文档内容
*3.3 垂径定理
教学内容 *3.3 垂径定理 课时 1
1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程;
核心素养 2.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
目标 3.在研究过程中，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法；在解题过
程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问
知识目标 题；(重点)
2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
教学重点 垂径定理及其推论.
教学难点 运用垂径定理及其推论解决有关问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约
设计意图：创设现实问题
有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧 情境，引导学生发现数学
的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 问题，不仅能很好地吸引
的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距 学生注意力，还能让学生
离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保 切身体会到生活中处处都
留小数点后一位）. 时数学，感受数学美，了
解知识的产生.
同学们先讨论，然后带
着疑问点开启今天课堂
内容.
二、探究
二、小组合作，探究概念和性质
新知
探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 设计意图：旨在通过这样
CD，使 CD⊥AB，垂足为 的复合图形的轴对称性，
M. 探索垂径定理.有的学生
(1) 右图是轴对称图形吗？ 可能会用折叠的办法得出
如果是，其对称轴是什么？ 猜想，还有的学生可能会
(2) 你能发现图中有哪些等 尝试用证明的方法得出结
量关系？说一说你的理由.
论.教学时应鼓励学生探
索方式的多样性，在此基
础上通过交流使所有的学
师生活动：
学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，
生都能有所收获.
动手画圆、剪圆，按照轴对称图形的探究方法探
究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧的关系
并总结．给学生留出充分的时间在小组内讨论、
交流，教师要深入到小组中指导．
生：这个图形是轴对称图形，对称轴是直径 CD
所在的直线．
师：那能说出你的理由吗？
预设：
连接 OA，OB，则OA = OB.
在Rt△OAM 和Rt△OBM 中，
∵OA = OB，OM = OM，
∴Rt△OAM△ ORtB△M.
∴AM = BM.
∴点 A 和点 B 关于 CD 对称.
师生共同总结：
1圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的
直线，圆的对称轴有无穷多条.
师：从上面的探究中，你能得出图中有哪些等量
关系？说一说你的理由．
生：我们采用折叠的方法，方法如下：将这个图
形沿着直径CD所在直线折叠，发现AM与BM重
合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重
合，AC与BC重合；AD与BD重合，所以等量关系
有AM＝BM，∠CMA＝∠CMB＝90°，∠DMA＝
∠DMB＝90°，AC＝BC，AD＝BD．
师：上面我们是利用折叠的方法得出了等量关
系，你能不能证明它们之间的等量关系呢？
师生活动：
教师给学生留出足够的思考时间，可以利用
轴对称的性质，通过三角形全等进行证明，学生
独立解答，代表板演展示，最后教师课件出示解
题过程，规范学生的解题步骤．
定义总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
弧.
推导格式：
教师强调：结论中的“弧”指平分弦所对的劣
弧、优弧．
典例精析
设计意图：让学生在探究
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为
的过程中得出垂径定理,
10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
并能快速、准确地将该定
理的语言进行转化.应鼓
励学生用多种方法进行探
讨，体会研究图形的多种
方法．
2想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如
果不是，请说明为什么？
（1） （2） （3） （4）
答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直.
（3）是
（4）不是，因为 AB，CD 都不是直径.
师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试
着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予
详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程
设计意图：与前面的过程
中，逐渐形成对垂径定理的认识.
类似，探索垂径定理的一
个逆定理，教学时，应首
先鼓励学生独立探索，然
后通过学生间的交流得出
结论，并在这一过程中再
次体会研究图形的多种方
思考探索
法，仿照前而证明垂径定
垂径定理
理的方法，有些学生可能
会证明垂径定理的这一逆
定理，教学时应当鼓励有
能力的学生书写证明过
程.
问题：上述五个条件中的任何两个条件都可以推
出其他三个结论吗？
探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），
作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ．
(1) 这个图形是轴对称图形
吗？如果是，它的对称轴是什
么？
(2) 你能发现图中有哪些等量
关系？说一说你的理由.
师生活动：让学生模仿垂径定理的证明过程，学
生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表
述定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
教师展示解题过程
3归纳总结
垂径定理的逆定理：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的弧.
师：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
特别说明：圆的两条直径是互
设计意图：在问题中使学
相平分的.
生体验感性知识到理性知
识，从具体到抽象的过
拓展：
程，对数学模型进行定性
研究。
回顾导入
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径
设计意图：木例是重径定
r 之间有以下关系：
理的应用，解题过程中使
用了列方程的方法，用代
数方法解决几何问题，这
种思想应该向学生进行渗
透.
三、当堂
练习，巩
固所学
设计意图：考查对垂径定
理的运用.
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图
中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中
CD=600 m ， E 为 弧 CD 上 的 一 点 ， 且
OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半
径.
4师生活动：
学生自主思考总结，然后小组讨论，代表回答问
题.
预设： 设计意图：考查对垂径定
理逆定理的运用.
三、当堂练习，巩固所学
1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的
距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.
2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦
MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦
MN 和 EF 之间的距离为 cm.
3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用
的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简
单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管
道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面
宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度.
垂径定理
板书设计 1．垂径定理
2．垂径定理的推论
课后小结
教学反思 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较
多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前
5布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图
形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发
学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.
6
