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第 26 课 图形的相似 单元综合检测
一、单选题
1．已知 ＝5，则 的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
【答案】A
【分析】由 =5，可得b=5a，然后代入 ，即可求出其值．
【解析】解： ，
，且 ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a与b的关系，再确
定a-b与a+b的关系．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且 ，若AB＝2，则BC＝（ ）
A． B． C． －1 D．
【答案】A
【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，
∴ ，
∴BC=AB-AC=3- ，
故选：A．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（ ）A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解析】∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
4．已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】根据相似多边形的性质得最长边的长为三角形的周长× ，依此列式计算即可求解．
【解析】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，
∴它的最长边的长为36× =16．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．
5．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，
她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】如图：
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴1：4=1.5：BE，
∴BE=6m．
∴树的高度为6m．
故选B.
6．如图所示，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ，
其中单独能够判定 的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解
答.
【解析】解：：①∵ ，∠A为公共角，∴ ；
②∵ ，∠A为公共角，∴ ；
③虽然 ，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；
④∵ ，∴ ，又∵∠A为公共角，∴ ．
综上，单独能够判定 的个数有3个，故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
7．如图， 和 是位似图形，点 是位似中心，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点．
若 的面积为 ，周长为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的面积为 B． 的面积为
C． 的周长为 D． 的周长为
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质，线段中点的意义求解即可.
【解析】∵ 和 是位似图形，点 是位似中心，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，
∴ 和 是位似比为1:2，
∵位似图形的周长之比等于位似比，
∴ 的周长为 ，
∵位似图形的面积之比等于位似比的平方，
∴ 的周长为 ，故选C.
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟记位似图形的基本性质是解题的关键.
8．如图，在 中， ，中线 ， 相交于点 ． ，交 于点 ． ，
则 的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【分析】首先根据GE∥CD得到 AGF∽△ADC、 FEG∽ FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的
中线性质得出结果． △ △ △
【解析】解：∵GE∥CD，
∴ AGE∽△ADC， FEG∽ FBD，
△ △ △
∴ ，
∴ ,
又∵BD=CD，
∴ ，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角 ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2△AD=12，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题
的关键．
9．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点
F，点G，若BE平分AC，则 ＝（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行得内错角相等，由相似三角形判定可得 ，再由相似三角形的的性质
得 ，再根据全等三角形的判定得 ，即 ，设 ，即
，可得 ，根据线段边的关系得 ， ， ，即可得出最后
的结果．
【解析】如图：
∵ ， 为 边上的高线，
∴ 且 ， ， ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形和全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
10．如图，将正方形纸片 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上，点 的对称点为点 ，
交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 下列四个结论中：① ∽ ；②
；③ 平分 ；④ ，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明
△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S CEG=S BEC+S CDG＞S BEC+S CDQH，可得②不
四边形
△ △ △ △正确；③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，
HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以
∠ECG=∠ECM+∠GCM= ∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2-EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，
M，H，C四点共圆，所以∠HMC=∠HEC=45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，这样，
∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ•GD，从而说明④成立．
【解析】 四边形 是正方形，
．
由折叠可知： ， ．
，
，
，
．
，
．
，
．
∽
故 正确；
过点 作 于 ，
由折叠可得： ，
，
，
，
在 和 中，
，
．
≌， ．
，
，
≌
，
，
不正确；
由折叠可得： ，
，
，
，
即 平分 ．
正确；
连接 ， ， ，如图，
， ，
≌ ， ≌ ，
，
，
．
．
由折叠可得： ，
．
．由折叠可知： ．
．
， ，
，
， ， ， 四点共圆，
．
在 和 中，
，
．
≌
，
，
，
，
．
，
，
∽
，
，
．
正确；
综上可得，正确的结论有： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性
质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关
键．二、填空题
11．在比例尺为 的某市旅游地图上，某条道路的长为 ，则这条道路的实际长度为______ ．
【答案】
【分析】根据比例尺 图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解析】解：设这条道路的实际长度为 ，则：
，
解得 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
12．已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点，且 ，则 ____ ．
【答案】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，
其比值是一个无理数，用分数表示为 ，据此解题．
【解析】∵点 是线段 的黄金分割点，且 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．已知，如图，在 中， ，且 ．若 ，则 __________，
__________．【答案】 2 3
【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例，由 得到 ，由 得到 ，即
．
【解析】
解：证明： ，
，
而 ，FG=1，
∴ ，即 ，
，
，即 ，
故答案为：2，3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角
形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对
应成比例．
14．如图，在 与 中， ， ， ， 交 于点D，给出下列结论．①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是__________（填写
正确结论的序号）．【答案】①③④
【分析】根据SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根据等边对等角推出即可①正确； 不正确，
采用反证法，假设 ，可以证明△ACF≌△AFD，即可证明∠DAF=∠CAF，由题意无法得出此结论，
判断②错误；根据∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判断③正确；根据△AEF≌△ABC，
得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根据相似三角形性质得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判断
④正确
【解析】解：在△AEF和△ABC中
∵ ，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴①正确；
不正确，理由是：假设 ，
∵△AEF≌△ABC
∴∠AFD=∠C，AF=AC，
∴△ACF≌△AFD，
∴∠DAF=∠FAC，
原题中无AF为∠BAC平分线这一条件，
∴②错误；
∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，
∴△ADE∽△FDB，
∴③正确；
∵△AEF≌△ABC，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，
∴∠EAD＝∠CAF，
∵△ADE∽△FBD，
∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，
∴④正确；故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知
识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定△AEF≌△ABC是解题关键．
15．如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有
一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长
是_________里．
【答案】8
【分析】设这座方城每面城墙的长为 里，根据题意得到 ， ，根据相似三角
形的性质即可得到结论．
【解析】解：设这座方城每面城墙的长为 里，
由题意得， ， ， ， 里， 里，
，
，
，
，
，
答：这座方城每面城墙的长为8里，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与 ，B与
是对应顶点．已知 ，则 的长为________．【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【解析】解：∵△ABC与△ABC 是位似图形，坐标原点O为位似中心，A（-6，2），A（3，-1），
1 1 1 1
∴△ABC与△ABC 的相似比为： ，
1 1 1
∵BC=5，
∴BC 的长为：5× = ，
1 1
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
17．如图，在等腰 中， ，点 在 的延长线上， ，点 在 边上， ，
则 的值是_____．
【答案】
【分析】过点P作 交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证 ，再证 ，可得 ，再利用平行线分线段成比例得 ，结合线段的等量关系及比
例的性质即可得到结论．
【解析】如图：过点P作 交DC延长线于点E，
在 和 中故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键
是正确作出辅助线，列出比例式．
18．如图，线段 ，射线 于点 ，射线 于点 ，点 为 的中点， 为射线
上一动点，将 沿 翻折得到 ， 、 的延长线分别交射线 、 于点 、 ，连接
．请探究下列问题：
（1） 的值为______；
（2）当 ∽ 时， ______．
【答案】 36
【分析】（1）由折叠的性质得出 ， ， ，证明 △ ，
得出 ， ，证明 ，得出比例线段 ，则可得出答案；
（2）由相似三角形的性质求出 ，由直角三角形的性质可得出答案．
【解析】解：（1） 点 为 的中点， ，
，
， ，
，
将 沿 翻折得到△ ，， ， ，
，
在 和 △ 中，
，
△ ，
， ，
，
， ，
，
，
，
；
故答案为：36；
（2）当△ △ 时，
，
由（1）知 ， ，
，
，
，
为 的垂直平分线，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题
19．已知线段a、b、c满足 且 ．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（ ），求线段x的长．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）设 ，则 ， ， ，再代入 解方程求出 的值，由此
即可得；
（2）根据比例中项的定义可得一个关于 的方程，解方程即可得．
（1）解：设 ，则 ， ， ， ， ，解得 ，
则 ， ， ．
（2）解： 线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ， ，解得 或 （舍
去），经检验， 是所列分式方程的解，即线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．
20．如图，l∥l∥l，AD＝2，DE＝4．
1 2 3
(1)AB＝3，求BC；(2)EF＝7.5，BE的长．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式 ，计算求解即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式 ，计算求解即可．
(1)
解：∵l∥l∥l，
1 2 3
∴ ，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴ ，
解得BC＝6，
∴BC的长为6；
(2)
解：∵l∥l∥l，
1 2 3
∴ ，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴ ，
解得BE＝5，
∴BE的长为5．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键在于熟练掌握平行线分线段成比例定理．
21．如图，在 中，点D在BC边上，点E在AC边上，且 ， ．求证：【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质由AB=AD推出根 ，由题意可知 ，进而根据相
似三角形的判定定理进行证明即可．
【解析】∵AB＝AD
∴∠B＝∠ADB
∵∠DEC＝∠B
∴∠ADB＝∠DEC
∴∠AED＝∠ADC
又∵∠DAE＝∠CAD
∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形找到使 的条件：
∠AED＝∠ADC，∠DAE＝∠CAD．
22．李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利
用镜子，第一次把镜子放在 点（如图所示），人在 点正好在镜中看到树尖 ；第二次他把镜子放在
处，人在 处正好看到树尖 ．已知李师傅眼睛距地面的高度为 ，量得 为 ， 为 ，
为 ，求树高．
【答案】这棵古树的高为10m
【分析】根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，所以可得△BAC∽△FEC、
△AC′B∽△E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．
【解析】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴解得 ．
∴这棵古树的高为10m．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出
方程，建立适当的数学模型来解决问题．
23．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
(2)求出△A'B'C'的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)6
【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
(1)
解：如图，△A'B'C'为所作；(2)
△A'B'C'的面积＝4×4﹣ ×2×4﹣ ×2×2﹣ ×2×4＝6．
【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关
键．
24．如图，等边三角形 ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，
∠APD=60°． △
(1)求证： ABP∽ PCD；
(2)若PC=△2，求C△D的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD的长为
【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在 APB中，
∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此 ABP∽ PCD； △
△ △
（2）由（1）的结论 ABP∽ PCD 可得 ，从而可以求出线段CD的长．
△ △（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在 APB中，
∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD； △
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得 ABP∽ PCD， ，∴ ，∴CD= ．答：
△ △
CD的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是
推出 ABP∽ PCD．
25．△如图，在△矩形 中，E是边 的中点， 于点F．
(1)求证： ．
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，根据等角的余角相等可得 ，即可证
明 ，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）勾股定理求得 ，由（1）的比例式即可求解．
（1）
证明：∵四边形 为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．如图，在正方形 中， ， 为边 上的两个三等分点，点 关于 的对称点为 ， 的
延长线交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设 与 的交点为 ，根据题意可得 ， ，即可求证；
（2）先证明 ，可得 ， ，从而得到 ，再过点
作 ，连接 ，可得 ，再由 ，可得 ，从而得到
，再根据四边形的性质可得 ，从而得到 ，可证得△ △
，从而得到 ，再根据 ，可得 ，即可求证．
（1）
证明：设 与 的交点为 ，， 为边 上的两个三等分点，
， ，
点 关于 的对称点为 ，
，
；
（2）
解： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
∵ ，
，
如图，过点 作 ，连接 ，，
， ，
，
，
， ， ，
∴ ，
，
又 ，
，
，
，
，
点 关于 的对称点为 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
△ △ ，
，
， ，
，
，
，
，．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三
角形的判定和性质等知识，求出 是解题的关键．
27．如图1，在 中， 于点D，在DA上取点E，使 ，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将 绕点D旋转，得到 （点 ， 分别与点B，E对应），连接 ，在
旋转的过程中 与 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当 绕点D顺时针旋转30°时，射线 与AD、 分别交于点G、F，若
，求 的长．
【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析
(2)一致，理由见解析
(3)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明 ，可得 ，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得 ，即可求解．
（1）
如图，延长CE交AB于H，∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）
在 旋转的过程中 与 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长 交 于H，
由旋转可得：CD= ， =AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
，
∵ +∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，∴∠DA +∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
（3）
如图3，过点D作DH 于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴ ，
，
，
∴AD=2DH，AH= DH= ，
，
由（2）可知： ，
，
∵AD⊥BC，CD= ，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴ ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形
的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
