文档内容
优秀领先 飞翔梦想
第4课时 黄金分割
教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联
系对人类历史发展的作用.
教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比
如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就
研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算 、 ,它们的值相等
吗？
［生］相等.
［师］所以 .
1.黄金分割的定义
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割
（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中 ≈0.618.
2. 计算黄金比.
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解：由= ，得∴AC2=AB·BC.
设AB=1,AC=x,则BC=1- x.
∴x2=1×（1－x）
∴x2+ x －1=0
解这个方程，得
x=或x=（不合题意，舍去） ，
1 2
所以，黄金比=≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD= AB.
（2）连接DA，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足 .下面
请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD= AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+ ）2=12+（ ）2
∴x2+x+ =1+
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
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∵AC为线段长，只能取正
∴AC= ≈0.618
∴ ≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的
宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现， ,点E是AB的黄金分割点吗？
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为 ,所以 ,即 ,因
此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅳ.课后作业
习题4.8
Ⅴ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来
确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB
的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如
果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点
D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续
试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方
法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，
既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
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