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3.3 垂径定理教学设计
课题 3.3垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九
1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；运用垂径定理及其逆定理解决问题。
2. 经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各
学习
种方法。
目标
重点 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
难点 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折， 学生自由讨论 通过等腰三角
可以发现什么结论？ 回答 形的轴对称性向
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆 圆的轴对称性过
心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称 渡，引导学生思
图形呢？ 考，培养学生类
比分析的能力。
讲授新课 1400 多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如
图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的 让学生自己根据
长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫 轴对称图形的定
弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）. 证明完毕 义动手操作，培
后，让学生自 养学生独立探究
行用文字语言 问题和解决问题
表述这一结 的能力.
论，最后提炼
1．如图，AB是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使
出垂径定理的
CD⊥AB，垂足为M。
内容——垂直
于弦的直径平
分这条弦，并
且平分弦所对
的两条弧。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的
理由．
条件：① CD是直径；② CD⊥AB 在 旋 转 中 领 会
结论（等量关系）：③AM=BM； 定 理 的 证 明 思
④ \s\up1(⌒)=\s\up1(⌒) ；
路，突出重点、
⑤\s\up1(⌒)=\s\up1(⌒)。
证明：连接OA,OB,则OA=OB 突破难点，培养
学生的逻辑思维
能力，提高学生
的概括、总结的
语言表达能力.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
通过以上辨析，
∴点A和点B关于CD对称. 让学生对垂径定
理的两个条件的
∵⊙O关于直径CD对称,
必要性有更充分
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, 的认识。
同伴交流
\s\up1(⌒)和\s\up1(⌒)重合, \s\up1(⌒)
和\s\up1(⌒)重合.
∴ \s\up1(⌒)=\s\up1(⌒) ，
\s\up1(⌒)=\s\up1(⌒).
练一练：
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
让 学 生 猜
想、类比、探索
让学生模
和 证 明 获 得 新
仿垂径定理的
知，从而得到研
证明过程，自
行证明逆定 究数学的多种方
理，并表述逆
法的体会，获取
定理的内容。
经验；通过对定
理表述反复的语
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径
言提炼，锻炼学
（半径），垂直于弦。
生的归纳能力和
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条
严 谨 的 表 述 能
件的必要性有更充分的认识。
力，并对定理的条件和结论有更
深刻的理解和认
垂径定理推论的探索
识；
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条
平分AB的直径CD，交AB于点M。
让学生应用
新知识构造直角
学生 认
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 三角形，并通过
真读题、审
什么？ 题，思考解题 方程的方法去解
决几何问题；
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 方法。
条件：① CD是直径；② AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
④ \s\up1(⌒)=\s\up1(⌒) ；
⑤\s\up1(⌒)=\s\up1(⌒).
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明
逆定理，并表述逆定理的内容
——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并
且平分弦所对的两条弧.
例题：
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
\s\up1(⌒),点0是\s\up1(⌒)所在圆的圆心），
其中 CD=600m，E为\s\up1(⌒)上的一点，且
OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
解：连接 OC，设 弯路 的半径为 Rm,则
OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
1 1
∴CF= CD= ×600=300
2 2
根据勾股定理，得 OC²=CF² +OF²
即 R²=300²+(R-90)².
解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.
课堂练习
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为
M，下列结论不一定成立的是（ ）
A. CM = DM B. C^B=^BD
C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD
2.如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足
及时练习巩固，
为点H，且CD=2√2，BD=√3，则AB 的长为（
体现学以致用的
）
学生自主动手 观念，消除学生
解决，老师进 学无所用的思想
行订正。 顾虑。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且
MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离
为 .
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一
个动点，那么OP长的取值范围 .
5.如图所示，在⊙O中，AB为直径，点B为CD的
中点，直径AB交弦CD于点E， CD=2√5,AE=5.
(1)求⊙O的半径r的值；
(2)点F在直径AB上，连结CF，当∠FCE=∠DOB
时，求：AF的长.课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一 让学生与同伴交
起进行交流， 流获得结果，帮
共同回顾本节 助他分析，找出
知识 问题原因，及时
查漏补缺.
板书 §3.3 垂径定理
一、 垂径定理
二、 垂径定理的逆定理
三、列题讲解
