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2.7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
重点难点提示
本单元重点是二次根式的重要性质： ，它是二次根式化简和运算的重要依据。
1．二次根式的重要性质：
要注意以下问题：
（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。而 是表示算术根，所以
（非负数），即 ，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号
时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定，要对其进行讨论 。
（2）应用公式 化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成
的形式，然后再去绝对值符号。
2． 的区别
（1）a的取值范围不同： 中的a必须是非负数。
中的a可以是任何实数。
（2）运算顺序不同， 表示对非负数a先开方，再平方。而 表示对实数a先平方，再
开方。
第 1 页 共 4 页知识点精析
例1．判断下列各式是否正确
(1) (2)
(3) (4)
(5)
解：根据二次根式 知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。
例2．化简
(1) (2) (-10, ∴
(2) ∵ -10, x-8<0.
∴
=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.
(3) ∵ 00 , ∴ a,b 同号，
又∵ a+b=-6<0, ∴ a<0, b<0
∴
.
说明：此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视。否则会出现错误。
第 3 页 共 4 页例4．化简：
解：原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5|
令x-6=0，得 x=6，令1+2x=0，得 ，
令x+5=0，得x=-5.
这样x=6, , x=-5，把数轴分成四段（四个区间）在这五段里分别讨论如下 ：
当x≥6时，原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2.
当 时，原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10.
当 时，原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12.
当x<-5时，原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2.
说明：利用公式 ，如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定 ，则需要讨
论。方法是：令每一个绝对值内的代数式为零，求出对应的“零点”，再用这些“零点”把数轴分
成若干个区间，再在每个区间内进行化简。
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