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专题 05 分式突破核心考点
【聚焦考点+题型导航】
考点一 分式的判断 考点二 分式的有无意义的条件
考点三 分式的值为零 考点四 求使分式为整数时未知数的整数值
考点五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 考点六 含乘方的分式乘除混合运算
考点七 分式加减乘除混合运算 考点八 已知分式恒等式，确定分子或分母
考点九 零指数幂及负整数指数幂 考点十 分式化简求值
考点十一 分式方程的定义 考点十二 解分式方程
考点十三 根据分式方程解的情况求值 考点十四 分式方程的实际应用
【知识梳理+解题方法】
一、分式的定义
分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号.②整式B作为分
母，则整式B¿0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式.
二、分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为0，即B 0
¿
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B¿0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
三、分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变.即：
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解.
四、分式的约分与通分1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式.
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值.
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
五、分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
六、整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①am∙an=am+n，（m，n是正整数）； ②（am）n=amn，（m，n是正整数）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）； ④am÷an=am−n，（a≠0，m、n是正整数，m>n）a n an {&当a≠0时，a0=1（规定）
⑤（ ）= ，（n是正整数）； ⑥
b bn &当a=0时，00无意义
a2 1
若按照④运算，当m<n时.如：a2÷a3=a2−3=a−1；根据指数幂的定义a2÷a3= =
a3 a
1
2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，a−n= （a≠0） 注：00、0−n无意义
an
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①am∙an=am+n，（m，n是整数）（公式1、4的扩展）
②（am）n=amn，（m，n是整数）（公式2的扩展）
③（ab）m=ambm，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0，
am
根据定义am÷an=am−n 还可转化为乘法：am÷an= =am∙a−n=am−n
an
5）科学记数法的扩大
{1＜|a|＜10
一般，一个小于1的数可以表示为a×10−n的形式，其中
n为负整数
步骤：确定a值的大小.1＜|a|＜10；确定n的值.原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大
了10x倍.故n=-x
七、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
八、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
九、增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分
式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解．
十、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【专题过关+能力提升】
考点一 分式的判断
1．（2022·广西·南宁十四中八年级期中）下列式子中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】A、 的分母含字母，故其是分式，故A符合题意；
B、 是单项式，故B不符合题意；
C、 是单项式，故C不符合题意；
D、 是多项式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否
含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中
含π的代数式不是分式，是整式．
2．（2022·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）在 分式的个数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式即可得解．
【详解】解：根据题意得： 是分式， 是整式；
∴分式有 个；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的定义——形如 （ 是整式且 ）的式子是分式，熟记概念是解题的关
键，注意 是整式而不是分式．
3．（2021·江苏泰州·八年级期中）代数式 、 、 、 、 中，分式共有________个．【答案】2
【分析】根据分式的定义：如果A、B表示两个整式，其中B中含有字母，那么式子 就叫做分式，据此
逐一判断即可．
【详解】解： 不是分式，不符合题意；
是分式，符合题意；
不是分式，不符合题意；
不是分式，不符合题意；
是分式，符合题意；
∴分式一共有2个，
故答案为2
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．
4．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期中）式子 ， ， ， ， 中，分式有
_________个
【答案】3
【分析】根据分母中是否含有字母为标准判断即可．
【详解】∵ ， 中，分母不含字母，
∴不是分式；
∵ 中，分母中含有字母a,b，
∴ 是分式；
∵ 中，分母中含有字母y，
∴ 是分式；
∵ 中，分母中含有字母x，
∴ 是分式；
共有3个，故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的识别，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·八年级期末）式子① ，② ，③ ，④ ， ⑤ 中，分式有
________个
【答案】①③⑤
【分析】根据分式的定义逐项判断即可．
【详解】解：① 的分母中含有字母，是分式；
② 的分母中不含有字母，是整式；
③ 的分母中含有字母，是分式；
④ 的分母中不含有字母，是整式；
⑤ 的分母含有字母，是分式；
综上，①③⑤．
故答案为：①③⑤
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是判断是不是分式，只要判断分母中是否含有字母，需要注
意π是一个数，所以分母中含有π的不是分式．
考点二 分式的有无意义的条件
1．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）若分式 有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 ，可得 ，然后求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、解一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握分式有意义
的条件是分母不为零．
2．（2022·湖南省隆回县第二中学八年级期中）若分式 有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解： ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0．
3．（2021·广西·南宁二中八年级期中）若要使分式 有意义；则x满足的条件是___________．
【答案】 且
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： 且 ．
故答案为： 且
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分式的分母不等于0是解题的
关键．
4．（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期中）如果分式 无意义，那么分式 的值为
______．
【答案】7
【分析】根据分式无意义的条件：分母为0，即可求出 ，再将 代入 求值即可．
【详解】∵分式 无意义，
∴ ，
解得： ．
将 代入 ，得： ．
故答案为：7．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，分式的求值．掌握分式无意义的条件：分母为0，是解题关键．
5．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）已知分式 ，当 时，分式的值为0；当 时，分式
无意义，则 ___________．
【答案】
【分析】由题意可分别求得m与n的值，进而求得 的值．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了分式的概念、求代数式的值，由分式的概念求出m与n的值是关键．
考点三 分式的值为零
1．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）若分式 的值为零，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【详解】解： ，
，
当 时， ， 不满足条件．
当 时， ， 当 时分式的值是 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解决本题的关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不
等于零．
2．（2021·山东·日照市北京路中学八年级期末）分式 ，当x等于（ ）时分式的值为零．
A．3 B． C．3或 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得， ，
故选：B
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2022·湖南·洪江市实验中学八年级期中）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．4
【答案】A
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，且 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质．
4．（2022·江苏·九年级开学考试）若分式 的值为0，则x的值是______．
【答案】1
【分析】分式值为0时，分子为0，分母不为0，代入求出答案即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，解得 ，
∴ ．
故答案为：1
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，掌握分子为0，分母不为0是解本题的关键．
5．（2022·山东·周村二中八年级阶段练习）使分式 的值为零的x的值是____．
【答案】
【分析】直接利用分式的值为零分子为零、分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ 且 ，
由 得， 或 ．
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意分母不为零是解题关键．
考点四 求使分式为整数时未知数的整数值
1．（2022·四川南充·九年级期中）若 的值为整数，则正整数a的值为______．
【答案】1、2或5
【分析】根据题意，分式 的值是整数，可知分式的分母可以为2、3或6，据此解得 的值，最后验
根即可．【详解】解： 分式 的值是整数， ，
∴ 为整数，
∵a是正整数，
∴ 可以为2、3或6，
∴a的值为1、2或5，
经检验，当 ， 或 ，分母 ，
∴a的值为1、2或5，
故答案为：1、2或5．
【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·江苏苏州·八年级期末）分式 的值是整数，则正整数 的值等于______．
【答案】2或3或5
【分析】根据分式 的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得： 或 或 ，
∴ 或3或5，
故答案为2或3或5．
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键．
3．（2022·浙江舟山·七年级期末）若 表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵ 为整数，
∴2x+3为 1， 3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成 是解题的关键．
4．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）使代数式 的值为整数的全体自然数 的和是______ ．【答案】22
【分析】将原式分解为 ，得到使得原式的值为整数的自然数分别为 、 、 、 、 、 ，求
的其和即可．
【详解】解： 原式 ，
∴ 能被12整除，则
使得代数式 的值为整数的全体自然数 分别为 、 、 、 、 、 ，
全体自然数 的和是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解与变形．
5．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习）已知 为整数，且分式 的值也为整数，则
满足条件的所有 的值之和为______．
【答案】0
【分析】根据 为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出 的值再求和即可．
【详解】解：
，
为整数，分式 的值也为整数，
当 时，分式 ，符合题意；
当 时，分式值 ，符合题意；
当 时，分式值 ，符合题意；
当 时，分式值 ，符合题意；
满足条件的 的值为 、 、 、 ，
所有满足条件的数的和为 ，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
考点五 利用分式的基本性质判断分式值的变化
1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）如果把分式 中的 和 都扩大2倍，那么分式的值（ ）A．扩大2倍 B．缩小 C．缩小 D．不变
【答案】D
【分析】将x，y用 ， 代入化简，与原式比较即可．
【详解】解：将x，y用 ， 代入得 ，
故分式的值不变．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟悉掌握分式的性质是解题关键．
2．（2022·河北石家庄·八年级期中）若 ， 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 、 的值均扩大为原来的3倍，可得 ， 分别扩大为3倍后为 ， ，再代入各选项，利
用分式的基本性质约分，从而可得答案．
【详解】解： 、 的值均扩大为原来的3倍，
A. 变为： ，分式的值发生了变化，故 不符合题意；
B. 变为： ，分式的值发生了变化，故B不符合题意；
C. 变为： ，分式的值发生了变化，故C不符合题意；
D. 变为： ，分式的值没有发生了变化，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2022·北京房山·八年级期中）如果将分式 中的字母 的值分别扩大为原来的2倍，那么分式
的值（ ）
A．不改变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得： ，
∴如果将分式 中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值不改变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
4．（2022·广西·柳州二十五中八年级期中）如果把分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，那么分式的
值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的 倍 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】把分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答
案．
【详解】解：分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，形成的新分式为：
，
即分式的值缩小为原来的 倍．
故选C
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2022·山东·济南市钢城区艾山第一初级中学八年级期中）将分式 中的 的值同时扩大3倍，
则扩大后分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍 D．扩大27倍
【答案】A
【分析】根据分式的性质进行解答即可．
【详解】解：∵分式 中的 的值同时扩大3倍后，分子扩大为原来的9倍，分母扩大为原来的3倍，
∴分式的值扩大为原来的3倍，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
考点六 含乘方的分式乘除混合运算1．（2022·北京房山·八年级期中）计算： ．
【答案】
【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）计算：
【答案】6
【分析】先算乘方，同时利用除法法则变形，然后根据分式的乘法法则进行计算．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2020·北京·大峪中学八年级期中）计算 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则和积的乘方法则先算乘方，然后再算乘法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的乘法运算，掌握幂的乘方 ，积的乘方运算法则 是解题关键．
4．（2021·全国·八年级课时练习） ．
【答案】
【分析】先计算乘方，然后利用分式的性质和平方差公式进行化简即可．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
求解．
5．（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先根据积的乘方和幂的乘方法则计算括号内的算式，再根据同底数幂的乘法和除法法则进
行计算即可；
（2）先计算乘方，再进行约分即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查幂的混合运算，含乘方的分式的乘法运算．掌握幂的混合运算法则和分式的乘方和分式
的乘法运算法则是解题关键．
考点七 分式加减乘除混合运算
1．（2022·江苏连云港·八年级期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)1；(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
（1）
解： ，
=
=
=1；
（2）
解：
.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
2．（2021·江苏南京·八年级期末）化简：
（1） ﹣ ；
（2）（1﹣ ）÷（ ）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据分式的减法可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【详解】解：（1） ﹣
＝＝
＝ ；
（2）（1﹣ ）÷（ ）
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
3．（2022·山东山东·八年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据异分母分式的加减法进行计算即可；
（2）先通分计算括号里的分式，然后将除法转换为乘法，约分即可；
（3）先通分计算括号里的分式，然后将除法转换为乘法，约分即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）原式
；
（3）原式
；
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
4．（2022·山东威海·八年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)-1
(3)
【分析】（1）先通分，将异分母的分式化为同分母，再进行加减运算；
（2）先进行乘法运算，再进行减法运算；
（3）括号里面用整体通分法，进行计算，再算除法，最后算加法．
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．在解题过程中，能进行因
式分解的要先进行因式分解，最终结果要化为最简分式或者整式．
5．（2021·河南·郑州外国语中学模拟预测）下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．
= 第一步
= 第二步
= 第三步
= 第四步
= 第五步= 第六步
（1）填空：
a．以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是
b．第 步开始出现错误，这一步错误的原因是① ，② ．
（2）请直接写出该分式化简后的正确结果 ．
（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条
建议．
【答案】（1）a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变
号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；（2） ；（3）分式的混合运算，要
注意运算顺序
【分析】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；
（2）去括号化简即可；
（3）分式的混合运算，要注意运算顺序等．
【详解】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；
故答案为：四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二
项没有与括号前的系数相乘；
（2）
=
=
=
=
= ．
故答案为： ；
（3）分式的混合运算，要注意运算顺序(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题时注意运算顺序，最后结果要化到最简．6．（2022·江苏·八年级专题练习）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如： ．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像 ，…这样的分式是假分
式；像 ， ，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如： ；
＝x+2+ ．
(1)下列分式中，属于真分式的是： （填序号）
① ；② ；③ ；④ ．
(2)将分式 化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)③
(2) ；
(3)0，2．
【分析】（1）根据阅读材料中的定义判断即可；
（2）分式分子变形后，化为整式与真分式的和即可；
（3）分式分子变形后分为整式和真分式，根据分式的值为整数且整式的值为整数，确定出x的整数值即可．
(1)
解：由阅读材料知道：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
由此可知只有 为真分式，故答案为：③
(2)
解：
=
= ；
(3)解：
=
=
=
∵分式的值为整数， 是整数，
∴ 是整数
则 的整数值为0，2．
【点睛】此题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的定义，以及分式的值，弄清题意是解本题的关键．
考点八 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（2022·河南·南阳市第二十一学校八年级阶段练习）已知 ，则
_________________．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即 ，
然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
①+②得： ；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
2．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若 ，则 _________， _________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
3．（2021·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已 ，则 的值
是__________．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于 、 、 的方程组，
求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
解得， ，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于 、 、 的方程组是解题的关键．
4．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知 ，其中 ， ， ， 为常数，
则 ______．
【答案】6
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，
然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于 、 、 、 的方程组，解方
程组即可求解．
【详解】解： ，且 ，当 时， ①
当 时， ②
当 时， ③
∵ ,
即
∴ ④
联立 解之得
、 、 ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于 、 、 、 的方程组即可解决问题．
考点九 零指数幂及负整数指数幂
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）着式子 有意义，则x必须满足___________
【答案】
【分析】根据零指数幂有意义的条件：底数不为0求解即可．
【详解】解：根据题意有： ，
即： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查零指数幂有意义的条件．掌握零指数幂的底数不能为0是解题关键．
2．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若 ，则a的值是______．
【答案】 或 ##-2或-1
【分析】可以考虑三种情况：①零指数幂；②底数为1；③-1的偶数次方，分别解答即可．
【详解】解：当 ， 时， ；
当 时， ；
当 时， ，此时 ， ，不符合题意；综上， 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查零指数幂，有理数的乘方，体现分类讨论的数学思想，解题时注意不要漏解．
3．（2021·河南·辉县市太行中学八年级期中）要使得 有意义， 的取值应满足的条件是
___________．
【答案】 且 ## 且
【分析】代数式中的0指数幂和负整数指数幂的底数不能为0，再求x的取值范围．
【详解】解：根据题意可知
且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，解决本题的关键是掌握负整数指数幂和0指数幂的底数不
能为0．
4．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）要使得 有意义，x的取值应满足的条件是
_________________．
【答案】
【分析】直接利用负指数幂的性质分析得出答案．
【详解】解：要使得 有意义，x的取值应满足的条件是： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．
5．（2022·安徽·宣城十二中七年级期中）对于实数 、 ，定义运算： ；如：
， ．照此定义的运算方式计算 ___________ ．
【答案】1
【分析】由题中规定的运算规则，分别计算出 ， 即可．
【详解】解：根据题意得： ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题是新运算问题，考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，理解题中定义的新运算规则是关
键．考点十 分式化简求值
1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【分析】先对分式通分、因式分解、化简，化成最简分式，后变形已知条件，整体代入求值．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用完全平方公式，通分，约分等技巧化简是解题的关键，整体代
入求值是解题的灵魂．
2．（2022·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）先化简分式，再代入求值： ，
其中 是 的整数．
【答案】 ,
【分析】运用分式的加减乘除运算法则化简，再代入求值就可得解．
【详解】解：原式
，
，且 为整数，
可为 ， ， ，
又 ， ，只能取 ．
故当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则进行化简是解题的关键，注意取值时要使分
式有意义．
3．（2022·北京四中八年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当 时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解以及分式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2022·湖南邵阳·八年级期中）先化简 ，然后从1，2，3中选取一个合适的数作
为a的值代入求值．
【答案】 ，
【分析】先计算括号内的，再计算除法化简原式，然后根据分式有意义的条件可得 且 ，可选择
代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
∴ 且 ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键，要注意分式有意义
的条件．
5．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）先化简，再求值： ，再选一个
合适的数x代入求值．
【答案】 ； 时，原式 ．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分
式有意义的条件求出x不能为1， ，2，取 ，把 代入化简后的结果，即可求出答案．
【详解】解：
，
要使分式 有意义，则 ，
即x不能为1， ，2，
取 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
6．（2022·湖南邵阳·八年级期中）先化简： ；再请从 ， ，0，1，2
中选择一个合适的数值代入求值．【答案】 ； 时，结果为 时， ，结果为
【分析】根据分式的混合运算，将分式化简，然后选择有意义的值代入求解即可．
【详解】解：
，
根据分式有意义的条件得： ， ， ，
， ，
∴当 时，原式=1，
当 时，原式 ．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式化简的方法是解题关键．
7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）先化简： 然后 在3，2，
和 四个数中任选一个合适的数代入求值．
【答案】 ；当 时，原式的值为
【分析】根据分式混合运算、完全平方公式、平方差公式的性质化简，结合分式的性质分析，即可得到答
案.
【详解】，
当 时， 分母为 ，不符合题意，
当 时， 分母为 ，不符合题意，
当 时， 分母为 ，不符合题意，
当 时，
= ．
【点睛】本题考查了分式、乘法公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算、乘法公式的性质，从
而完成求解.
考点十一 分式方程的定义
1．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）下列各式中属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
B、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
C、是分式方程，故本选项符合题意；
D、不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式
方程．
2．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：① ；② ；③ ；
④ （ 为已知数），其中分式方程有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知
数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
3．（2021·山东威海·八年级期中）已知方程：① ；② ；③ ；④
．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C．
【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
4．（2021·全国·九年级专题练习）在方程 中，分式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程 中，分式方程有 ， 一
共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
5．（2021·全国·九年级专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是_______（只填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
⑦ ；⑧ ；⑨ ．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】① 是整式方程，故①不符合题意；
② 是整式方程，故②不符合题意；③ 是整式方程，故③不符合题意；
④ 是分式方程，故④符合题意；
⑤ 是分式方程，故⑤符合题意；
⑥ 是分式方程，故⑥符合题意；
⑦ 是分式方程，故⑦符合题意；
⑧ 是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨ 是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
考点十二 解分式方程
1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）解分式方程．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)无解
(2) 3
【分析】（1）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分
式方程的最简公分母为0；
（2）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分式方程的
最简公分母为0；
【详解】（1）解： ，
，
，
，
经检验 不是原方程的解，
所以原方程的解无解；（2） ，
，
，
，
经检验 是原方程的解，
所以原方程的解为： ．
【点睛】本题考察分式方程的解法，解题时注意要检验．
2．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案；
（2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案．
【详解】（1）去分母： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
∴原方程的解为 ；
（2）去分母： ，
解得： ，
经检验： 是增根，舍去，
∴原方程无解．
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免
出现增根．
3．（2021·重庆巴蜀中学八年级期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)无解【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，求解，最后检验；
（2）将分式方程转化为整式方程，求解，最后检验．
【详解】（1）解：
去分母得：
化简得：
解得
经检验， 是原分式方程的解；
（2）
去分母得：
化简得：
解得
当 时， ， ，即 是原分式方程的增根
所以，原分式方程无解．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解步骤．
4．（2022·山东·巨野县教学研究中心八年级期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)方程无解
【分析】（1）通过去分母，合并同类项，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解；
（2）通过去分母，合并同类项，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解．
【详解】（1）解：
，经检验： 是方程的解；
（2）解：
，
经检验： 是增根，舍去，
∴方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是关键．
5．（2022·广西桂林·八年级期中）下面是解分式方程的一般过程，阅读完后请填空∶
解分式方程：
解：方程两边同乘以 ，得 ；（第一步）
解得： ．
检验：当x=2时， ．因此 不是原方程的解．
所以，原分式方程无解．
(1)第一步计算中的 是 __，进行这一步运算的依据是
(2)用类比的方法解分式方程：
【答案】(1)最简公分母，等式的性质
(2)
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母；（2）按照解方程的基本步骤，规范求解
即可．
【详解】（1）第一步计算中的 是最简公分母 ，
进行这一步运算的依据是 等式的性质 ；
故答案为：最简公分母 ，等式的性质 ．
（2）用类比的方法解分式方程 ，
解：原方程整理得： ，
方程两边同时乘以 ，
得 ，
解得： ，检验：当 时 ，
因此 是原方程的解，
∴原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
6．（2022·山东·济南市钢城区艾山第一初级中学八年级期中）关于 的方程 的解是 ；关于
的方程 的解是 ；关于 的方程 的解是 ；关于 的方程 即
的解是 ；
(1)请观察上述方程与解的特征，猜想关于 的方程 的解是什么？并利用“方程的解”的概念进
行验证；
(2)利用阅读材料，解关于 的方程 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察已知方程的解得出一般性规律，确定出所求方程的解，检验即可；
（2）已知方程变形后，确定出解即可．
【详解】（1）解：方程 的解为 ，
把 代入得：左边 ，右边 ，
∴左边＝右边，即 是方程的解．
（2）解：
方程变形为： ，
解得： ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
经检验 是分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
考点十三 根据分式方程解的情况求值
1．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若关于x的方程 有增根，则a的值____________．
【答案】
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到 ，据此求出 的值，代入整式方程求出 的值即可．
【详解】解：去分母，得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入整式方程， ，可得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；
（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2022·湖南邵阳·八年级期中）若关于 的分式方程 有增根，那么 的值是______．
【答案】2或
【分析】分式方程去分母得整式方程，然后根据分式方程有增根，求出x的值代入整式方程即可得答案.
【详解】解：
∵分式方程有增根，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，m的值为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决本题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分
母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）关于x的分式方程 的解为正数，
则m的取值范围是____________
【答案】 且
【分析】先解分式方程可得 ，再根据分式方程的解为正数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
∵关于x的分式方程 的解为正数，∴ ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方
法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
4．（2022·新疆·兵团二中八年级期中）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关
于 的分式方程 的解是非负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是______．
【答案】94
【分析】解不等式组可得 ，解分式方程可得 ，且 ，由此可求整数 的值．
【详解】解： ，
由①得 ，
由②得 ，
不等式的解集为 ，
，
解得 ；
，
，
，
，
方程的解是非负整数，
是2的倍数，
，
，
的取值为19,17,15,13,11,9,7,5,3,1， ， ，
所有满足条件的整数 的值之和是94，
故答案为：94．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
5．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习）关于 的分式方程 的解为正数，
且使关于 的一元一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数 的值之和是______．
【答案】
【分析】先将分式方程化为整式方程 ，得到 ，根据x为正数，分式方程有解，得到
且 ；解两个不等式分别得到 ， ，根据一元一次不等式组有解，推出
；综合推出a的取值范围 ，且 ，即可得到a的整数解，求和即得．
【详解】解： ，
两边同时乘以（ )，
，
，
由于该分式方程的解为正数，
∴ ，其中 ， ，
∴ ，且 ；
∵关于y的元一次不等式组 有解，
由①得： ，
由②得： ，
∴ ，
∴ ，
综上可得： ，且 ，
∴满足条件的所有整数a为： ， ，0，1，
∴它们的和为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是
熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确
定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形．
考点十四 分式方程的实际应用1．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）列分式方程解应用题：
年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作
中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人， 型机器人比 型机器人每小时多搬运 ，
型机器人搬运 所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少
原料?
【答案】答：A种机器人每小时搬运 原料，B种机器人每小时搬运 原料．
【分析】设B种机器人每小时搬运 原料，则A种机器人每小时搬运 原料，由题意：A型机器
人搬运 所用时间与B型机器人搬运 所用时间相等，列出分式方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设B种机器人每小时搬运 原料，则A种机器人每小时搬运 原料，
根据题意得： ，
解方程，得 ，
经检验， 是方程的解，且符合题意，
，
答：A种机器人每小时搬运 原料，B种机器人每小时搬运 原料．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）某商场用5000元购进一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了
第二批这种服装，所购数量是第一批购进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按每件
200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件按标价的6折进行清仓处理，并全部售完．求商场两次共
购进多少件服装？两笔生意中商场共盈利多少元？
【答案】商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元
【分析】设商场第一次购进x件服装，则第二次购进 件服装，根据第二次购进的单价 第一次购进的单
价 列方程求解即可，根据销售这两批服装的总收入 总成本 所获利润，即可得到答案．
【详解】解：设商场第一次购进x件服装，则第二次购进 件服装，
根据题意得， ，
解得， ，
经检验 是原分式方程的解，
∴第一次购进50件服装，第二次购进150件服装，
∴总共购进200件服装，
根据题意得，商场得盈利为： （元），
答：商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
3．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）“疫情未结束，防疫不放松”．某工厂准备生产A和B两
种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该
工厂有几种生产方案？
【答案】(1)A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱
(2)该工厂共有6种生产方案
【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为 元/箱，利用数量＝总
价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入 中即可求出A种防疫
用品的成本；
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产 箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同
时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式
组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；
【详解】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为 元/箱，
依题意得： ，
解得： ，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴ ．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产 箱A种防疫用品，
依题意得： ，
解得： ．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系．
4．（2022·广西桂林·八年级期中）列分式方程解应用题∶随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换
了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2000件提高到3200件，平均每人每周比原来多投递90件．
若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件．
(1)根据题意，用含x的式子表示∶更换交通工具后平均每人每周投递快件_
更换交通工具前每周投递2000件需快递人员为_ _人，更换交通工具后每周投递3200件需快递人员为
人．(2)列出方程，完成本题解答．
【答案】(1) ， ，
(2)方程为 ，原来平均每人每周投递快件150件
【分析】根据题意，用含x的式子表示：更换交通工具后平均每人每周投递快件 件，更换交通工
具前每周投递2000件需快递人员为 人，更换交通工具后每周投递3200件需快递人员为 人，即
可；
（2）根据“快递公司的快递员人数不变”列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，用含x的式子表示：更换交通工具后平均每人每周投递快件 件，更
换交通工具前每周投递2000件需快递人员为 人，更换交通工具后每周投递3200件需快递人员为
人．
故答案为： ， ，
（2）解：根据题意得：
解方程，得
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件150件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
5．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）王明和高岩利用假期时间进行了两次徒步爬山活动．
(1)第一次爬北岳恒山，他们沿通往主峰的山路爬到某景点A，行程2000米，两人从山脚同时出发．王明爬
的很快，其平均速度是高岩的1.25倍，结果比高岩早到10分钟到达景点A，求王明爬山的平均速度是每分
钟多少米．
(2)第二次爬五台山，王明爬到了顶峰用了n(n＞2)小时，高岩爬到顶峰所用的时间是王明的1.1倍还多1小
时，那么王明爬山的平均速度是高岩的2倍吗?请说明理由．
【答案】(1)王明爬山的平均速度是每分钟50米
(2)王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．理由见解析
【分析】（1）设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟 米，根据“王
明比高岩早到10分钟到达景点”列出方程并解答；
（2）根据已知条件得出王明爬山的平均速度是 ，高岩爬山的平均速度是 ，再用王明的平均爬山速度除以高岩的平均爬山速度，然后进行整理，即可得出答案．
【详解】（1）解：设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟 米，
根据题意得： ，
解得： ．
经检验 是原方程的解，所以 ，
答：王明爬山的平均速度是每分钟50米；
（2）王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
理由如下：由题意知，王明爬山的平均速度是 ，高岩爬山的平均速度是 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要
根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
