文档内容
专题 04 圆
（14 个考点梳理+20 种题型解读+6 种方法解读）
【清单01】圆的有关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⏜”表示，以
A、B
为端点的弧记作 ⏜ ，读作：
❑ AB
“圆弧AB”或“弧AB”.
C
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的 . A B等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
【清单02】圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
两个特征：①顶点在圆心；②角的两边是半径，二者缺一不可．
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
【清单03】垂径定理
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
量都分别相等.
【清单04】圆周角定理及推论
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角= 圆心角）
2
圈周角定理运用需满足以下两个条件: 1)圆心角和圆周角在同圆或等圆中;
2)它们对着同一条弧或者所对的弧是等弧.
【清单05】圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个
四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
A
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 1 D
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
B 2
如图，∠1=∠2 C E
【清单06】点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，【清单07】三角形的外接圆与外心
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交
点.
三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.
【清单08】直线与圆的位置关系
直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d
【清单09】切线的性质定理与切线的判定定理切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经
过切点与圆心的直线）
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【清单10】切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【清单11】三角形内切圆与内心
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
【注意】一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形.
三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.
三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.
【清单12】正多边形与圆
中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长与扇形面积公式
弧长公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径).
扇形的面积公式： (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= (l是n°为圆心角所对的弧长).
【清单14】圆锥的侧面展开图及圆锥的侧面积
母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
圆锥侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面 n°
半径） l
h
r
圆锥全面积公式： （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面
积）
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足r2+h2=l2.【考点题型一】圆的基本概念辨析
1．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M B．以点O为圆心， 长为半径
C．以 长为半径 D．以点O为圆心
2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦
C．弧是半圆 D．三点确定一个圆
3．（23-24九年级上·广西防城港·期末）下列判断正确的是（ ）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
4．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等
C．优弧一定比劣弧长 D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等
【考点题型二】利用垂径定理求解
常见辅助线做法（考点）：
1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
5．（22-23九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为E，连接 ，若
，则弦 的长为 ．
6．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的
“会圆术”．如图， 是 的弦，点N是 的中点，点M在 上， 于点N．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当 ， 时，l的值为 ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为 的 经过点 ， ，
则点 的坐标为 ．
8．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为
D．
(1)求证： ；
(2)已知 的半径为5， ，求 长．
【考点题型三】利用垂径定理解决实际问题
9．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代
劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴
心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长为 ，简车工作时，盛水桶在水面以下的最
大深度为 ．则圆的半径为 ．10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，
水面宽 ，某天下雨后，水面宽度变为 ，则此时排水管水面上升了 ．
11．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面
的高度为 ，地面入口的宽度为 ，门枕的高度为 ，则该圆弧所在圆的半径为 m．
12．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场
馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形 是观众观演区，阴
影部分是舞台， 是半圆O的直径，弦 与 平行．已知 长8米，舞台区域最大深度为2米，如
果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
【考点题型四】利用弧，弦，圆心角关系求解/证明
13．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知 是 的直径，点 是 的中点， ，
则 的度数为 ．14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在 中， 是 的直径，
是 上一动点， 的最小值是 ．
15．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在 中， 为 的中点， 于点 ， 于
点
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）．
(1)如图1， ，比较 与 的长度，并证明你的结论．
方法应用
(2)如图2， ， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ，且 ，是 的中点．
①求证： ．
②若圆心 到 的距离为3， 的半径是6，求 的长．
【考点题型五】判断三角形外接圆圆心位置
17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在坐标系中， 、 、 ．
(1)经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的坐标为________；
(2)这个圆的半径为：_______；
(3)直接判断点 与 的位置关系．点 在 ________．（填“内”、“外”、“上”）
18．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在 正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，
请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出 的外心D；
(2)图2中D是 的中点，作出 边上的点F（不与点B重合），使得 ．
【考点题型六】求特殊三角形外接圆的半径
19．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图，已知 ，用尺规作图画出 的外接圆
（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若 是直角三角形，且 ， ，则 的外接圆的半径为______．20．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）关于x的方程 有两个不相等的实数根，以这两个
根作为等腰 的底边长和腰长，这样的等腰三角形有且仅有一个．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大值时，求该等腰三角形外接圆半径．
21．（22-23九年级上·广东广州·期末）老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个
问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是3和4，第三边长是 的一个实数根，请结合
作图求这个三角形的外接圆面积．
【考点题型七】利用圆周角定理求解
22．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 、 是 的弦，延长 、 相交于点P，已知
， ，则 的度数是 ．
23．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图， 内接于 ， ， ，
于点 ．若 的半径为 ，则CD的长为 ．
24．（24-25九年级上·广西南宁·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，
点A，B的读数分别为 ， ，则 的度数是 ．
25．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图， 是 的直径，A，B，C是 上的三点，
，点B是弧 的中点，点P是 上一动点，若 的半径为2，则 的最小值为．
【考点题型八】利用圆周角定理推论求解
26．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， 的平分线
交 于点D．若 ，求 的长．
27．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）（1）如图1， 是 的直径，点C在圆上，若 ，
求 的半径；
（2）如图2， 是 的直径，点 在圆内， ，若 ， ，求
的半径；
（3）如图3，点 在 上， ，若 ，求 的
半径．
28．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形 内接于 ， ．(1)如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
【考点题型九】已知圆内接四边形求角度
解题方法：圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆
内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
29．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）点A、B、C都在 上，如果 ，那么 的度数
是 ．
30．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图， 是半圆的直径， 为圆心， 是半圆上的点， 是
上的点，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
31．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在 中，弦 所对的圆心角是 ，则弦 所对的圆周角
为 ．
32．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在圆内接四边形 中， ， ，若点
A(0,3)，则圆的直径长为 ．
【考点题型十】利用点和圆的位置关系求半径
解题方法：根据点到圆心的距离与半径比较大小，从而得到位置关系.
设半径为r，点到圆心的距离为d
1）若d＜r，则点P在圆内；2）若d=r，则点P在圆上；3）若d＞r，则点P在圆外.33．（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在 中， ，D是 的中点，
以A为圆心，r为半径作 ，若点B，D，C均在 外，求r的取值范围．
34．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）如图， ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中
点． △
(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取
值范围．
【考点题型十一】利用直线和圆的位置关系求解
解题方法：判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
①若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；
②若直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；
③若直线与圆有没有交点，则直线与圆相离.
2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
设半径为r，直线到圆心的距离为d
①若d＜r，则直线与圆相交；②若d=r，则直线与圆相切；③若d＞r，则直线与圆相离.
35．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中， ，点O是
的中点，以O为圆心，r为半径作 ．(1)当r满足什么条件时， 与 的边有2个公共点？
(2)当r满足什么条件时， 与 的边有3个公共点？
(3)当r满足什么条件时， 与 的边有4个公共点？
36．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知： 中， ，以点C为
圆心，作半径为 的圆.问：
(1)当R为何值时， 和直线 相离？
(2)当R为何值时， 和直线 相切？
(3)当R为何值时， 和直线 相交？
【考点题型十二】切线的性质与判定综合
解题方法：运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角
形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度
37．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在 上取一点C，延
长AB至点D，连接 ， ，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证：CD是 的切线
(2)若 ， ，则 的长
38．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图， 是 的直径， 是 的切线， ，在圆上
取一点C，使得 ，延长 、 ，交点为D．(1)求证： 与 相切；
(2)若 ，求 的半径．
39．（2023·山东淄博·二模）如图， 内接于 ， 为 的直径，点 是弧 的中点， 交
于 ， 交 于 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
40．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在 中， ，以 为直径的 与AB边
交于点 ，过点 作 的切线，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若以点 为顶点的四边形是正方形，试判断 的形状，并说明理由．
【考点题型十三】应用切线长定理求解
41．（24-25九年级上·四川广元·期中） 如图所示， 的半径是4， 、 分别与 相切于点A、点
B，若 与 之间的夹角 ．(1)若点C是圆周上的一动点， 的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数．
(2)求 的周长．
42．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图， 是半圆 的直径， 和 是它的两条切线，切点分
别为 ， 平分 ．
(1)求证： 是半圆 的切线．
(2)若 ， ，求 的长．
43．（2024九年级上·全国·专题练习）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为
D，E，F．
(1)图1中三组相等的线段分别是 ， ， ；若 ， ，则 半径长为 ；
(2)如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．求证： 是 的切线．
【考点题型十四】正多边形与圆的相关计算
44．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，将 的圆周12等份，圆内接矩形 的面积为20，则
圆内接正六边形面积为 ．45．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在正五边形 中，点M是边 的中点，连接 、
，交于点N，则 ．
46．（24-25九年级上·全国·阶段练习）一个半径为5 的圆内接正六边形的周长等于 ．
47．（20-21九年级·全国·假期作业）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
若 ，则这个正多边形的边数为
48．（23-24九年级下·上海静安·阶段练习）对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为
．
【考点题型十五】利用弧长公式求解
49．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）扇形的圆心角为 ，半径为 ，则弧长是 ．
50．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）扇形的弧长为 ，弧所对的圆心角为 ，则此扇形的半径为
．
51．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）已知扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ，则此扇形的圆心角
是 ．
【考点题型十六】利用扇形面积公式求解52．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为 ，其弧长为 ，则该扇形的面积为
．
53．（20-21九年级上·北京大兴·期末）若扇形的圆心角为 ，半径为2，则扇形的面积为 ．
54．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形
桌面（如图①），餐桌两边 和 平行且相等， （如图②），小华用皮尺量得 米，
米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加 平方米．
【考点题型十七】求不规则的图形面积
55．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在 中， 是 的内切圆，若
，则图中阴影部分的面积为 ．
56．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在 中， ， ，将 绕点B逆时
针旋转 得到 ，则 ， ， ， 围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
57．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在扇形 中， ，点C为 的中点，
交弧 于点E，以点O为圆心， 的长为半径作弧 交 于点D，若 ，则阴影部分
的面积为 ．58．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在扇形 中， ， ，点 为 的中点，
连接 ， ，交点为 ，点 为 的中点，连接 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点题型十八】利用圆锥的侧面积公式求解
59．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是
．
60．（23-24九年级上·云南昭通·期末）用一个圆心角为 ，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆的半径为 ．
61．（22-23九年级上·山东威海·期末）若某一圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，则这个圆锥
的高是 cm．
62．（23-24九年级上·云南德宏·期末）某圆锥形生日帽子的母线长为 ，底面半径为 ，将该帽子沿
母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ．
【考点题型十九】圆锥的实际问题
63．（2024·湖南长沙·模拟预测）湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．
2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范
片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为 米，
高度为 米，则此粮仓的侧面积为 ．（结果保留 ）64．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示是一个侧面积为 的圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，
若其底面圆的半径为 ，则它的母线长为 cm．
65．（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图漏斗，圆锥形内壁的母线 长为 ，开口直径为 ．
（1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深 ；
（2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为 ．
66．（21-22九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是 cm2．
【考点题型二十】圆锥侧面上的最短路径
解题方法：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，
在圆锥上求最短距离，需把圆锥侧面展开为平面，然后利用“两点之间线段最短”和勾股定理解决问题.
67．（22-23九年级·广东广州·自主招生）如图所示，圆锥的母线长 ， 为母线 的中点，
为圆锥底面圆的直径，两条母线 、 形成的平面夹角 ．在圆锥的曲面上，从点 到点
的最短路径长是 ．
68．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线 剪开，其侧面展开图如图2所示，若 ， ，则蚂蚁爬行的最短距
离是 ．
