文档内容
猜想 05 分式（易错必刷 30 题 13 种题型专项训练）
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题） 二．分式的定义（共1小题）
三．分式有意义的条件（共2小题） 四．分式的值为零的条件（共2小题）
五．分式的值（共1小题） 六．分式的基本性质（共2小题）
七．分式的加减法（共1小题） 八．分式的混合运算（共3小题）
九．分式的化简求值（共5小题） 十．分式方程的解（共3小题）
十一．解分式方程（共3小题） 十二．分式方程的增根（共2小题）
十三．分式方程的应用（共3小题）
一．科学记数法—表示较小的数（共2小题）
1．（2022秋•垣曲县期末）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元
件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数
法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2022秋•渝北区校级期末）将数0.00001032用科学记数法表示是 1.032×1 0 ﹣ 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00001032＝1.032×10﹣5．
故答案为：1.032×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
二．分式的定义（共1小题）3．（2022秋•柳州期末）下列式子是分式的是（ ）
A．x B． C． D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A．x是整式，故A不符合题意；
B. 是整式，故B不符合题意；
C. 是分式，故C符合题意；
D. 是整式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
三．分式有意义的条件（共2小题）
4．（2022秋•川汇区期末）要使分式 有意义，字母x需要满足（ ）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x≠0且x≠1
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣x≠0，
x（x﹣1）≠0，
解得x≠0且x≠1，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．
5．（2022秋•柳州期末）当x ≠﹣ 4 时，分式 有意义．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+4≠0，
解得x≠﹣4．
故答案为：≠﹣4．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
四．分式的值为零的条件（共2小题）6．（2022秋•武冈市期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．±3 B．0 C．﹣3 D．3
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由题意得 ，
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
7．（2022秋•宁阳县期末）能使分式 的值为零的所有x的值是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝1
【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以
解答本题．
【解答】解：∵ ，即 ，
∴x＝±1，
又∵x≠1，
∴x＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
五．分式的值（共1小题）
8．（2023春•开江县校级期末）若y＝ ，则 的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】根据已知可得y﹣x＝2xy，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵y＝ ，
∴y﹣2xy＝x，
∴y﹣x＝2xy，∴ ＝
＝
＝﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值，根据题目的已知求出y﹣x与xy的关系是解题的关键．
六．分式的基本性质（共2小题）
9．（2022秋•灵宝市期末）如果分式 中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：∵分式 中的a，b都同时扩大2倍，
∴ ＝ ，
∴该分式的值扩大2倍．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母
变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
10．（2022 秋•忠县期末）若将分式 中的 x，y 的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值
（ ）
A．1 B．﹣1
C．变为相反数 D．不变
【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝ ＝ ，
∴若将分式 中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
七．分式的加减法（共1小题）
11．（2022秋•固始县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，
称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称
这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的
和．例如， ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）若分式 的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）根据题意，把分式 化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出 x
的值．
【解答】解：（1）由题可得， ＝ ＝2﹣ ；
（2） ＝ ＝ ＝x﹣1+ ，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
八．分式的混合运算（共3小题）12．（2022秋•莱芜区期末）化简： ．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：
＝ •
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2022秋•忻府区期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题： ﹣ ，小明同学
的解答过程如下：
﹣
＝ ﹣ ①
＝ ﹣ ②
＝2﹣（x+1）③
＝1﹣x④，
（1）请你分析小明的解答从第 ③ 步开始出现错误（填序号），错误的原因是 漏掉了分母 ；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝2时此式的值．
【分析】（1）根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答；
（2）根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）请你分析小明的解答从第③步开始出现错误（填序号），错误的原因是漏掉了分母；
故答案为：③，漏掉了分母；
（2）正确的解答过程如下：﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝﹣ ，
当x＝2时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
14．（2022秋•如东县期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是
分 式 M 的 “ 关 联 分 式 ” ． 如 与 ， 因 为 ， ＝
，所以 是 的“关联分式”．
（1）已知分式 ，则 是 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 的“关联分式”为N，则 ×N，
∴ ，
∴N＝ ．请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”： ；
②用发现的规律解决问题：
若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
【分析】（1）根据关联分式的定义判断．
（2）仿照小明的方法求解．
（3）找规律后求解．
【解答】解：（1）∵ ﹣ ＝ ＝ ，
× ＝ ，
∴ 是 的关联分式．
故答案为：是．
（2）设 的关联分式是N，则：
﹣N＝ •N．
∴（ +1）•N＝ ．
∴ •N＝ ．
∴N＝ ．
（3）①由（2）知： 的关联分式为： ÷（ +1）＝ ．
故答案为： ．
②由题意得： ．∴ ．
∴m＝﹣ ，n＝ ．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础
九．分式的化简求值（共5小题）
15．（2022秋•忠县期末）已知代数式 ．
（1）化简已知代数式；
（2）若a满足 ，求已知代数式的值．
【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（2）根据已知易得a2＝4+a，然后代入（1）中化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝ •
＝ •
＝ ；
（2）∵ ，
∴a2﹣4﹣a＝0，
∴a2＝4+a，
∴当a2＝4+a时，原式＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．16．（2022秋•葫芦岛期末）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行
计算即可解答．
【解答】解： ÷（1﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝﹣2时，原式＝ ＝1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
17．（2022秋•海珠区校级期末）先化简，再求值：（x﹣1+ ）÷ ，其中x为整数且满足﹣2＜x
＜3．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行
计算即可解答．
【解答】解：（x﹣1+ ）÷
＝ •
＝ •
＝ •＝ ，
∵x为整数且满足﹣2＜x＜3，
∴x＝﹣1，0，1，2，
∵x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣1，x≠0，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（2022秋•阳泉期末）先化简，再求值： ，然后在0，1，2，3中选一
个你认为合适的a的值代入求值．
【分析】先计算分式的除法，再算加法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝ • +
＝﹣a﹣a
＝﹣2a，
∵a2﹣9≠0，a﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±3，a≠1，a≠0，
∴当a＝2时，原式＝﹣2×2＝﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19．（2022秋•东丽区期末）先化简，再求值．
，其中a＝﹣2，b＝﹣1．
【分析】先利用同分母分式加减法法则，异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a，
b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：＝ • ÷
＝ • •
＝ ，
当a＝﹣2，b＝﹣1时，原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一十．分式方程的解（共3小题）
20．（2022秋•铁岭县期末）已知关于x的分式方程 ＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
【分析】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大
了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
21．（2022秋•和平区校级期末）已知关于x的分式方程 ＝1的解为非负数，则m的取值范围是
m ≥﹣ 4 且 m ≠ 3 ．
【分析】根据题意求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数进行求解．
【解答】解：关于x的分式方程 化为整式方程为：m+3＝2x﹣1，解得：x＝ ，且x ，
∵方程的解为非负数，
∴ ，且 ，
解得：m≥﹣4且m≠﹣3，
故答案为：m≥﹣4且m≠﹣3．
【点评】本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不
等式的解法是解题的关键．
22．（2022秋•永定区期末）若关于x的分式方程 ＝ 无解，求m的值．
【分析】先解分式方程可得（m﹣1）x＝2，根据分式方程无解可知原方程有增根x＝2或m﹣1＝0，进
一步即可求出m的值．
【解答】解：去分母，得mx＝4+x﹣2，
整理，得（m﹣1）x＝2，
∵关于x的分式方程 ＝ 无解，
当x＝2时原分式方程有增根，原方程无解，
∴2（m﹣1）＝2，
解得m＝2，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
解得m＝1，
∴m＝2或1．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法和分式方程无解的情况是解题的关键．
一十一．解分式方程（共3小题）
23．（2022秋•汉阴县期末）解分式方程： ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，∴x＝1是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
24．（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1） ，
1﹣2＝x﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣1≠0，
∴x＝0是原方程的根；
（2） ，
2x﹣1﹣3＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，3（2x﹣1）≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
25．（2022秋•任城区期末）解方程： ﹣1＝ ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ﹣1＝ ，
﹣1＝ ，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
一十二．分式方程的增根（共2小题）
26．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关
字母的值．
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤
进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键．
27．（2022秋•桥西区期末）关于x的方程 ﹣ ＝1有增根，则m＝ 5 ．
【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ ﹣ ＝1，
∴m﹣3﹣x＝x﹣2，
解得：x＝ ，
∵方程 ﹣ ＝1有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝ 中得：2＝ ，
解得：m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
一十三．分式方程的应用（共3小题）
28．（2022秋•新抚区期末）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购
进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和
240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过 1800元，
列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，
依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，
解得y≤6 ，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
29．（2022秋•魏都区校级期末）某工程队承接了30万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实
际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了15天完成了这一任务．
（1）用含x的代数式填表（结果不需要化简）工作效率（万平方 工作时间（天） 总任务量（万平方
米/天） 米）
原计划 x 30
实际 （ 1+25% 30
） x
（2）求（1）的表格中的x的值．
【分析】（1）设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+25%）x万平方米，利用时间＝总任
务量÷工作效率可解答；
（2）根据实际比原计划提前了15天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可
得出结论．
【解答】解：（1）设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+25%）x万平方米，原计划需要
天完成任务，实际 天完成任务．
故答案为：（1+25%）x； ； ．
（2）依题意，得： ﹣ ＝15，
解得：x＝ ，
经检验，x＝ 是原方程的解，且符合题意．
答：（1）的表格中的x的值为 ．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
30．（2022秋•新华区校级期末）某学校在某药店购买84消毒液和口罩，购买84消毒液共花费900元，购
买口罩共花费2160元，购买口罩数量（单位：包）是购买84消毒液数量（单位：瓶）的2倍，且购买
一包口罩比购买一瓶84消毒液多花1元．
（1）求购买一瓶84消毒液和一包口罩的单价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备84消毒液3瓶，口罩6包用于防疫，则购买的84消毒液和口罩能够配
备多少个班级？
【分析】（1）设一瓶84消毒液的单价为x元，则一包口罩的单价为（x+1）元，根据题意建立方程，
解之即可；（2）根据（1）中数据可分别求出消毒液和口罩的数量，进而可算出能配备的班级的个数．
【解答】解：（1）设一瓶84消毒液的单价为x元，则一包口罩的单价为（x+1）元，
根据题意可知，2× ＝ ，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解且符合题意；
∴x+1＝6，
∴一瓶84消毒液的单价为5元，一包口罩的单价为6元；
（2）由（1）知，购买84消毒液900÷5＝180（瓶），口罩2160÷6＝360（包），
∵18÷3＝60，360÷6＝60，
∴购买的84消毒液和口罩能够配备6个班级．
【点评】本题考查了分式方程的应用．根据题意找到等量关系是解题关键．
