2.7第2课时二次根式的运算2_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_03教案_全册教案3（赠送）

2.7 二次根式 第2课时 二次根式的运算 【上节知识回顾】 1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“ ”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。 如 ， 等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算； （2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方 而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有 理数或有理式就叫做二次根式的系数； （3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其 中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“ ， ”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。 2．二次根式的主要性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4）积的算术平方根的性质： ； （5）商的算术平方根的性质： ； （6）若 ，则 。 3．注意 与 的运用。 【新授】 一、二次根式的乘法 一、复习引入 1．填空 （1） × =_______， =______； 4 9 49 （2） × =_______， =________． 16 25 1625 （3） × =________， =_______． 100 36 10036 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． × _____ ， × _____ ， × ________ 4 9 49 16 25 1625 100 36 10036 第 1 页 共 5 页一般地，对二次根式的乘法规定为 · ＝ ．（a≥0，b≥0） a b ab 反过来: = · （a≥0，b≥0） ab a b 例1．计算 （1） × （2） 1 × （3） × （4） 1 × 5 7 9 9 27 6 3 2 例2 化简 （1） （2） （3） （4） （5） 916 1681 81100 9x2y2 54 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (4)(9)  4 9 （2） 12 × =4× 12 × =4 12 × =4 =8 4 25 25 25 12 3 25 25 25 二、二次根式的除法 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 =________， 9 =_________； （2） 16 =________， 16 =________； 16 16 36 36 （3） 4 =________， 4 =_________； （4） 36 =________， 36 =________． 16 16 81 81 规律： 9 ______ 9 ； 16 ______ 16 ； 4 _______ 4 ； 36 _______ 36 ． 16 16 36 36 16 16 81 81 一般地，对二次根式的除法规定： a = a （a≥0，b>0）， 反过来， a = a （a≥0，b>0） b b b b 例1．计算：（1） 12 （2） 3 1 （3） 1 1 （4） 64   3 2 8 4 16 8 例2．化简： （1） 3 （2） 64b2 （3） 9x （4） 5x 64 9a2 64y2 169y2 第 2 页 共 5 页例3．已知 9x 9x ，且x为偶数，求（1+x） x2 5x4 的值．  x6 x6 x2 1 三、分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互 为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式； (3)这两个代数式的积不含有二次根式； (4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。 ①单项： （单项二次根式的有理化因式是它本身）； ②两项： （平方差公式）。 在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一 般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分 母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分． 例1. 判断题：(1) 的理化因式是 (2) (3) 的有理化因式 例2. 将 进行分母有理化 例3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简： 1 1( 21) 21 = = -1，  2 21 ( 21)( 21) 21 1 1( 3 2) 3 2 = = - ，  3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) 32 同理可得： 1 = - ，…… 4 3 4 3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 1 + 1 + 1 +…… 1 ）（ +1）的值． 2002 21 3 2 4 3 2002 2001 第 3 页 共 5 页把形如 的式子分母有理化，可以应用以下三种方法： （1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即 ； （2）逆用关系式 ，把分子与分母中的公因式直接约分，得 ； （3）逆用关系式 ，再根据二次根式的除法法则进行约分，即 练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． 四、二次根式的加减 1计算下列各式． （1）2 +3 （2）2 -3 +5 （3） +2 +3 （4）3 -2 2 2 8 8 8 7 7 97 3 + 3 2 二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。 合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 例1.计算：(1) (2) 例2．计算 （1）3 -9 1 +3 （2）（ + ）+（ - ） 48 12 48 20 12 5 3 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 +y2 x ）-（x2 1 -5x y ）的值． x 9x 3 y3 x x 例4．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度 向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后 △PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 第 4 页 共 5 页C Q A P B xb xa x1 x 例 5．已知 =2- ，其中 a、b 是实数，且 a+b≠0，化简 + a b x1 x x1 x ，并求值． x1 x 五、 二次根式运算中的技巧 例1：计算 (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2的值． 1 1 (2)已知 x＋ ＝－3，求 x－ 的值． x x 例2：化简： 例3：化简： 第 5 页 共 5 页