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专题 04 一次函数（考点清单，5 考点梳理+8 题型解读）
清单 01 变量与函数
1.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
清单 02 一次函数的定义
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
清单 03 一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象与性质（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y=
kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
2.一次函数的图象与性质
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念
.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
直线y=kx+b（k≠0）的位（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
置与k、b符号之间的关
系.
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠
一次函数表达式的确定 即可.
清单 0 4 一次函数的图象与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
2.一次函数与二元一次方程
1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
3.一次函数与一元一次不等式
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
清单 0 5 一次函数的 实际应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要
符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
【考点题型一】变量与函数（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为 ，下列判断正确
的是（ ）
A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量
【例1-2】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
B．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
C．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
D．在 中， 是常量， ， 是自变量， 是 的函数【例1-3】（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【例1-4】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水
中的速度为 ，水流速度为 ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙
地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为 ，航行的路程为 ，则 与 的函数图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、
数量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
A．金额、单价是变量，数量是常量
B．数量、单价是变量，金额是常量
C．金额、数量是变量，单价是常量
D．金额、数量、单价都是变量
【变式1-2】（新定义）（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数 、 ，定义一种运算“ ”为：
，在函数 的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．【变式1-3】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数 ，对于自变量 取的每一个值 ，因变量 的
对应值称为函数值，记作： ，已知 ，则 ．
【变式1-4】（23-24八年级下·陕西安康·期末）等腰三角形周长为 ，底边 长为 ，腰 长为
，
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)求x的取值范围．
【考点题型二】函数图象（ ）
【例2-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是
最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休
息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t
的关系（部分数据）如图所示．【问题】小明每次休息的时间为（ ）
A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟
【例2-3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在长方形 中， ， ，对角线 ，
动点P从点C出发，沿 运动．设点P的运动路程为 ， BCP的面积为 ．若y与
x的对应关系如图所示，则图中 （ ）
A． B．1 C．3 D．4
【例2-4】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八
折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：
（1）小明说：y与x之间的函数关系为 ；
（2）小刚说：y与x之间的函数关系为 ；
（3）小聪说：y与x之间的函数关系在 时， ；在 时， ；
（4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系；
购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
（5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系．其中，表示函数关系正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2-5】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对
于函数 的图像和性质进行探究．
(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________；
x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 …
… m -2 n 2 …描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应
的点，如图所示：
(2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察图形并分析表格，解决下列问题：
①自变量x的取值范围是__________；
②函数图象关于点___________中心对称；
③求证：当 时，y随x的增大而增大．
【变式2-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形 中， ，点D为 中点，
连结 ，若 ， ，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．【变式2-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向
匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离
（米）与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两人之间的最远距离是 米
B．乙追上甲后，再走 米才到达终点
C．乙用 分钟追上甲
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了 分钟
【变式2-3】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形 中，动点P从B点出发，沿 ，
， 运动至点A停止，设P点运动的路程为x， 的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形
的面积是 ．
【变式2-4】（22-23八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数 的性质，他借
助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你
画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数 的一条性质： ．
x … 1 2 3 …
2.8 1.7 1.7 2.8
y … 0 0 …
3 3 3 3【变式2-5】（22-23八年级下·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小李同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究活动．
第一步：实验测量
多次改变砝码的质量x（克），测量弹簧的长度y（厘米），其中 ．
第二步：整理数据
5
砝码的质量x（克） 0 100 150 200 250
0
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
第三步：画函数y关于x的图象
在数据分析时，我发现有一个弹簧的长度是错误的，重新测量后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这
个数据．
任务：
(1)表格中错误的数据是_________，y与x的函数表达式为_________；
(2)在平面直角坐标系中，画出y与x的函数图象；
(3)当弹簧的长度为4.5厘米时，悬挂砝码的质量是多少克，并在图象上描出这个点．
【考点题型一】正比例函数（ ）
【例3-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数 的图象上的是（ ）A． B． C． D．
【例3-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)点 在它的图象上，求这个函数的表达式．
(2)在（1）的结论下，若 的取值范围是 ，求 的取值范围．
【变式3-1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知 的图像经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-2】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）在探究“重力的大小与质量的关系”实验中，下列选项能
反映物体重力G与质量m的函数关系大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）若点 和点 在同一个正比例函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数 是正比例函数，则
．
【变式3-5】（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知点 ， 在正比例函数 的图象上，
若 ，则 ．（填“ ”或“ ”）
【考点题型四】一次函数（ ）
【例4-1】（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
【例4-2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数 与 ，它们在同一直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 交 轴于点 ，交
轴于点 ，点 ， ， 在直线 上，点 ， ， ， 在 轴的正半轴上，若 ， ，
， ，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 轴上，则第 个等腰直角三角形 顶点
的横坐标为 ．【例4-4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数 ， 与 的图像如图所
示， ， ， 的大小关系是 ．（用“ ”连接）
【例4-5】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知直线 与直线 平行，且将该直线向下平
移5个单位后得到直线 ，则 ．
【例4-6】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数 的图象经过 ， 两点．
求该一次函数的表达式．【例4-7】（新定义）（23-24八年级下·全国·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点
当 时， ，当 时， 则称点 N 为点 M 的变换点．
例如：点 变换点的坐标是 ，点 变换点的坐标是 ．
(1)则点 的变换点的坐标是 ；
(2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．
(3)已知点M在函数 的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是
，求k的取值范围．
【变式4-1】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知直线 ，不论 取什么值，该直线
必定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式4-2】（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）将直线 向下平移3个单位后恰好经过点 ，则 的值为 ．
【变式4-4】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知 是关于 的一次函数，则
．
【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）正方形 按如图的方式放置，点
和点 分别在直线 和y轴上，则点 的坐标是 ，点 的坐标
是 ．
【变式4-6】（23-24八年级下·云南红河·期末）如果点 、点 在直线 上，那么
（填“ ”或“ ”）．
【变式4-7】（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数 的图像经过点 与点 ，则
当y的值增加1时，x的值将 ．
【变式4-8】（新定义）（23-24八年级下·广东江门·期末）已知 分别是 的三条边长， 为
斜边长， ，我们把关于 的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在
“勾股一次函数”图象上，且 的面积为9，则 的值为 ．
【变式4-9】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）关于函数 ，给出下列结论：①当 时，
此函数是一次函数；②无论 取什么值，函数图象必经过点 ；③若图象经过第二、三、四象限，则
的取值范围是 ；④若函数图象与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．其中正确的说
法是 ．（只填序号）
【变式4-10】（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，
顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ， 两点坐标分别为 ， ，线段 在边 上移动，保持，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为 ．
【变式4-11】（新定义）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若 ， 满足 ，
（ 为常数），则称点 为“好点”．
（1）若 是“好点”，则 ；
（2）在 的范围内，若直线 上存在“好点”，则 的取值范围为 ．
【变式4-12】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图1，正方形 的边长为4，点E从点A出发，沿
A→B→C运动到点C后停止．连接 ．设点E的运动路程为x， 的面积为y．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在图2中画出（1）中函数的图象；
(3)观察函数图象，写出该函数的一条性质．【考点题型五】 一次函数与方程、不等式（ ）
【例5-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）若 是方程 的解， 则直线 的图象与x轴
交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，一次函数 （k，b是常数， ）与正比
例函数 （m是常数， ）的图象相交于点 ，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程 的解是
B．关于x的不等式 的解集是
C．当 时，函数 的值比函数 的值大
D．关于x，y的方程组 的解是
【例5-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数 （ 为正整数）的函数 随 的
增大而减小，当 时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】（24-25八年级下·全国·期末）已知直线 与直线 相交于点 ，则关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【例5-5】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【例5-6】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系 中，直线 交x，
y轴于点B，C，直线 （k为任意实数）与直线 交于点A．现有如下结论：
①对于直线 在 时， ；
②直线 与x轴所夹锐角总等于 ；
③ ，若直线 与y轴交点为 为等腰直角三角形， 的长为2或4；
④关于x，y的二元一次方程组 一定有一组解的 ．
其中正确的结论序号为 ．
【例5-7】（23-24八年级下·河南南阳·期末）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数
的图象和性质，并解决问题．(1)填空：
①当 时， _____；
②当 时， _____；
③当 时， _____；
(2)在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
(4)进一步探究函数图象发现：若关于 的方程 无解，则 的取值范围是_____．
【变式5-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数 的图象经过 、 两点．则方程
的解为（ ）A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数 与 的图象如图所示，有下
列结论：① ； ② ； ③关于x的方程 的解为 ； ④当 时 ，其中正
确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式5-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，
则关于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线 与直线 相交于点，则方程组 的解是 ．
【变式5-5】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数， ）经过
两点，其中 ，下列四个结论：
①方程 的解在 和0之间；
②关于x的不等式 的解集为 ；
③ ；
④关于x的不等式 的解集为 时， ．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
【变式5-6】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线 分别与 ， 轴交于点 ， ，
与直线 相交于点 ．
(1)求 和 的值；
(2)求不等式 的解集．【变式5-7】（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数 的图象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中 _____________， _____________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
(4)写出关于 的方程 的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．【考点题型六】一次函数的应用（ ）
【例6-1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，
教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的
付款．新星学校有4名教师与 名学生购票听音乐会，若付款总金额为 （元）．
(1)分别写出两种方案中 与 的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
【例6-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）某商场筹集资金 万元，一次性购进空调、彩电共 台．
根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于 万元，其中空调、彩电的进价和
售价见表格．
空调 彩电
进价(元/台)
售价(元/台)
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
(1)试写出y与x的函数关系式；
(2)商场有哪几种进货方案可供选择？
(3)最大利润为多少？【例6-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅
驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口 驶入时，该车的剩余电量是 千瓦时，行驶了 千米后，从另
一高速公路出口 驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 （千瓦时）与行驶路程 （千
米）之间的关系如图所示．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)若这辆车从高速路入口 驶入时，剩余电量为 千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶 千米
路程到达高速公路出口 吗？并说明理由．
【例6-4】（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户
每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费．
(1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？
(2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立
方米的水费？（水量x为整数）
【变式6-1】（22-23八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1
个B品牌足球共需180元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两
种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所
需总费用最低，并求出最低总费用．
【变式6-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群
众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买 、 两种绘画工具用于打造文化
手绘墙．已知每件 种工具的单价比每件 种工具便宜 元，用 元购买 种工具的数量和用 元购买
种工具的数量相同．
(1)求 、 两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买 、 两种工具共 件，且 种工具的数量不大于 种工具数量的 倍，请你帮忙设计出
最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，
图中折线 和线段 分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程 与时间 的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点 为 与 的交点，试求点 的坐标，并说明点 所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距 ？
【变式6-4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月
应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．
用水量（立方
收费（元）
米）
不超过10立方米 每立方米2元
超过10立方米 超过的部分每立方米3元
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；
(2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？
(3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？
【考点题型七】一次函数与面积问题（ ）
【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
直线 交 轴于点 ，与直线 相交于点 ．(1)求 的值与求直线 的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于 的不等式 的解集；
(3)求四边形 的面积．
【变式7-1】（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线
与y轴相交于C点，与线段 交于P点
(1)求 的面积；
(2)若点A和点B在直线 的两侧，求k的取值范围；
(3)若P点将线段 分成 两部分，直接写出k的值．
【变式7-2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象交x轴于点A、交y轴于点B，函数 （m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线
与直线 相交于点P．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________．
(2)当 时，求点P的坐标．
(3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围．
(4)连结 ， ，当 的面积是 面积的2倍时，直接写出m的值．
【变式7-3】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点
， ，与 轴交于点 ，直线 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)若 ，将直线 沿 轴向上平移 个单位长度，当平移后的直线经过点 时，求 的值；
(3) 无论 的值怎样变化，直线 都过定点________；
若当 从 开始逐渐增大时，函数 的值比直线 对应函数的值先到达 ，求 的取值范围；
(4)已知直线 （直线上所有点的横坐标都为 ），若直线 （ 且 ）直线
与直线 围成的三角形的面积是 ，直接写出 的值．
【考点题型八】一次函数的动态问题（ ）【例8-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且
．
(1)求 的值；
(2)点 是直线上 的一个动点，当 的面积是 时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 在第一象限， 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直
接写出满足条件的所有 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例8-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点
是 上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处．求：
(1)求 、 两点坐标；
(2)求 坐标；
(3)在 轴上找一点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点 的坐标．【例8-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形 中， ， ，直线l经过点C，过点A作 直线l，垂
足为点D．过B作 ，垂足为点E，易证 ，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不
需要证明）
【迁移应用】
已知：直线 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2．当 时，在第一象限构造等腰直角 ， ，则点E的坐标为______；
（2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作 ，并且 ，连接 ，
试问 的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
【拓展提高】
（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线 与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线 绕N点
沿顺时针方向旋转 后，所得的直线交x轴于点M．求直线 的函数关系式．【变式8-1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交x轴
于点 ，交y轴于点B，直线 与y轴交于点D，与直线 交于点 ，点M是线段
上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线 于点N．设点M的横坐标为
m．
(1)求a的值和直线 的函数表达式．
(2)以线段 ， 为邻边作 ，直线 与x轴交于点E．
①当 时，设线段 的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接 ， ，当 的面积为3时，请求出m的值．
【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
B，直线 与直线 ，x轴分别交于点 ， ．(1)求直线 的表达式．
(2)若D，E分别是直线 和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点， 为一边的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴
交于点A，与直线 交于点 ．
(1)求m的值；
(2)点D是直线 上一动点．
①如图2，当点D恰好在 的角平分线上时，求直线 的函数表达式；
②是否存在点D，使得 ，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-4】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A
的坐标为 ，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．
【变式8-5】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，
直线 交直线 于点 ，点 从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 匀速运动．
(1)求出点 、点 、点 坐标；
(2)当直线 平分 的面积时，求直线 的函数关系式；
(3)若 等腰三角形，求点 运动时间．
【变式8-6】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
，点 是直线 上与 、 不重合的动点．(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当 的面积被直线 分成 的两部分时，求直线 的解析式；
(3)过点 作直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
【变式8-7】（24-25八年级上·广东佛山·期末）直线 分别交x，y轴于A，B两点，且点C
坐标为 ．点D，点E分别是线段 ， 上的动点， 与 交于点P．
(1)如图1，若 交y轴于点G， ， ，求 的大小；
(2)如图2，若 ， 的最小值是 ，求直线l的表达式；
(3)如图3，当 时，点D是 中点， 与 的夹角是 ，求点E的坐标．
