文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 3 章 整式及其加减》
3.3 探索与表达规律
日历中的规律
知识点一
◆1、在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍．如果用a表示正中间的数，这9个
数的和等于9a．
◆2、任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的 3倍．设最中间的数为a，则任意一行
或列的相邻三个数的和为3a．
数与式的变化规律
知识点二
◆1、 数与式的规律问题:
从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、
纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化
规律.
●若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平
方等方面的规律；
●若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找
出规律；
●若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．
1图形的变化规律
知识点三
◆图形的变化规律问题:
观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从
不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以
验证．
题型一 单项式的系数与次数的变化规律
1．（2024•永修县校级模拟）以下是按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，•••，依此规律，
第n个单项式是（ ）
A．nan B．nan﹣1 C．（n+1）an D．（n+1）an﹣1
2．（2024•保山一模）下面是按一定规律排列的式子：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第 9 个单项式是
（ ）
2A．15a18 B．17a16 C．15a10 D．17a18
3．（2024•广南县模拟）按一定规律排列的单项式：2a2，4a3，6a4，8a5，10a6，…，第n个单项式是（
）
A．（n+1）an B．（n+1）an+1 C．2nan D．2nan+1
4．（2024•罗平县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是
（ ）
A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na
5．（2023昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式
是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2
题型二 多项式的项与次数的变化规律
1．（2024•五华区校级模拟）按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n
个单项式是（ ）
A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb
C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb
2．（2024•红河州二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，
则第n个多项式是（ ）
A．an+（n﹣1）b B．an+nb C．an+（n+1）b D．an+1+nb
3．（2024•巧家县二模）按一定规律排列的多项式：a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，a5+25b6，…．第n
个多项式是（ ）
A．an+n2bn+1 B．an+nnbn+1 C．an+nbn+1 D．an+2nbn+1
4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
5．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
题型三 数与式的变化规律
1．（2024•新都区校级开学）有这样一组数：40.1、40.2、40.3、40.4、40.5…，其中第n个数用含有字母
的式子表示是（ ）
A．（n﹣1）+40 B．（n+1）+40 C．40+n D．40+n÷10
2．（2024•温江区校级开学）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律m＝（ ）
3A．38 B．52 C．74 D．86
3．（2023秋•梁园区校级月考）已知整数a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，⋯，满足下列条件：a
1
＝2，a
2
＝﹣|a
1
+1|，a
3
＝
﹣|a +1|，a ＝﹣|a +1|，以此类推，则a 的值为（ ）
2 4 3 2023
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．2
2
4．（2023秋•鹤城区校级期末）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．例如：3的“哈
2−a
2 2 1
利数”是 =−2，﹣2的“哈利数”是 = ，已知a ＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 的
1 2 1 3 2
2−3 2−(−2) 2
“哈利数”，a 是a 的“哈利数”，…，以此类推，则a ＝（ ）
4 3 2024
1 4
A．3 B．﹣2 C． D．
2 3
5．（2023秋•光山县校级期末）如图所示在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的
圆周上跳动．游戏规则：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在
偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从3这点开始跳，则经过2023次后它停
的点对应的数为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
6．（2024春•莘县期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个
“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，
不仅如此，这个“三角形”第n+1行中的数竟与（a+b）（n是正整数）展开式各项的系数完全吻合，
如图所示：
根据“贾宪三角形”请计算（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数为（ ）
4A．84 B．56 C．28 D．70
7．（2023秋•白银区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2023次输出
的结果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．125
8．（2024•清江浦区校级开学）将整数1，2，3，…，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次
转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第20次转弯的是 ．
9．（2024•衡阳开学）如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），图②是从图①
中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是 ．
10．（2023秋•秦安县校级期末）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入 x的值是5，可发现第一次输
出的结果是8，第二次输出的结果是4，…．请你探索第2023次输出的结果是 1 ．
5题型四 图形的变化规律
1．（2023秋•钢城区期末）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分
碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个
结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，则第49个结构式中有（ ）个H．
A．97 B．98 C．99 D．100
2．（2024•香坊区模拟）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小
正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8092 B．8093 C．4046 D．4047
3．（2023秋•大冶市期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于
阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案．该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图形
（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，…．依
此规律，图形（10）由（ ）个小三角形组成．
6A．100 B．160 C．200 D．300
4．（2024•牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形
第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．（2023秋•丰都县期末）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是
（ ）
A．4047 B．6069 C．6070 D．6071
6．（2023秋•铜梁区期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中
一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规
律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
7．（2024•管城区开学）观察如图所示点阵图的规律，根据规律填一填．
7（1）按照规律在第四幅图中应该画 个圆点．
（2）按照这个规律还可以知道第n个图形的点阵中，一共应画 个圆点．
8．（2024•韩城市二模）某民族服饰的花边均是由若干个 的基础图形组成的有规律的图案，如图，第1
个图案由4个 组成，第2个图案由7个 组成，第3个图案由10个 组成，…，按此规律排列下去，
第2024个图案中 的个数为 个．
9．（2024春•凤阳县期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而
成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；
第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…
（1）第n个图案有 个正方形， 个等边三角形．
（2）现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
10．（2024•凤台县三模）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问
题：
8（1）第4个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
（2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则
第5个图案可表示为多项式 ；
（3）在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且a＝2，求b的值．
11．（2024•埇桥区校级二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含n的式子填空：
上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”．
第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；
第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；
第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；
第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；
……
第n个图案中“★”有 个，“▲”有 个；
【规律应用】
（2）在第2024个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个？
9题型五 日历中的规律
1．（2023秋•中牟县期中）如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下
列问题：
（1）日历图中方框框住的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？请用代数式表示这个关系．
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请写出一种．
2．（2023春•碑林区校级月考）日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数．
（1）若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为 ， ， ．
（2）若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如： ＝xy﹣mz．结果会随方框位置
10移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果．
3．（2023秋•如皋市期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是 2022年1月份
的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结
果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．
（1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
4．（2023秋•甘井子区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月
份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2
倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣
100．
（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，请用含x的式子表示发现的规律 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
115．（2024•南皮县二模）发现将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指
向一个数字，记为a，b，c，d，则m＝bc﹣ad为一个常数．
验证（1）方框放到图中的位置①时，m＝ ，放到图中的位置②时，m＝ ；
探究（2）设方框的每个顶点指向一个数时，方框中间的数为n，请论证“发现”中的结论．
6．（2023秋•邹城市期中）下面是某月的日历
12（1）其中，阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其它这样的方框成立吗？如果用 m表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的 9个
数之和吗？
（3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与m之间的其他关系吗？
13
