文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 3 章 整式及其加减》
3.3 探索与表达规律
日历中的规律
知识点一
◆1、在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍．如果用a表示正中间的数，这9个
数的和等于9a．
◆2、任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的 3倍．设最中间的数为a，则任意一行
或列的相邻三个数的和为3a．
数与式的变化规律
知识点二
◆1、 数与式的规律问题:
从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、
纵向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化
规律.
●若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平
方等方面的规律；
●若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找
出规律；
●若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．
1图形的变化规律
知识点三
◆图形的变化规律问题:
观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从
不同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以
验证．
题型一 单项式的系数与次数的变化规律
1．（2024•永修县校级模拟）以下是按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，•••，依此规律，
第n个单项式是（ ）
A．nan B．nan﹣1 C．（n+1）an D．（n+1）an﹣1
【分析】根据系数与次数两个方面总结可得第n个单项式．
【解答】解：按一定规律排列的单项式：2a，3a2，4a3，5a4，6a5，•••，
依此规律，第n个单项式是（n+1）an，
2故选：C．
【点评】本题考查单项式的规律探究，发现规律是关键．
2．（2024•保山一模）下面是按一定规律排列的式子：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第 9 个单项式是
（ ）
A．15a18 B．17a16 C．15a10 D．17a18
【分析】根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断．
【解答】解：由a2，3a4，5a6，7a8，…可得；
系数的排列规律为：1，3，5，7，9，...2n﹣1，
指数的排列规律为：2，4，6，8，...2n．
故第9个单项式是：17a18．
故选：D．
【点评】本题考查单项式，正确找到规律是解题关键．
3．（2024•广南县模拟）按一定规律排列的单项式：2a2，4a3，6a4，8a5，10a6，…，第n个单项式是（
）
A．（n+1）an B．（n+1）an+1 C．2nan D．2nan+1
【分析】分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．
【解答】解：∵2a2＝（2×1）a1+1，
4a3＝（2×2）a2+1，
6a4＝（2×3）a3+1，
…，
∴第n个为：2nan+1；
故选：D．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
4．（2024•罗平县模拟）按一定规律排列的单项式：﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是
（ ）
A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）na C．2n﹣1a D．2na
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进
行概括即可得到答案．
【解答】解：∵﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，
可记为：（﹣2）1a，（﹣2）2a，（﹣2）3a，（﹣2）4a，（﹣2）5a•••
∴第n项为：（﹣2）na．
3故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化规律，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
5．（2023昆明一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，11a8b2，…，第8个单项式
是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b14 C．15a7b14 D．152a14b2
【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，
单项式中a的指数偶数，b的指数不变，
所以第8个单项式是：17a14b2．
故选：A．
【点评】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解
题的关键．
题型二 多项式的项与次数的变化规律
1．（2024•五华区校级模拟）按一定规律排列的单项式：a﹣b，4a2+b，9a3﹣b，16a4+b，25a5﹣b，⋯第n
个单项式是（ ）
A．n2an+（﹣1）n+1b B．n2an+（﹣1）nb
C．n2an+1+（﹣1）n﹣1b D．（n+1）2an+（﹣1）nb
【分析】通过观察多项式中的第一个单项式的系数发现：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，则第
n个单项式的系数为n2；由a1，a2，a3，a4，a5，a6，发现第几个单项式的次数解是a的几次幂，得第n
个为an，且第二个单项式的字母都为b，指数都为1，而字母前的符号是奇数项为负，偶数项为正，从
而可求解．
【解答】解：∵a﹣b＝12a1+（﹣1）1b，
4a2+b＝22a2+（﹣1）2b，
9a3﹣b＝32a3+（﹣1）3b，
16a4+b＝42a4+（﹣1）4b，
25a5﹣b＝52a5+（﹣1）5b，
⋯，
∴第n个单项式是：n2an+（﹣1）nb．
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化规律，解题的关键是根据各个单项式找到规律．
42．（2024•红河州二模）以下是一组按一定规律排列的多项式：a+b，a2+2b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，
则第n个多项式是（ ）
A．an+（n﹣1）b B．an+nb C．an+（n+1）b D．an+1+nb
【分析】根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可．
【解答】解：将排列的多项式：a+b，a2+2 b，a3+3b，a4+4b，a5+5b，…，拆成两组单项式为：
a，a2，a3，a4，a5，⋯⋯，
b，2b，3b，4b，5b，••••••，
第n个单项式为an和nb，
∴第n个多项式是an+nb．
故选：B．
【点评】本题考查多项式排列中的规律，发现规律是关键．
3．（2024•巧家县二模）按一定规律排列的多项式：a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，a5+25b6，…．第n
个多项式是（ ）
A．an+n2bn+1 B．an+nnbn+1 C．an+nbn+1 D．an+2nbn+1
【分析】根据题意可得第n个多项式是an+n2bn+1，即可得出结果．
【解答】解：根据题意可知，按一定规律排列的多项式： a+b2，a2+4b3，a3+9b4，a4+16b5，
a5+25b6，…，
∴第n个多项式是an+n2bn+1，
故选：A．
【点评】本题考查的是多项式和数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
4．有一个多项式为a8﹣a7b+a6b2﹣a5b3+…，按照此规律写下来，这个多项式的第六项是 ．
【分析】由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到
最高次方递增．由此可知第六项是﹣a3b5．
【解答】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6…
所以第六项为1；
又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负，
所以第6项为﹣a3b5．
故答案为：﹣a3b5．
【点评】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案．
5．观察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…按此规律写出第n个式子是 ．
【分析】根据所给式子发现规律，即可解答．
5【解答】解：x+1＝x+12，
x2+4＝x2+22，
x3+9＝x3+32，
x4+16＝x4+42，
x5+25＝x5+52，
…
第n个式子是xn+n2．
故答案为：xn+n2．
【点评】本题考查了多项式，解决本题的关键是根据所给式子发现规律．
题型三 数与式的变化规律
1．（2024•新都区校级开学）有这样一组数：40.1、40.2、40.3、40.4、40.5…，其中第n个数用含有字母
的式子表示是（ ）
A．（n﹣1）+40 B．（n+1）+40 C．40+n D．40+n÷10
【分析】观察给出的式子可得第n个数用含有字母的式子表示40.1+（n﹣1）×0.1，进而可以解决问题．
【解答】解：第n个数用含有字母的式子表示为40.1+（n﹣1）×0.1
＝40.1+0.1n﹣0.1
＝40+0.1n
＝40+n÷10，
故选：D．
【点评】本题主要考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是找到规律．
2．（2024•温江区校级开学）下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律m＝（ ）
A．38 B．52 C．74 D．86
【分析】根据所给正方形，观察其中四个数字，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给正方形可知，
2＝0+2，4＝2+2，6＝4+2，
所以正方形左下角的数字等于左上角的数字加2；
4＝0+4，6＝2+4，8＝4+4，
6所以正方形右上角的数字等于左上角的数字加4；
8＝2×4+0，26＝4×6+2，52＝6×8+4，
所以正方形右下角的数字等于左下角与右上角的数字之积，再加上左上角的数字，
所以6+2＝8，6+4＝10，
则m＝8×10+6＝86．
故选：D．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给正方形中的数字，发现它们之间的关系是解题的
关键．
3．（2023秋•梁园区校级月考）已知整数a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，⋯，满足下列条件：a
1
＝2，a
2
＝﹣|a
1
+1|，a
3
＝
﹣|a +1|，a ＝﹣|a +1|，以此类推，则a 的值为（ ）
2 4 3 2023
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．2
【分析】根据题意找出规律为从第四项起，以﹣1、0、﹣1、0的循环出现，根据（2023﹣3）÷2＝1010
进而可求解．
【解答】解：依题意得：
a ＝2，
1
a ＝﹣|a +1|＝﹣|2+1|＝﹣3，
2 1
a ＝﹣|a +1|＝﹣|﹣3+1|＝﹣2，
3 2
a ＝﹣|a +1|＝﹣|﹣2+1|＝﹣1，
4 3
a ＝﹣|a +1|＝﹣|﹣1+1|＝0，
5 4
a ＝﹣|a +1|＝﹣|0+1|＝﹣1，
6 5
⋯⋯，
∴从第四项起，以﹣1、0、﹣1、0的循环的出现，
∵（2023﹣3）÷2＝1010，
∴a ＝0，
2023
故选：B．
【点评】本题考查了数字类规律探索问题，准确找出规律是解题的关键．
2
4．（2023秋•鹤城区校级期末）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．例如：3的“哈
2−a
2 2 1
利数”是 =−2，﹣2的“哈利数”是 = ，已知a ＝3，a 是a 的“哈利数”，a 是a 的
2−3 2−(−2) 2 1 2 1 3 2
“哈利数”，a 是a 的“哈利数”，…，以此类推，则a ＝（ ）
4 3 2024
71 4
A．3 B．﹣2 C． D．
2 3
1 4
【分析】由题意可得：a ＝3，a ＝﹣2，a = ，a = ，a ＝3，由此可知该组数是4个一循环，进而可
1 2 3 2 4 3 5
求解．
【解答】解：∵a ＝3，
1
2 2 1
∴a = =−2，a = = ，
2 2−3 2 2−(−2) 2
1 4
同理可求得：a = ，a = ，a ＝3，
3 2 4 3 5
1 4 1 4
由此可知该组数按照3，﹣2， ， ，3，﹣2， ， ⋯⋯的规律4个一循环，
2 3 2 3
∵2024÷4＝505……4，
4
∴a = ；
2024 3
故选：D．
【点评】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是理解“哈利数“．
5．（2023秋•光山县校级期末）如图所示在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的
圆周上跳动．游戏规则：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在
偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从3这点开始跳，则经过2023次后它停
的点对应的数为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题意依次求出每次青蛙跳动后停的点对应的数，根据发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，因为青蛙从3这点开始跳，
所以经过1次后它停的点对应的数为5；
经过2次后它停的点对应的数为2；
经过3次后它停的点对应的数为1；
经过4次后它停的点对应的数为3；
经过5次后它停的点对应的数为5；
8…，
由此可见，青蛙停的点对应的数字按5，2，1，3循环出现，
又因为2023÷4＝505余3，
所以经过2023次后它停的点对应的数为1；
故选：D．
【点评】本题考查数字变化的规律，发现规律是关键．
6．（2024春•莘县期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个
“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，
不仅如此，这个“三角形”第n+1行中的数竟与（a+b）（n是正整数）展开式各项的系数完全吻合，
如图所示：
根据“贾宪三角形”请计算（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．28 D．70
【分析】据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第五项的系数．
【解答】解：找规律发现（a+b）4的第三项系数为1；
（a+b）5的第三项系数为5＝4+1；
（a+b）6的第三项系数为15＝10+5；
（a+b）7的第三项系数为35＝20+15；
∴（a+b）8第三项系数为35+35＝70．
故选：D．
【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问
题是关键．
7．（2023秋•白银区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2023次输出
的结果为（ ）
9A．1 B．5 C．25 D．125
【分析】分别求出第一次输出的结果为25，第二次输出的结果为5，第三次输出的结果为1，第四次输
出的结果为5，第五次输出的结果为1，第六次输出的结果为5…．，由此得出规律，计算结果即可．
1
【解答】解：根据题意得：第一次输出的结果： ×125=25，
5
1
第二次输出的结果： ×25=5，
5
1
第三次输出的结果： ×5=1，
5
第四次输出的结果：1+4＝5，
1
第五次输出的结果： ×5=1，
5
第六次输出的结果：1+4＝5，
1
第七次输出的结果： ×5=1，
5
第八次输出的结果：1+4＝5，
1
第九次输出的结果： ×5=1，⋯⋯
5
由此得到规律，从第二次开始奇数次输出为1，偶数次输出为5，
∴第2023次输出结果为1．
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出从第二次开始奇数次输出为 1，偶数次输出为5是解题
的关键．
8．（2024•清江浦区校级开学）将整数1，2，3，…，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次
转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，…．则第20次转弯的是 ．
10【分析】第一次转弯 2＝1+1．第二次转弯 3＝1+1+1，第三次转弯 5＝1+1+1+2，第四次转弯 7＝
1+1+1+2+2，第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3，第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3，…，据此可求第20次
转弯．
【解答】解：第一次转弯2＝1+1，
第二次转弯3＝1+1+1，
第三次转弯5＝1+1+1+2，
第四次转弯7＝1+1+1+2+2，
第五次转弯10＝1+1+1+2+2+3，
第六次转弯13＝1+1+1+2+2+3+3，
…，
第20次转弯：
1+1+1+2+2+3+3+…+10+10＝1+2（1+2+3+…+10）＝111．
故答案为：111．
【点评】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是根据数字找到相应的变化规律．
9．（2024•衡阳开学）如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），图②是从图①
中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是 ．
【分析】根据图①的规律可知，a+b＝480+533﹣1＝1012，即可得出结果．
【解答】解：根据图①的规律可知，
a+b＝480+533﹣1＝1012，
∴图②中4个数的和是480+533+1012＝2025，
11故答案为：2025．
【点评】本题考查了数字的变化类，正确得出a+b＝480+533﹣1＝1012是解题的关键．
10．（2023秋•秦安县校级期末）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入 x的值是5，可发现第一次输
出的结果是8，第二次输出的结果是4，…．请你探索第2023次输出的结果是 1 ．
【分析】根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第
2023次输出的结果．
【解答】解：第一次输出：5+3＝8，
1
第二次输出： ×8=4，
2
1
第三次输出： ×4=2，
2
1
第四次输出： ×2=1，
2
第五次输出：1+3＝4，
1
第六次输出： ×4=2，
2
……，
从第二次开始，每3次为一循环，按照4，2，1的顺序进行循环，
∵（2023﹣1）÷3＝674，
∴第2023次输出的结果是第674组的第3个数，
∴第2023次输出的结果是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查数字的变化类，流程图，有理数的混合运算，熟练掌握找规律是关键．
题型四 图形的变化规律
1．（2023秋•钢城区期末）化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分
碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个
12结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，则第49个结构式中有（ ）个H．
A．97 B．98 C．99 D．100
【分析】观察图形可得规律第n个结构式中有n个C和（2n+2）个H，据此求解即可．
【解答】解：第1个结构式中有1个C和2×1+2＝4个H，
第2个结构式中有2个C和2×2+2＝6个H，
第3个结构式中有3个C和2×3+2＝8个H，
……，
以此类推，第n个结构式中有n个C和（2n+2）个H，
∴第49个结构式中有49个C和2×49+2＝100个H，
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，正确找出规律是解题关键．
2．（2024•香坊区模拟）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小
正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．8092 B．8093 C．4046 D．4047
【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第 2022个
图案中涂有阴影的小正方形个数．
【解答】解：第一个图案有5个：5＝1×4+1，
第二个图案有9个：9＝2×4+1，
第三个图案有13个：13＝3×4+1，
…，
则第n个图形有：4⋅n+1＝（4n+1）个，
故第2023个图案中有4×2023+1＝8093（个）．
故选：B．
13【点评】本题考查图案的变化规律问题，解决本题的关键是找到正确的变化规律即可．
3．（2023秋•大冶市期末）卡塔尔卢赛尔体育场是由中国铁建国际集团承建，球场外立面的设计灵感源于
阿拉伯吊灯的光影交错的典型图案．该图案是由一些完全相同的小三角形依照规律排列组成，图形
（1）由2个小三角形组成，图形（2）由8个小三角形组成，图形（3）由18个小三角形组成，…．依
此规律，图形（10）由（ ）个小三角形组成．
A．100 B．160 C．200 D．300
【分析】由题意可得：图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，图形（2）中的小三角形的个
数为：8＝2×4＝2×22，…，据此可求得第（n）个图形中小三角形的个数，从而可求解．
【解答】解：∵图形（1）中的小三角形的个数为：2＝2×1＝2×12，
图形（2）中的小三角形的个数为：8＝2×4＝2×22，
图形（3）中的小三角形的个数为：18＝2×9＝2×32，
…，
∴图形（n）中的小三角形的个数为：2×n2，
∴图形（10）中的小三角形的个数为：2×102＝200（个）．
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．
4．（2024•牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形
第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而
可求第674个图形中三角形的个数．
14【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，
…，
按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1＝2023（个）．
故选：B．
【点评】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．
5．（2023秋•丰都县期末）用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是
（ ）
A．4047 B．6069 C．6070 D．6071
【分析】根据题目中的图形，可以发现棋子的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
第一个图形棋子的个数为：2+3×1＝5，
第二个图形棋子的个数为：2+3×2＝8，
第二个图形棋子的个数为：2+3×3＝11，
……，
∴第2023个图形需要围棋子的枚数是：2+3×2023＝6071，
故选：D．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律．
6．（2023秋•铜梁区期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中
一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规
律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
【分析】根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多三个小圆圈，总结出第n个图的表达式即可．
15【解答】解：由题知，第①个图形中一共有2×3＝6个小圆圈，
第②个图形中一共有3×3＝9个小圆圈，
第③个图形中一共有4×3＝12个小圆圈，
…，
∴第n个图形中一共有（n+1）×3个小圆圈，
∴第⑧个图形中小圆圈的个数为9×3＝27（个），
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，总结出图形的变化规律是解题的关键．
7．（2024•管城区开学）观察如图所示点阵图的规律，根据规律填一填．
（1）按照规律在第四幅图中应该画 个圆点．
（2）按照这个规律还可以知道第n个图形的点阵中，一共应画 个圆点．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
第一幅图中圆点的个数为：6＝1×3+3；
第二幅图中圆点的个数为：9＝2×3+3；
第三幅图中圆点的个数为：12＝3×3+3；
…，
所以第n幅图中圆点的个数为（3n+3）个，
当n＝4时，
3n+3＝15（个），
即第四幅图中圆点的个数为15个．
故答案为：15．
（2）由（1）知，
第n个图形的点阵中，一共应画（3n+3）个圆点．
故答案为：（3n+3）．
16【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆点的个数依次增加3是解题的关键．
8．（2024•韩城市二模）某民族服饰的花边均是由若干个 的基础图形组成的有规律的图案，如图，第 1
个图案由4个 组成，第2个图案由7个 组成，第3个图案由10个 组成，…，按此规律排列下去，
第2024个图案中 的个数为 个．
【分析】根据前三个图形中基础图形的个数得出第n个图案中基础图形的个数即可．
【解答】解：观察图形，可知
第1个图案由4个基础图形组成，即4＝1×3+1，
第2个图案由7个基础图形组成，即7＝2×3+1，
第3个图案由10个基础图形组成，即10＝3×3+1，
……
第n个图案的基础图形的个数为：3n+1．
所以第2024个图案的基础图形的个数为：3×2024+1＝6073．
故答案为：6073．
【点评】此题考查了图形的规律探究，解题的关键是观察图形的变化寻找规律．
9．（2024春•凤阳县期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而
成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；
第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推…
（1）第n个图案有 个正方形， 个等边三角形．
（2）现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
【分析】（1）根据所给图形，依次求出正方形和等边三角形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
17【解答】解：（1）由所给图形可知，
第1个图案中正方形的个数为：1，等边三角形的个数为：4＝1×3+1；
第2个图案中正方形的个数为：2，等边三角形的个数为：7＝2×3+1；
第3个图案中正方形的个数为：3，等边三角形的个数为：10＝3×3+1；
第4个图案中正方形的个数为：4，等边三角形的个数为：13＝4×3+1；
…，
所以第n个图案中正方形的个数为n个，等边三角形的个数为（3n+1）个．
故答案为：n，（3n+1）．
（2）因为（2024﹣1）÷3＝674余1，
所以当n＝674时，
3n+1＝2023，2024﹣2023＝1，
此时等边三角形剩余最少为1，
则需要的正方形个数为674．
所以按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形及等边三角形个数变化的规律是
解题的关键．
10．（2024•凤台县三模）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问
题：
（1）第4个图案中，三角形有 个，正方形有 个；
（2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则
第5个图案可表示为多项式 ；
（3）在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且a＝2，求b的值．
【分析】（1）观察图形可知第1个图案中，三角形有4个，正方形有1个；
第2个图案中，三角形有8个，正方形有4个；第3个图案中，三角形有12个，正方形有9个；
以此类推，第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个，得到结论；
18（2）根据第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，则第5个图案可表示为多项式20a+25b；
（3）根据20a+25b＝90，a＝2，即可求出b的值．
【解答】解：（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有1×4＝4个，正方形有12＝1个；
第2个图案中，三角形有2×4＝8个，正方形有22＝4个；
第3个图案中，三角形有3×4＝12个，正方形有32＝9个；
以此类推，第4个图案中，三角形有4×4＝16个，正方形有452＝16个；
故答案为：16、16；
（2）由第1、2个图案可表示多项式4a+b、8a+4b，
则第5个图案可表示为多项式20a+25b；
故答案为：（20a+25b）；
（3）∵20a+25b＝90，a＝2，
∴b＝2．
答：b的值为2．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
11．（2024•埇桥区校级二模）【观察思考】
【规律发现】
（1）请用含n的式子填空：
上述是由正八边形构成的图案，正八边形的每个顶点上都有“★”或“▲”．
第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；
第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；
第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；
第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；
……
第n个图案中“★”有 个，“▲”有 个；
【规律应用】
（2）在第2024个图案中，求“★”的数量比“▲”的数量多多少个？
【分析】（1）根据题中的规律进行解答即可；
19（2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量，作差即可得到答案．
【解答】解：（1）第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个；
第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个；
第3个图案中“★”有4×3个；“▲”有1+3×3个；
第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个；
……，
第n个图案中“★”有4n个，“▲”有1+3n个；
故答案为：4n，1+3n．
（2）第2024个图案中，“★”的数量为：4×2024＝8096（个），
“▲”的数量为：1+3×2024＝6073（个），
8096﹣6073＝2023（个），
答：在第2024个图案中，“★”的数量比“▲”的数量多2023个．
【点评】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键．
题型五 日历中的规律
1．（2023秋•中牟县期中）如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出九个数，请观察图形解答下
列问题：
（1）日历图中方框框住的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？请用代数式表示这个关系．
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请写出一种．
【分析】（1）根据题意列代数式求解；
（2）设正中间是数是a，列代数式表示；
（3）设正中间是数是a，列代数式表示；
20（4）观察表格，找规律．
【解答】解：（1）日历图中框出的9个数之和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18＝90，
该方框正中间的数是10，90＝9×10，
所以这9个数的和是该方框正中间的数的9倍；
（2）成立；
如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a；
（3）成立；
因为这9个数可以表示为：
所以这9个数之和等于9a；
（4）能．
如每一横行的数相差1或每一竖列的数相差7等等．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
2．（2023春•碑林区校级月考）日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数．
（1）若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为 ， ， ．
（2）若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如： ＝xy﹣mz．结果会随方框位置
移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果．
【分析】（1）根据日历表的排列规律即可得出答案；
（2）设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，由题意得出算式：a
（a+8）﹣（a+1）（a+7）计算后即可得出答案．
21【解答】解：（1）根据日历表的排列规律左右相邻两数相差1，上下两数相差7，若设方框内左上角的
数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，
故答案为：a+1，a+7，a+8；
（2）不会，设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为：a+1，a+7，a+8，
由题意得：a（a+8）﹣（a+1）（a+7）
＝a2+8a﹣（a2+7a+a+7）
＝a2+8a﹣a2﹣7a﹣a﹣7
＝﹣7，
∴结果不会随方框位置移动而变化，运算的结果都是﹣7．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根据日历表的排列规律正确列出算式是解决问题的关键．
3．（2023秋•如皋市期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是 2022年1月份
的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结
果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．
（1）如图，设日历中所示的方框左上角数字为x，则上面发现的规律用含x的式子可表示为 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
【分析】（1）根据题意用含x的式子表示其余三个数，表达规律即可；
（2）根据整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化简，即可证明．
【解答】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为 x，则其余三个数从小到大依次是：x+1，x+7，
x+8，
∴规律用含x的式子可表示为（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；
故答案为：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；
（2）证明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）
＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）
22＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x
＝7．
【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
4．（2023秋•甘井子区期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图1是2021年1月
份的日历，任意选择图中所示的方框，每个框四个角上的数交叉相乘后求和，再与中间的数的平方的2
倍作差，例如：3×19+5×17﹣2×112＝﹣100，14×30+16×28﹣2×222＝﹣100，不难发现，结果都是﹣
100．
（1）如图2，设日历中所示图形中间的数字为x，请用含x的式子表示发现的规律 ；
（2）利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
【分析】（1）根据图中的数据和题意，可以写出这一规律；
（2）根据整式的乘法和合并同类项的方法可以证明（1）中的这一规律成立．
【解答】解：（1）由图可得，
这一规律是：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100，
故答案为：（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100；
（2）证明：设中间的数字为x，则左上角的数字为x﹣8，右上角的数字为x﹣6，左下角的数字是x﹣
6，右下角的数字是x+8，
（x+8）（x﹣8）+（x+6）（x﹣6）﹣2x2
＝x2﹣64+x2﹣36﹣2x2
＝﹣100，
故（x+8）（x﹣8）+（x﹣6）（x+6）﹣2x2＝﹣100这一规律成立．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5．（2024•南皮县二模）发现将如图1所示的四边形边框放到如图2所示的日历中，四边形的每个顶点指
23向一个数字，记为a，b，c，d，则m＝bc﹣ad为一个常数．
验证（1）方框放到图中的位置①时，m＝ ，放到图中的位置②时，m＝ ；
探究（2）设方框的每个顶点指向一个数时，方框中间的数为n，请论证“发现”中的结论．
【分析】（1）代入题干中的式子，即可解答；
（2）根据日历的特征，表示出方框的每个顶点指向一个数，再列式子化简即可证明．
【解答】解：（1）根据题意可得，
方框放到图中的位置①时，m＝7×9﹣1×15＝48；
方框放到图中的位置②时，m＝10×12﹣4×18＝48，
故答案为：48；48；
证明：（2）根据日历的规律，当方框中间的数为n，可得：
a＝n﹣7，b＝n﹣1，c＝n+1，d＝n+7，
∴m＝bc﹣ad＝（n﹣1）（n+1）﹣（n﹣7）（n+7）＝n2﹣1﹣n2+49＝48，
即m＝bc﹣ad为一个常数．
【点评】本题考查的是数字类的规律探究，整式的乘法运算，利用平方差公式，理解题意进行计算是解
题的关键．
6．（2023秋•邹城市期中）下面是某月的日历
24（1）其中，阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其它这样的方框成立吗？如果用 m表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的 9个
数之和吗？
（3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与m之间的其他关系吗？
【分析】（1）通过计算方框中9个数的和即可发现其中的规律：阴影方框中的9个数之和是该方框正
中间的数的9倍；
（2）这个关系对其它这样的方框成立，先另举一个方框并通过计算进行验证，再设正中间的数是 m，
用代数式表示这9个数并通过计算得出一般规律，即这样的方框中的9个数之和是9m；
（3）通过观察发现（2）中的方框中的数可分为若干组，其中有些组中的三个数的和都等于 3m，通过
计算分别进行验证，得出结论即可．
【解答】解：（1）∵7+8+9+14+15+16+21+22+23＝135，且9×15＝135，
∴7+8+9+14+15+16+21+22+23＝9×15，
∴阴影方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍．
（2）成立，
如图中方框右边相邻的方框：10+11+12+17+18+19+24+25+26＝162，且9×18＝162，
这9个数之和是该方框正中间的数的9倍；
设这样的方框正中间的数是m，
∴这9个数分别为m﹣8、m﹣7、m﹣6、m﹣1、m、m+1、m+6、m+7、m+8，
∴m﹣8+m﹣7+m﹣6+m﹣1+m+m+1+m+6+m+7+m+8＝9m，
∴这样的方框中的9个数之和是9m．
（3）∵m﹣8+m+m+8＝3m，m+6+m+m﹣6＝3m，m﹣1+m+m+1＝3m，m﹣7+m+m+7＝3m，
∴在（2）中的方框中，每条对角线上的3个数的和、m所在的行的3个数的和以及m所在的列的3个
数的和都等于3m．
【点评】此题重点考查用字母表示数、列代数式、整式的加减、规律型问题的探究与求解等知识与方法，
此题难度较大，属于考试压轴题．
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