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4.2 提公因式法
课堂知识梳理
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因
1.提公因式法：
式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式..如:
ab+ac=a(b+c)
2、找公因式的方法：（1）各项数字的最大公因数，（2）各项相同字母的
最低次数
3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干
净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．把多项式−6x2−9x分解因式，结果正确的是（ ）
A．−3(2x2+3x) B．−3(2x2−3x) C．−3x(2x−3) D．−3x(2x+3)
【答案】D
【详解】解：−6x2−9x=−3x(2x+3)，
故选：D．
2．（把−6x3y2−3x2y2+8x2y3因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．−3x2y2 B．−2x2y2 C．−6x2y2 D．−x2y2
【答案】D
【详解】由题意得应该提取的公因式是：−x2y2
故选：D．
3．如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为（ ）
A．100 B．120 C．48 D．140
【答案】B
【详解】解：由题意知，ab=15，2(a+b)=16，
1则a+b=8，
因此a2b+ab2=ab(a+b)=15×8=120，
故选B．
4．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．ax−bx与by−ay B．ab−ac与ab−bc
C．6xy−8x2y与−4x+3 D．(a−b) 3 与(b−a)2y
【答案】B
【详解】A.ax−bx=x(a−b)，by−ay=−y(a−b)，有公因式a−b，故不符合题意；
B.ab−ac=a(b−c)，ab−bc=b(a−c)，没有公因式，符合题意；
C.6xy−8x2y=2xy(3−4x)，−4x+3=3−4x，有公因式3−4x，故不符合题意；
D. (a−b)
3与(b−a)2y有公因式a−b，故不符合题意；
故选：B
5．分解因式b2(x−2)+b(2−x)正确的结果是（ ）
A．(x−2)(b2+b) B．b(x−2)(b+1) C．(x−2)(b2−b) D．b(x−2)(b−1)
【答案】D
【详解】解：b2(x−2)+b(2−x)
=b2(x−2)−b(x−2)
=b(x−2)(b−1)．
故选：D
6．在因式分解练习时，小颖做了4道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）
A．x2−y2=(x−y)(x+ y) B．x2−4xy+4 y2=(x−2y) 2
C．x2y−2x y2=xy(x−2y) D．x2−x=x(x2−1)
【答案】D
【详解】解：A. x2−y2=(x−y)(x+ y)，正确，不符合题意；
B. x2−4xy+4 y2=(x−2y) 2，正确，不符合题意；
C. x2y−2x y2=xy(x−2y) ，正确，不符合题意；
D. x2−x=x(x−1) ，原式分解错误，符合题意，
故选：D．
7．已知d=x4−2x3+x2−8x+11，则当x2−2x−3=0时，d的值为（ ）．
A．25 B．24 C．23 D．22
【答案】C
【详解】∵x2−2x−3=0，
∴d=x4−2x3+x2−8x+11，
2=x2 (x2−2x−3)+4(x2−2x−3)+23，
=23
故选：C
8．分解因式6x2y3+15x y2z的结果是______．
【答案】3x y2(2xy+5z)
【详解】解：原式=3x y2(2xy+5z)．
故答案为：3x y2(2xy+5z)．
9．因式分解：(x+3) 2−(x+3)=_________.
【答案】(x+3)(x+2)
【详解】解：(x+3) 2−(x+3)= (x+3)[(x+3)−1]=(x+3)(x+2)，
故答案为：(x+3)(x+2)．
10．计算(1+√3) 2018 −2(1+√3) 2017 −2(1+√3) 2016=______________．
【答案】0
【详解】解：原式=(1+√3) 2016[(1+√3) 2 −2(1+√3)−2]
=(1+√3) 2016[4+2√3−2−2√3−2]
=0；
故答案为0．
11．已知x+ y=3，xy=−4，则x2y+x y2的值是 _____．
【答案】−12
【详解】解：∵x+ y=3，xy=−4，
∴x2y+x y2
=xy(x+ y)
=−4×3
=−12
故答案为：−12．
12．把下列多项式因式分解：
(1)x2−xy+x；
(2)m2n−mn2+mn；
(3)9x3y3−21x3y2+12x2y2；
(4)x2(x−y)+ y2(x−y)．
【答案】(1)x(x−y+1)
(2)mn(m−n+1)
(3)3x2y2(3xy−7x+4)
3(4)(x−y)(x2+ y2)
【详解】（1）解：x2−xy+x=x(x−y+1)
（2）解：m2n−mn2+mn=mn(m−n+1)
（3）解：9x3y3−21x3y2+12x2y2=3x2y2(3xy−7x+4)
（4）解：x2(x−y)+ y2(x−y)=(x−y)(x2+ y2)
13．先化简再求值：2x(x+ y)−(x+ y)(x−y)，其中x=2,y=−1．
【答案】(x+ y) 2，1
【详解】解：2x(x+ y)−(x+ y)(x−y)
=(x+ y)(2x−x+ y)
=(x+ y) 2
当x=2,y=−1时，
原式=(2−1) 2=1．
1
14．先化简再求值：a(a−b) 2−b(b−a) 2，其中a=2，b= ．
2
27
【答案】(a−b) 3，
8
【详解】解：a(a−b) 2−b(b−a) 2
=a(a−b) 2−b(a−b) 2
=(a−b) 2 (a−b)
=(a−b) 3，
1 ( 1) 3 (3) 3 27
将a=2，b= 代入可得，原式= 2− = = ．
2 2 2 8
15．利用因式分解计算：2015+20152−2015×2016
【答案】0
【详解】2015+20152−2015×2016
=2015×(1+2015−2016)
=2015×0
=0．
16．通过计算说明255+511能被30整除．
【答案】见解析
【详解】解：因为255+511
=(52
)
5+511
=510+5×510
=5×59+25×59
4=59 (5+25)
=30×59，
所以255+511能被30整除．
培优第二阶——拓展培优练
17．把−a(x−y)−b(y−x)+c(x−y)分解因式，正确的是（ ）
A．(x−y)(−a−b+c) B．−(x−y)(a−b−c)
C．−(x−y)(a−b+c) D．−(x−y)(a+b−c)
【答案】B
【详解】解：−a(x−y)−b(y−x)+c(x−y)
=−a(x−y)+b(x−y)+c(x−y)
=(x−y)(−a+b+c)
=−(x−y)(a−b−c)，
故选：B．
18．单项式8xmyn−1与12x5myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn−1 C．4xmyn D．4xmyn−1
【答案】D
【详解】8xmyn−1与−12x5myn的公因式是4xmyn−1，
故选：D．
19．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（ ）
A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300
B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1
C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601
D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601
【答案】A
【详解】2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300．
故选：A．
20．已知m2+m−1=0，那么代数式m3+2m2−2001的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【答案】B
【详解】解：∵m2+m−1=0，
∴m2+m=1，
∴m3+2m2−2001
5=m3+m2+m2−2001
=m(m2+m)+m2−2001
=m+m2−2001
=1−2001
=−2000，
故选：B．
b| 2|
21．对于任意的有理数a,b,c,d,我们规定¿ =ad−bc ,如¿ =1×4−2×3=−2．求
d 4
|(a+c)(b−a) 2|
的值为（ ）
(a−c)(a−b) 2
A．2c(a−b) 2 B．2a(a−b) 2 C．(a−c)(a−b) D．(a−c)(a+c)
【答案】A
b|
【详解】解：∵ ¿
=ad−bc
d
|(a+c)(b−a) 2|
∴
(a−c)(a−b) 2
=(a+c)(a−b) 2−(b−a) 2 (a−c)
=(a+c)(a−b) 2−(a−c)(a−b) 2
=(a−b) 2 (a+c−a+c)
=2c(a−b) 2
故选A
22．分解因式：(x−5)(3x−2)−3(x−5)=___________
【答案】(x−5)(3x−5)##(3x−5)(x−5)
【详解】(x−5)(3x−2)−3(x−5)
=(x−5)(3x−2−3)
=(x−5)(3x−5)
23．若4n+1−22n=48，则n的值为_____________．
【答案】2
【详解】解：∵4n+1−22n=48，
∴22(n+1)−22n=48，
∴22n+2−22n=48，
∴22n (4−1)=48，
∴22n×3=48，
∴22n=16，
6∴22n=24，
∴2n=4，
∴n=2，
故答案为：2．
24．若m2+m−1=0，则m3+2m2+2021=________．
【答案】2022
【详解】解：∵m2+m−1=0，
∴m2+m=1
∴m3+2m2+2021
=m(m2+m)+m2+2021
=m+m2+2021
=1+2021
=2022
故答案为：2022．
25．已知：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2= (1+x)⋅[1+x+x(1+x)]= (1+x)⋅¿，因式分解
1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+⋅⋅⋅+x(x+1) 2022，结果为_______________．
【答案】(1+x) 2023
【详解】解：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+⋅⋅⋅+x(x+1) 2022
=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+...+x(1+x) 2021]
=(1+x) 2[1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+...+(1+x) 2020]
=(1+x) 3[1+x+x(1+x)+x(1+x) 2+...+x(1+x) 2019]
…
=(1+x) 2021[1+x+x(1+x)]
=(1+x) 2022 (1+x)
=(1+x) 2023
故答案为：(1+x) 2023
26．阅读材料：若x3+2x2−2x+m(m为常数)有一个因式为(x−1)，则如何因式分解
x3+2x2−2x+m？
解：因为x3+2x2−2x+m有一个因式为(x−1)，所以当x−1=0时，x3+2x2−2x+m=0，
于是把x=1代入x3+2x2−2x+m=0得1+2−2+m=0，解得m=−1，原代数式变为
x3+2x2−2x−1，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则
因式分解x3+2x2−2x−1=(x−1)(x2+3x+1)
7若x3+4x2+mx+2(m为常数)有一个因式为(x+2)，则因式分解x3+4x2+mx+2=______．
【答案】(x+2)(x+1) 2
【详解】解：因为x3+4x2+mx+2有一个因式为(x+2)，所以当x+2=0时，
x3+4x2+mx+2=0，于是把x=−2代入x3+4x2+mx+2=0得−8+16−2m+2=0，解得
m=5，原代数式变为x3+4x2+5x+2，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它
因式，如图所示，则因式分解x3+4x2+5x+2=(x+2)(x2+2x+1)
x+2
x2+2x+1
¿
2x2+5x+2
¿ 2x2+4x
x+2
x+2
0
∴因式分解x3+4x2+mx+2=(x+2)(x+1) 2，
故答案为：(x+2)(x+1) 2．
27．先化简，再求值：2 (5 m2n−3mn2) −(m2n−2mn2)，其中m= 1 ，n=−1．
2 2
【答案】4mn(m−n)，−3
【详解】解：2 (5 m2n−3mn2) −(m2n−2mn2)
2
=5m2n−6mn2−m2n+2mn2，
=4m2n−4mn2
=4mn(m−n)，
1
当m= ，n=−1时，
2
1 [1 ]
原式=4× ×(−1)× −(−1)
2 2
3
=−2×
2
=−3．
28．已知△ABC的三边长a，b，c满足a2−2ab+b2=ac−bc，试判断△ABC的形状，并
8说明理由．
【答案】ΔABC为等腰三角形；理由见解析．
【分析】利用提公因式法将a2−2ab+b2=ac−bc转化为(a−b)(a−b−c)=0，再由三角
形三边关系，两边之和大于第三边，解得a−b−c<0，继而判断a−b=0，得到a=b，据
此解题．
【详解】解：(a−b) 2−c(a−b)=0，
(a−b)(a−b−c)=0，
∵a−b−c<0，
∴a−b=0，a=b，
∴ΔABC为等腰三角形．
29．在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那
么这个数就一定能够被3整除
(1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除；
(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被
3整除的四位数“1326”试着进行推理：
1326=1000×1+100×3+10×2+1×6
=(999+1)×1+(99+1)×3+(9+1)×2+6
=999×1+99×3+9×2+(1+3+2+6)
∵“3(333×1+33×3+3×2)”能被3整除，
∴当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整
除．
现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你
借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的
第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位
与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上
的数字相加．请证明，若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除．
【答案】(1)能
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：∵(1+1+2+2+3+3)÷3=4
∴各个数位上的数字和可以被3整除，
即112233能被3整除；
故答案为：能．
9（2）证明：abcd=1000a+100b+10c+d
=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，
∵3(333a+33b+3c)能被3整除，
∴若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
（3）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=(1001−1)a+(99+1)b+(11−1)c+d
=(1001a+99b+11c)+(−a+b−c+d)=11(91a+9b+c)+[(d+b)−(c+a)]，
∵11(91a+9b+c)能被11整除，
∴若“(d+b)−(c+a)”能被11整除，
即若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除．
培优第三阶——中考沙场点兵
30．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【详解】a2+2a=a(a+2)
故选A
31．（2022·江苏镇江·统考中考真题）分解因式：3x+6=_________．
【答案】3(x+2)##3(2+x)
【详解】解：原式＝3(x+2)．
故答案为：3(x+2)．
32．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：3a2−21ab=________
【答案】3a(a−7b)
【详解】解：3a2−21ab=3a(a−7b)．
故答案为：3a(a−7b)
33．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知ab=2，a+b=3，则a2b+ab2的值为_____．
【答案】6
【详解】解：a2b+ab2
=ab(a+b)
=2×3
=6．
10故答案为：6
11
