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第 06 讲 直线与圆的位置关系（1）
课程标准 学习目标
①直线与圆的位置关系 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。
②切线的判定 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定
③切线的性质 以及对切线的性质进行应用。
知识点01 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r 直线与圆 ，有 个交点，直线叫圆的 。
（2）d r 直线与圆相切，与圆只有 个交点，此时直线叫做圆的 ，交点叫
做直线与圆的 。
（3）d＞r 直线与圆 ，与圆 公共点。【即学即练1】
1． O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
⊙ ⊙
【即学即练2】
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与
斜边AB有公共点，那么 C的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0≤r≤ B． ≤r≤3 C． ≤r≤4 D．3≤r≤4
知识点02 切线的判定
1. 切线的判定定理：
经过半径的 且与这条半径 的直线叫做圆的切线。
2. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的 O与BC相切于点M．
求证：CD与 O相切．
⊙
⊙
【即学即练2】
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．
知识点03 切线的性质
1. 切线的性质：
（1）圆的切线 经过 的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过 。
【即学即练1】
5．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，当
∠CED＝58°时，∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
【即学即练2】
6．如图，AB是 O的直径，延长AB至C，CD切 O于点D，过点D作DE∥AB交 O于点E，连接
BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，则BC的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．3 B．4 C．6 D．4 ﹣6题型01 确定直线与圆的位置关系
【典例1】 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和 O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
⊙ ⊙
【变式1】一个圆的半径是9cm．如果圆心与直线上一点之间的距离是 9cm，那么这条直线和这个圆的位
置关系是（ ）
A．相切 B．相交
C．相交或相切 D．相离
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作
圆，则 C与AB的位置关系是（ ）
⊙
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相离
【变式3】已知 O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l
与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相离
⊙
C．相交 D．相切或相交
【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S ＝10 ，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，
ABCD
则AD边所在直线与 C的位置关系是（ ） ▱
⊙
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
题型02 根据直线与圆的位置关系求值
【典例1】设 O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z
与 O相切时，m的值为 ．
⊙
【变式1】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，如果以点C为圆心，r为半径，且 C与斜边AB仅
⊙
⊙有一个公共点，那么半径r的取值范围是 ．
【变式2】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是 ．
【变式3】已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得
到的直线与半径为6的 O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
⊙
题型03 利用切线的性质进行计算
【典例1】如图，点A、C是 O上两点，连接AC并延长交切线BD于点D，连接OB、OC、BC、AB，若
∠CBD＝40°，则∠BOC＝（ ）
⊙
A．40° B．55° C．70° D．80°
【变式1】如图，PA、PB分别与 O相切于A、B两点，点C为 O上一点，连接AC、BC，若∠P＝
80°，则∠ACB的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．80° B．40° C．50° D．70°
【变式2】如图，AB是 O的直径，PA与 O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则
∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．40° C．50° D．60°
【变式3】如图，AB是 O的直径，AP是 O的切线，PB交 O于点C，点D在 O上，若∠ADC＝
40°，则∠P的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．35° B．40° C．45° D．50°
【典例1】如图，AB是 O的直径，点D在 O上，过点D作 O的切线DC交AB的延长线于点C．若
BC＝4，CD＝8，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙A．5 B．6 C．8 D．9
【变式1】如图，AB是 O的直径，AC是 O的切线，连接OC交 O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA
＝2，则BD的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 B．2 C．3 D．3
【变式2】如图，DE与 O相切于点D，交直径AB的延长线于点E，C为圆上一点，∠ACD＝60°．若
DE的长度为3，则BE的长度为（ ）
⊙
A． B． C． D．2
【变式3】如图，AB是 O的切线，切点为点H，连接OA、OB分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一
点且∠DCE＝52.5°，若 O的半径长为2，且∠A＝30°，则AB的长为（ ）
⊙
⊙
A．6 B． C． D．
题型04 切线的判定与性质
【典例1】如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作
OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．
⊙ ⊙
（1）求证：直线BE与 O相切；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
⊙【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的 O经过点
E，且交BC于点F．
⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若BF＝6， O的半径为5，求CE的长．
⊙
⊙
【变式2】如图，点D是以AB为直径的 O上的一点，过点B作 O的切线，交AD的延长线于点C，点
E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
⊙ ⊙
（1）求证：DF是 O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长．
⊙【变式3】如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于
点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．
（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，
①求证：AC＝CF；
②若AD＝1，求线段FG的长．
1．如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是 8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（
）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
2．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是
（ ）A． O B． O C． O D． O
1 2 3 4
3．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
4．如图，AB是 O的直径，BC交 O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是 O的切线，还需补充一个条
件嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”；淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是 O的切
⊙ ⊙ ⊙
线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（ ）
⊙
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．他们都正确 D．他们都错误
5．如图， O与△OAB的边AB相切干点B，将△OAB绕点B顺时针方向旋转得到△O′A′B，使得点
O′落在 O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A'＝25°，则∠OCB的度数为（ ）
⊙
⊙
A．75° B．80° C．85° D．90°
6．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与 O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣2 ⊙2 D．﹣2 ＜b＜2
7．如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相
切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1）
8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的 P的圆心在直线AB上，且位于点O
左侧的距离10cm处．如果 P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（ ）秒钟后 P与直线
⊙
CD相切．
⊙ ⊙A．3 B．7 C．3或7 D．6或14
9．如图，等边三角形ABC的边长为4， C的半径为 ，P为AB边上一动点，过点P作 C的切线
PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C．2 D．3
10．如图， O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D
是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线
⊙
PA和CQ都是 O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（ ）
⊙
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它
们的位置关系是 ．
第11题 第12题
12．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作 O的切线交AB延长线于
点E，则∠E的度数为 ．
⊙ ⊙ ⊙
13．如图， O内有一Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝53°，点B在圆上，边AC经过圆心O．△DEF是
△ABC平移后的图象，点A，B的对应点D，E在 O上，点C的对应点F在 O外，若DF与 O相切，
⊙
连接OE，则∠COE＝ °．
⊙ ⊙ ⊙第13题 第14题
14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝120°，P是AB边上的一动点，以P为圆心，线段PB的长为
半径画圆，当 P与△ADC边所在的直线相切时， P的半径为 ．
15．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，以P为圆心，2为半径的圆与y轴相交，则n的取
⊙ ⊙
值范围是 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（OA＞OB），C（a，﹣a）（a
为常数），以C为圆心、适当的长度为半径作 C，使点A、B在 C上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 C．（保留作图痕迹，不写作法）；
⊙ ⊙
（2）若OA＝8，OB＝6，直线y＝x+b与 C有且只有一个公共点，则b＝ ．
⊙
⊙
17．如图， O是△ABC的外接圆，AE切 O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E．
（Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小；
⊙ ⊙
（Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和 O的半径．
⊙18．如图，AB是 O的直径，AC是弦，D是 的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，
且CF＝EF．
⊙
（1）求证：CF为 O的切线；
（2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长．
⊙
19．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，
AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为 的中点， O的半径为2，求AB的长．
⊙20．如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作 O，点G为AB的中点，连接CG交
O为E点；
⊙
（1）求证：点E为CG的中点；
⊙
（2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是 O的切线；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长．
⊙
