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第三章 整式及其加减
3.3 整式
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·吉林·长春吉大附中力旺实验中学七年级期中）下面说法正确的是（ ）
A．2ab2的次数是2 B． 的系数是3 C．﹣2是单项式 D．x2+2xy是四次多项式
【答案】C
【分析】根据单项式的定义，单项式系数和次数的定义，多项式的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 2ab2的次数是2．因为2ab2的次数是3，故选项错误，不符合题意；
B. 的系数是3．因为 的系数是 ，故选项错误，不符合题意；
C. ﹣2是单项式．该选项正确，符合题意；
D. x2+2xy是四次多项式．因为x2+2xy是二次多项式，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解
题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单
项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的
和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的
次数叫做多项式的次数．
2．（2021·吉林·长春市第一O三中学校七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式a既没有系数，也没有次数 B．单项式5×108m的系数是5
C．代数式 是单项式 D．有理数﹣2021是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式及单项式系数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：A、单项式a的系数是1，次数是1，原说法错误，故本选项不符合题意；B、单项式5×108m的系数是5×108，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、代数式 不是单项式，因为分母含有字母，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、有理数-2021是单项式，符合单项式的定义，原说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是单项式的有关知识，熟练掌握此相关知识是解答此题的关键．
3．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．单项式 的系数是-5，次数是2 B．单项式m的次数是0
C．单项式 的系数是 ，次数是2 D． 是二次单项式
【答案】C
【分析】根据单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、单项式 的系数是-5，次数是3，故A选项不符合题意；
B、单项式m的次数是1，故B选项不符合题意；
C、单项式 的系数是 ，次数是2，故C选项符合题意；
D、 是多项式，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：
表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个
单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式．
4．（2021·湖南·常德市第二中学七年级期中）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ， ，
，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式
【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ，
故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的
关键．
5．（2022·河南郑州·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式 的系数是 ，次数是2 B．单项式 的次数是3
C． 是四次三项式 D． 是二次单项式
【答案】C
【分析】根据单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、单项式 的系数是 ，次数是 ，则此项错误，不符合题意；
B、单项式 的次数是 ，则此项错误，不符合题意；
C、 总共有三项，项中次数最高的是4，所以它是四次三项式，则此项正确，符合题意；
D、 是二次二项式，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，熟记相关概念是解题关键．
6．（2022·全国·七年级单元测试）在代数式 ， ， ， ， ， ， 中，整式共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据整式的定义，单项式和多项式都是整式，整式是指没有除法运算，或有除法运算但除式中不
含字母的有理式．
【详解】解：∵在代数式 ， ， ， ， ， ， 中，
， ， ， ， ，是整式，
∴整式共有5个
故选C
【点睛】本题考查了整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
二、填空题
7．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）单项式-6xy3的系数是___，次数是___．【答案】 4
【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次
数，进而判断得出即可．
【详解】单项式 的系数是-6，次数是3+1=4．
故答案为-6，4．
【点睛】此题主要考查了单项式的概念，正确掌握单项式次数与系数的确定方法是解题关键．
8．（2021·安徽·马鞍山中加双语学校七年级阶段练习）将多项式 按x的降幂排列是
___________________________．
【答案】
【分析】先写出这个多项式的各项中 的次数，再按 的降幂排列即可得．
【详解】解： 中 的次数为0，
中 的次数为1，
中 的次数为2，
中 的次数为3，
则将多项式 按 的降幂排列是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，正确求出各项中 的次数是解题关键．
9．（2022·全国·七年级单元测试）多项式 是______次______项式，其中三次项是______，二
次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．
【答案】 三##3 三##3 0 5
【分析】根据多项式的次数、项、系数的定义写出即可．
【详解】多项式 是三次三项式，其中三次项是 ，二次项系数是0，一次项系数是5，常数项是 ．
故答案为：三；三； ；0； ； ．
【点睛】本题考查了多项式的项数，系数，此时，掌握多项式的定义是解题的关键．多项式的每一项都有
次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”
或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的
次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
10．（2021·湖北咸宁·七年级期中）若关于x的多项式 是二次三项式，则a+b＝
________．
【答案】6
【分析】根据多项式的项和次数的定义来解题．要先找到题中的等量关系，然后列出方程．
【详解】解：∵关于x的多项式 是二次三项式，
∴a-4=0，
∴a=4，b=2，
∴a+b＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多项式．解此类题目时要明确以下概念：
（1）组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；
（2）多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；
（3）多项式中不含字母的项叫常数项．
三、解答题
11．（2022·江苏·七年级）把下列代数式的序号填入相应的横线上
①a2b+ab﹣b2，② ，③ ，④ ，⑤0，⑥ ，⑦
(1)单项式 ；
(2)多项式 ；
(3)整式 ．
【答案】(1)③⑤⑦
(2)①②
(3)①②③⑤⑦【分析】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解．
(1)
解：单项式 ③⑤⑦；
故答案为：③⑤⑦；
(2)
多项式 ①②；
故答案为：①②；
(3)
整式 ①②③⑤⑦．
故答案为：①②③⑤⑦．
【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．
12．（2021·湖南·常德市第二中学七年级期中）已知关于 的多项式 是二次二项式.求：
(1) 的值.
(2)代数式 的值.
【答案】(1)k=-2；
(2)
【分析】（1）根据多项式 是二次二项式，可得出k+2=0，从而得出k的值；
（2）把k=-2代入要求的式子，再进行计算即可得出答案．
（1）
解：∵关于x的多项式 是二次二项式，
∴k+2=0，
∴k=-2；
（2）
解：把k=-2代入 得：
=1+（-1）+…+1+（-1）
=0．【点睛】本题考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个
多项式的次数．
.
提升篇
一、填空题
1．（2022·上海·七年级专题练习） 是关于x与y的五
次三项式，则 ___________；
【答案】1
【分析】由于原式是关于x与y的五次三项式，所以最高次数为5，再算出各个单项式的系数，最高为n，
得出 ，再代入原式化简，因为原式是三项式，所以多出的项 为0，即 ，最后将m
和n代入求值即可．
【详解】原式中 的次数为n， 的次数为n-1， 的次数为n-2， 的次数为n-1，
的次数为n-2，
由于原式是关于x与y的五次三项式，而最高次数为n，
∴ ，
代入原式得：
，
合并同类项得： ，
∵原式是关于x与y的五次三项式，
∴ 的系数为0，即 ，
∴ ，∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于多项式定义的参数问题，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）关于x、y的多项式 是四
次二项式，则 ________．
【答案】2或
【分析】直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵关于x、y的多项式 是四次二项式，
∴当 ，|m+1|=3时，
∴m=2；
当m+3=0时，m=-3，原多项式为 ，
综上所述，m的值为2或 ．
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确分类讨论得出m的值是解题关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）下面是一列单项式：x， ， ， …观察它们的
系数和指数的特点，则第6个单项式是___________．
【答案】
【分析】通过观察所给单项式可知，单项式的系数为 ，x的次数和单项式的序号相同，据此求解即
可．
【详解】解：由所给单项式可知，第n个单项式为 ，
∴第6个单项式为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的规律问题．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字
母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）观察下面的一列单项式：x， ， ， ，…根据你发现的规律，
第100个单项式为______；第n个单项式为______．
【答案】
【分析】确定系数与序号的关系，指数与序号的关系，确定变化规律，计算即可．
【详解】解：∵一列单项式：x， ， ， ，…，
∴第100个单项式为 ；第n个单项式为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了整的加减中代数式的规律问题，正确掌握寻找规律的基本方法是解题的关键．
5．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“ ”的
个数是____________．
【答案】49
【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7
个，……由规律即可得答案．
【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
二、解答题
6．（2022·四川宜宾·七年级期末）已知关于 的多项式 ， ．(1)若整式 不含 项和不含 项，求 、 的值；
(2)若整式 是一个五次四项式，求出 、 满足的条件．
【答案】(1) ，
(2)若 ，则
【分析】（1）根据多相似不含 项、 项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出 、 的值．
（2）根据 是一个五次四项式（该多项式中， 的最高次幂是五次，即 ，一共有四项），分类讨论
得出结论．
（1）因为 ，当 不含 项和不含 项时有 和
，因为 ， ，所以 ．因为 ， ，所以 或 （不符合
题意）．所以 ．
（2）因为
当 是一个五次四项式时，①若 ，即 ，则 有 ，
， ， ，2．若要 多项式中含 ，且共有四个项，则 ，且 ，则 ．若
，则 满足条件；②若 ，即 ，则 有 ， ， ， ， ，
2．又 ，且 共有四个项，则 ．则 ， ．则 或 （不符合题
意）．若 ，则 ，此时 为不含 的四项式，不满足条件．
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式
的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如
果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．
7．（2020·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）如图，在一个底为acm，高为hcm的三角形铁皮上剪去一个半径为rcm的半圆．
(1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积，并判断这个代数式是单项式还是多项式；
(2)求当a＝20，h＝15，r＝4时剩下的铁皮面积（π取3）．
【答案】(1) ah﹣ πr2，是多项式
(2)126
【分析】（1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果；
（2）把a＝20，h＝5，r＝4代入（1）中的代数式计算即可．
（1）
解：S ＝S ﹣S
阴影 三角形 半圆
＝ ah﹣ πr2，是多项式；
（2）
当a＝20，h＝15，r＝4，π＝3时，
S ＝ ah﹣ πr2
阴影
＝ ×20×15﹣ ×3×42
＝150﹣24
＝126．
【点睛】此题考查了列代数式，整式的判断，已知字母的值求代数式的值，正确理解图形面积的计算方法
列得代数式是解题的关键．
8．（2020·河南省洛阳市东升第二中学七年级期中）已知有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别是A、
B、C三点，且a、b、c满足：
①多项式x|a|＋（a﹣2）x＋7是关于x的二次三项式；
②（b﹣1）2＋|c﹣5|＝0．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)点P为数轴上C点右侧一点，且点P对应的数为y，化简|y＋2|＋2|1﹣y|﹣|y﹣5|；(3)点A在数轴上以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C在数轴上分别以每秒m个单位长度
和4个单位长度的速度向右运动（其中m＜4），若在整个运动的过程中，点B到点A的距离与点B到点C
的距离差始终不变，求m的值．
【答案】(1)a＝﹣2，b＝1，c＝5
(2)2y＋5
(3)1.5
【分析】（1）由非负数的性质和二次三项式的定义可求a，b，c的值；
（2）由y的取值范围，根据绝对值的性质化简即可；
（3）设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1＋mt，点C表示的数为5＋
4t，由题意列出等式，整理后根据距离差始终不变求解即可．
（1）
解：∵（b﹣1）2＋|c﹣5|＝0，
∴b﹣1＝0，c﹣5＝0，
∴b＝1，c＝5，
∵多项式x|a|＋（a﹣2）x＋7是关于x的二次三项式，
∴|a|＝2且a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝1，c＝5；
（2）
∵点P为数轴上C点右侧一点，
∴y＞5，
∴|y＋2|＋2|1﹣y|﹣|y﹣5|
＝y＋2＋2（y﹣1）﹣（y﹣5）
＝y＋2＋2y﹣2﹣y＋5
＝2y＋5；
（3）
设运动时间为t秒，则t秒后点A表示的数为﹣2﹣t，点B表示的数为1＋mt，点C表示的数为5＋4t，
根据题意得：[1＋mt﹣（﹣2﹣t）]﹣[5＋4t﹣（1＋mt）]＝[1﹣（﹣2）]﹣（5﹣1），
整理得：（2m﹣3）t＋5＝0，
∵在整个运动的过程中，点B到点A的距离与点B到点C的距离差始终不变，
∴2m﹣3＝0，∴m＝1.5．
【点睛】本题考查了非负数的性质，多项式的定义，绝对值的性质以及用数轴上的点表示数，熟练掌握基
础知识是本题的关键．
