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第 06 讲 正多边形和圆
1. 了解正多边形和圆的有关概念；
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边
形和圆的有关知识画多边形．
知识点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在 ⊙ 中 △ 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 中 进 行 ：
；
C
O B C
B D A O O
A E D B
A
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
知识点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
知识点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正 n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过
正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【题型1 正多边形与圆求角度】
【典例 1】（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，
∠ADB的度数是（ ）
⊙
A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：连接OB，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°．
故选：B．【变式1-1】（2023•惠水县一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一
边重合，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．20° D．22°
【答案】B
【解答】解：正五边形的内角 ＝108°，正六边形的内角
＝120°，
故∠1＝120°﹣108°＝12°．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•曲周县期末）已知：如图，四边形 ABCD是 O的内接
⊙
正方形，点 P是劣弧 上不同于点 C的任意一点，则∠BPC的度数等于（
）
A．45° B．60° C．35° D．55°
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是 O的内接正方形，
⊙
∴∠BOC＝ ＝90°，
∴∠BPC＝ ＝45°．
故选：A．【变式 1-3】（2023•新市区校级一模）如图， O 与正五边形 ABCDE 的边
⊙
AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧 所对的圆心角∠BOD 的大小为（
）
A．150° B．144° C．135° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°．
∵AB、DE与 O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
⊙
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：B．
【题型2正多边形与圆求线段长度】
【典例2】（2023•龙港市二模）如图，要拧开一个边长为 a的正六边形螺帽，
则扳手张开的开口b至少为（ ）
A．2a B． C． D．
【答案】B【解答】解：如图，正六边形 ABCDEF的外接圆为 O，连AE，OA，BE，
则点O在BE上，
⊙
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，
∴∠FAE＝∠FEA＝ ＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝ ×60°＝30°，
∴AE＝ AB＝ a，
即b＝ a，
故选：B．
【变式2-1】（2023春•鼓楼区校级期中）如图，A、B、C、D为一个正多边形
的顶点，若∠ADB＝15°，则该正多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为 O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝15°，
⊙
∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，
而360°÷30°＝12，∴这个正多边形为正十二边形，
故选：D．
【变式 2-2】（2022秋•烟台期末）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，若
O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（ ）
⊙
⊙ π
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵ O的周长等于6 ，
⊙ π
∴ O的半径OB＝OC＝ ＝3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
⊙
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，
故选：B．
【变式2-3】（2023•苏州二模）如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的
⊙ ⊙
半径为1，过O作OM垂直AB，交AB于点M，则OM的长为 ．
【答案】 ．
【解答】解：如图，连接OB、OA．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，
∴△OBA是等边三角形，
∴BA＝OB＝OA＝1，
∵OM⊥BA，
∴BM＝AM＝ ，
在Rt△OBM中，OM＝ ＝ ，
故答案为： ．
【题型3正多边形与圆求半径】【典例3】（2022秋•巩义市期末）如图，已知 O的内接正方形ABCD的边长
为1，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：连接OB、OC，如图所示，
∵ O的内接正方形ABCD的边长为1，
∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，
⊙
在Rt△BOC中，
OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，
∴OB＝ ．
故选：B．
【变式3-1】（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，正
六边形的周长是12，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴ O的半径是2．
故选：C．
⊙
【变式3-2】（2023•宜春一模）若正方形的边长为 8，则其外接圆的半径是
．
【答案】 ．
【解答】解：如图：过点O作OE⊥BC于点E，
∵圆O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠OBE＝45°，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴BE＝CE，
∵OE⊥BC，BC＝8，
∴ ，
∴ ．故其半径等于 ．
故答案为： ．
【题型4正多边形与圆求面积】
【典例4】（2022秋•呈贡区期末）正六边形的边长为 6cm，则该正六边形的内
切圆面积为（ ）
A．48 cm2 B．36 cm2 C．24 cm2 D．27 cm2
【答案】D
π π π π
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵正六边形的边长为6cm，
∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，
∴OG＝OA•sin60°＝6× ＝3 （cm），
∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3 cm．
该正六边形的内切圆面积为 cm2
故选：D．
【变式4-1】（2023•大冶市一模）如图，有一个亭子，它的地基是边长为 4m
的 正 六 边 形 ， 则 地 基 的 面 积 为 （ ）A．4 m2 B．12 m2 C．24m2 D．24 m2
【答案】D
【解答】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边
长为4m，高为2 m，
∴正六边形的面积为6× ×4×2 ＝24 （m2），
故选：D．
【变式4-2】（2023•南山区二模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，
利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究
的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程 中，作了一个如图所示的圆内
接正八边形．若 O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
⊙
A． B．2 C． D．
【答案】D
π π
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正八边形的圆心角为 ＝45°，OA＝1，∴AC＝OC＝ ，
∴S ＝ ×1× ＝ ，
△OAB
∴这个圆的内接正八边形的面积为8× ＝2 ，
故选：D．
【变式4-3】（2023•济源一模）如图，正六边形 ABCDEF，A（﹣2，0），D
（2，0），点P从点A出发，沿A→B→C→D→E→F→A以每秒1个单位长
度的速度运动，当运动到第2023秒时，△AOP的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，A（﹣2，0），D（2，0），
∴OA＝OE＝OD＝2，∠EOD＝ ×360°＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝OD＝2，
∵2023÷（2×6）＝168……7，∴当运动到第2023秒时，点P为ED边的中点，
∴PD＝PE＝ ED＝1，OP⊥ED，
作PG⊥OD于点G，
∵∠OPD＝90°，OD＝2，PD＝1，
∴OP＝ ＝ ＝ ，
∴S ＝ OA•PG＝ OD•PG＝S ＝ OP•PD＝ × ×1＝ ，
△AOP △OPD
故选：B．
【题型5正多边形与圆求周长】
【典例5】（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线 AB的长为10，
则正六边形的周长（ ）
A．5 B．6 C．30 D．36
【答案】C
【解答】解：如图，连接CD、EF，则点O是正六边形ACEBDE的中心，
∵正六边形ACEBDE，
∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝ ＝60°，
∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，
∴△AOC是正三角形，∴AC＝ AB＝5，
∴正六边形ACEBDF的周长为5×6＝30，
故选：C．
【变式5-1】（2023春•余姚市期中）一个边长为 1的正多边形的每个外角的度
数是36°，则这个正多边形的周长是（ ）
A．1 B．10 C．5 D．
【答案】B
【解答】解：由题意，得
多边形边数为360÷36°＝10，
∴正多边形为正十边形，
∵边长为1，
∴正六边形的周长为10，
故选：B．
【变式 5-2】（2022秋•北辰区校级期末）边心距为 3的正六边形的周长为（
）
A．18 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的中心为点O，边心距为3，
连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，则OG＝3，∠OGA＝90°，
∵OA＝OB，∠AOB＝ ×360°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴ ＝sin∠OAB＝sin60°＝ ，∴AB＝OA＝ ＝ ＝2 ，
∴正六边形的周长为6AB＝6×2 ＝12 ，
故选：B．
【变式5-3】（2022秋•河西区期末）六个带30°角的直角三角板拼成一个正六
边形，直角三角板的最短边为10，求中间正六边形的周长 ．
【答案】60．
【解答】解：如图，
∵△ABG≌△BCH，
∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，
∴BG＝2AG，
即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝10，
∴中间正六边形的周长＝6×10＝60，
故答案为：60．【题型6正多边形与直角坐标系综合】
【典例6】（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片
“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到
中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为 4的正六边形ABCDEF）放
在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B
的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（4，4） C． D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，OA，如图所示：
∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝2，
∴OM＝ ，
∴点B的坐标为：（2 ，2），
故选：C．
【变式6-1】（2023•洛龙区一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受
了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为 4的正六边形ABCDEF）
放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则
顶点C的坐标为（ ）
A． ） B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝ ×120°＝60°，
∴CM＝ BC＝2，BM＝ BC＝2 ，
∴点C的横坐标为﹣（2 ﹣2）＝2﹣2 ，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2 ，3），
故选：B．
【变式 6-2】（2022 秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形
OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）A． B． C． D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆
心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME 为等边三角形，∠OMH＝
30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴
∴点M的坐标为：
故选：A．
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1．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的
：18907713
大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【答案】B
【解答】解：由于正六边形的中心角为 ＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整
数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．
2．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点P在 上，点Q是
⊙
的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是 的中点，
∴∠COD＝∠DOE＝ ＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝ ∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ＝ ∠COQ＝45°，
故选：B．
3．（2023•安徽）如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，连接 OC，OD，则
∠BAE﹣∠COD＝（ ）
⊙A．60° B．54° C．48° D．36°
【答案】D
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝ ＝108°，∠COD＝ ＝72°，
∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，
故选：D．
4．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅
不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算
出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
设这个正多边形为正n边形，则 ＝150°，
解得n＝12，
经检验n＝12是原方程的解，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
5．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故
事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．
如图，将“雪花”图案（边长为 4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标
系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为
（ ）A．（2﹣2 ，3） B．（0，1+2 ）
C．（2﹣ ，3） D．（2﹣2 ，2+ ）
【答案】A
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝ ×120°＝60°，
∴CM＝ BC＝2，BM＝ BC＝2 ，
∴点C的横坐标为﹣（2 ﹣2）＝2﹣2 ，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2 ，3），
故选：A．
6．（2022•雅安）如图，已知 O 的周长等于 6 ，则该圆内接正六边形
ABCDEF的边心距OG为（ ）
⊙ πA．3 B． C． D．3
【答案】C
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，OG⊥CD，
∴∠COG＝30°，
∵ O的周长等于6 ，
∴OC＝3，
⊙ π
∴OG＝3cos30°＝ ，
故选：C．
1．（2022秋•灵宝市期末）边长为4的正方形内接于 O，则 O的半径是（
）
⊙ ⊙
A． B．2 C．2 D．4【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
则OC＝OB，∠BOC＝ ＝90°，
在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，
∵BC＝4，
∴OC＝OB＝ ．
∴ O的半径是 ，
故⊙选：C．
2．（2023•梁溪区二模）如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形
的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为（ ）
A．14° B．40° C．30° D．15°
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，
多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为： ＝9，
∴∠AOB＝ ，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD＝ ＝ ＝30°．
故选：C．
3．（2023春•汉寿县期末）若一个正多边形的一个内角的度数为 144°，则这个
正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）•180°＝144°n，
解得n＝10，
故选：D．
4．（2023•崆峒区校级三模）平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术
的宝贵实物资料，图①是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，
呈六角六面四级阶状尖顶塔，图②是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象
为正六边形，则a的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
【答案】C
【解答】解：a的度数为 ＝60°，故选：C．
5．（2023•玉林一模）如图，在由边长相同的 7个正六边形组成的网格中，点
A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，
符合点C条件的格点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
6．（2023•夏津县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所
示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的
个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】D
【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为： ＝108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故选：D．
7．（2023•咸宁模拟）如图，正五边形 ABCDE 内接于 O，其半径为 1，作
⊙
OF⊥BC交 O于点F，则 的长为（ ）
⊙
A． B． C． D．
【答案】C
π
【解答】解：连接OA，OB，OC，如图：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴∠BOF＝ ∠BOC＝36°，
∴∠AOF＝108°，
∴ 的长为 ＝ ，
故选：C．
π
8．（2022•青岛）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，点 M 在 上，则
⊙∠CME的度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】D
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME＝ ∠COE＝60°，
故选：D．
9．（2022秋•荔湾区校级期末）如图．点 O是正五边形ABCDE的中心， O
是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
⊙
A．30° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【解答】解：如图：连接AO、EO，在正五边形ABCDE中，∠AOE＝ ＝72°，
∴∠ADE＝ ∠AOE＝ ×72°＝36°，
故选：C．
10．（2022•思明区校级二模）如图，正三角形 PMN 的顶点分别是正六边形
ABCDEF 三边的中点，则三角形 PMN 与六边形 ABCDEF 的面积之比
（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
【答案】D
【解答】解：连接 BE，设正六边形的边长为 a．则 AF＝a，BE＝2a，
AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝ （AF+BE）＝1.5a，
同法可得PM＝MN＝1.5a，
∵△PMN是等边三角形，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．11．（2022•桐梓县模拟）如图， O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别
⊙
交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4 ．则点O到FM的距离
是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：连接OM，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝ FM＝2 ，
∴OH＝ FH＝2 ，
故选：C．12．（2023春•高邑县期末）定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，
排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．
如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图 2，中间可以围成的正多边形的边数为
6 ；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个
环状连接的外轮廓长为 2 7 a ．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）6；
（2）27a．
【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为
240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个
环状连接的外轮廓长为27a．故答案为：6；27a．
13．（2023•兴庆区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2的正六边
形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点
O顺时针旋转，每次旋转 90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为
．
【答案】 ．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，
∴ ，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第2次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第3次旋转结束时，点A的坐标为 ，
第4次旋转结束时，点A的坐标为 ，
∴4次一个循环，
∵2023÷4＝505⋯⋯3，
∴第2023次旋转结束时，点A的坐标为 ．
故答案为： ．
14．（2023•新城区校级二模）如图，已知 O的内接正六边形ABCDEF的边
⊙心距OM是 ，则正六边形的边长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，连接OD、OE，
∵六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴ ，
∵OD＝OE，
∴△DOE是正三角形，
∵ O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM是 ，
⊙
∴ ，
即正六边形ABCDEF的边长为2，
故答案为：2．
15．（2023•镇江一模）在九年级《数学实验手册》中，我们探究了最小覆盖圆
与图形之间的关系．现有如图所示的等边三角形△ABC，边长为3，若分别
以顶点A、B、C为圆心作三个等圆，这三个等圆能完全覆盖△ABC，则所作
等圆的最小半径是 ．【答案】 ．
【解答】解：当三个等圆相交于一点时，此时恰好能完全覆盖△ABC，
设这个点为O，连接OA、OB、OC，此时OA或OB或OC是所作等圆的最小
半径，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
由题意可知：OA＝OB＝OC，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴ ，
在△ACO和△BCO中，
，
∴△ACO≌△BCO（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
延长AD交BC于点E，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC， ，
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴OC＝2OE，
∵OE2+CE2＝OC2，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
∴所作等圆的最小半径为： ．
故答案为： ．
16．（2023•抚州一模）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由 7个形状、大小
完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点
都在格点上．设定 AB 边如图所示，则△ABC 是直角三角形的个数有 10
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角
形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故答案为：10．
