
地，从A地到B地快车比慢车共少用了18-(14-2)=6小时．
故答案为2，276，4，6．
【点睛】此题主要考查了函数图象，从图象上获取正确的信息是解题关键．
4．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．
图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y 表
1
示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
2
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①③④
【详解】根据图象可知：
龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；
乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；
y =20x﹣200（40≤x≤60），y =100x﹣4000（40≤x≤50），当y =y 时，兔子追上乌龟，
1 2 1 2
此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，
y =y =750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确，
1 2
综上可得①③④正确.
5．（2023春·全国·七年级专题练习）某市出租车收费与行驶路程关系如图所示．如果小明
姥姥乘出租车去小明家花去了 元，那么小明姥姥乘车路程为__________千米．
【答案】13
【详解】设AB的解析式为y=kx+b，由题意，
得 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y=1.6x+1.2（x≥3），
当y=22时，22=1.6x+1.2，
解得：x=13，
故答案为13．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求
自变量的值的运用．解答时求出函数的解析式是关键．
6．为了锻炼身体，强健体魄，小明和小强约定每天在两家之间往返长跑20分钟. 两家正
好在同一直线道路边上，某天小明和小强从各自的家门口同时出发，沿两家之间的直线道
路按各自的速度匀速往返跑步，已知小明的速度大于小强的速度. 在跑步的过程中，小明
和小强两人之间的距离y（米）与他们出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，在他们
3次相遇中，离小明家最近那次相遇时距小明家____米．【答案】300
【详解】如图：
由图可知，两人相距2400米，在①段上，两人相向而行5分钟后，两人第一次相遇，在②
段上两人背向而行，8分钟时，小明首先到达小明家，所以小明的速度为2400÷8=300米\分，
则小强的速度为2400÷5-300=180米\分，③段上表示小强到达小明家往回返，④段表示小
强小明相向而行，第二次相遇，⑤段表示第二次相遇后小明继续往家的方向跑，小强相反，
⑥段表示小明到家后往回返，此时和小强同向，然后第三次相遇．所以第二次相遇时距离
小明家最近，此时，两人跑步的时间为2400×3÷（300+180）=15分，则小明距家2400×2-
300×15=300米.
二、解答题
7．（2023春·七年级单元测试）小华在暑假社会实践过程中，以每千克0.5元的价格从批
发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价
0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示，请你根据图象提供
的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的关系式？
(2)小华从批发市场共购进多少千克西瓜？
(3)小华这次卖瓜赚了多少钱？【答案】(1) y=1.6x； (2) 小华从批发市场共购进50千克西瓜；(3) 小华这次卖瓜赚了36
元钱
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx，把已知坐标代入解析式可解；
（2）降价前西瓜售价每千克1.6元．降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元，故可求出降价后
销售的西瓜；
（3）根据“利润=销售总额-成本”进行解答即可．
【详解】（1）设函数的解析式是y=kx，把x=40，y=64代入得：40k=64，
解得k=1.6．
则函数的解析式是y=1.6x．
（2）∵价前西瓜售价每千克1.6元．降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元．
降价后销售的西瓜为（76-64）÷1.2=10（千克）
∴小华从批发市场共购进50千克西瓜．
（3）76-50×0.8=76-40=36（元）．
即小华这次卖瓜赚了36元钱．
【点睛】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，关键是根据y与x的函数关
系式解答．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，
在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
(1)A，B两城之间距离是多少？
(2)求甲、乙两车的速度分别是多少？
(3)乙车出发多长时间追上甲车？
(4)从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距 ？
【答案】(1)A、B两城之间距离是300km；(2)甲、乙两车的速度分别是60km/h和100km/h；
(3)乙车出发1.5h追上甲车；
(4)分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40km．
【分析】（1）根据图象即可得出结论；
（2）根据图象求甲、车两车速度；
（3）由题意列方程解决问题；
（4）分两车相遇前和相遇后以及乙到达B城三种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：由图象可知A、B两城之间距离是300km；
（2）解：由图象可知，甲的速度= =60（km/h），
乙的速度= =100（km/h），
∴甲、乙两车的速度分别是60km/h和100km/h；
（3）解：设乙车出发xh追上甲车，
由题意：60（x+1）=100x，
解得：x=1.5，
∴乙车出发1.5h追上甲车；
（4）解：设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40km时甲车
行驶了mh，
①当甲车在乙车前时，
得：60m-100（m-1）=40，
解得：m=1.5，
此时是上午6：30；
②当甲车在乙车后面时，
100（m-1）-60m=40，
解得：m=3.5，
此时是上午8：30；
③当乙车到达B城后，
300-60m=40，
解得：m= ，
此时是上午9：20．
∴分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40km．
【点睛】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实
际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程．9．（2023春·七年级课时练习）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小
时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸
爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程 与小明离家时间 的关
系图，请根据图回答下列问题：
(1)图中自变量是____________，因变量是____________；
(2)小明家到滨海公园的路程为______________km；
(3)小明从家出发____________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车经过_____________小时追
上小明．
【答案】(1)时间t； 离家路程s
(2)30
(3)2.5；
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据即可得到路程；
（3）根据图象直接可得到爸爸驾车出发的时间；先算出小明坐公交车到滨海公园的平均速
度和爸爸驾车的平均速度，设爸爸出发后xh追上小明，根据在x这段时间内，爸爸通过的
路程比小明乘公交车通过的路程多12km列出方程，解方程即可．
【详解】（1）由图可得，自变量是时间t，因变量是离家路程s；
故答案为：时间t；离家的路程s．
（2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km；
故答案为：30．
（3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
爸爸驾车的平均速度为 ，
小明乘公交车的平均速度为： ，
设爸爸出发后xh追上小明，根据题意得：，解得： ．
故答案为：2.5； h．
【点睛】本题考查了路程时间的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚
图象的意义是解答此题的关键．
