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第 03 讲 分式的运算
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的乘除法运算法则，能够熟练的进行分式
的乘除法计算。
①分式的乘除运算
2. 掌握分式的乘方运算法则，能够熟练的进行分式的
②分式的乘方运算
乘方计算。
③分式的加减运算
3. 掌握分式的加减法运算法则，能够熟练的进行分式
的加减法计算。
知识点01 分式的乘法运算
1. 分式的乘法运算法则：
同分数的乘法运算法则，分子乘 分子 作为积的分子，分母乘 分母 作为积的分母。
即： 。
2. 具体步骤：
①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。
②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。
③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。题型考点：①分式的乘法运算。
【即学即练1】
1．计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝ ．
故选：A．
【即学即练2】
2．化简 • 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝ •
＝ ．
故选：B．
【即学即练3】
3．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝ ．
故选：A
知识点02 分式的除法运算
1. 分式的除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的 倒数式 。变成乘法运算。
即： ＝ 。
题型考点：①分式的除法运算。
【即学即练1】
4．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝
故选：C．
【即学即练2】
5．已知 ÷ ＝M，则M等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ÷ ＝M，
＝M，
．
故选：A．
【即学即练3】
6．代数式 的值为F（x取整数），则F为整数值的个数有（ ）
A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个
【解答】解：
＝ ×（x+6）＝
＝1+ ．
∵代数式 的值为F，
∴F＝1+ （x≠2、﹣6）．
当x﹣2＝±1、±2、±4、±8时，
即x＝3，1，4、0、6、﹣2、10、﹣6时，1+ 为整数值．
∴当x＝3，1，4、0、6、﹣2、10时，F为整数值．
故选：B．
知识点03 分式的乘方运算
1. 分式的乘方的运算法则：
一般地，当n为正整数时， 。即把分式的分
子分母分别乘方运算。
题型考点：①分式的乘方运算。
【即学即练1】
7．计算（ ）3的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：（ ）3＝ ．
故选：A．
【即学即练2】
8．下列计算正确的是（ ）
A．（ ）2＝ B．（ ）2＝ C．（ ）3＝ D．（ ）2＝
【解答】解：A、 ，本选项错误；B、 ，本选项错误；
C、 ，本选项正确；
D、 ，本选项错误．
所以计算结果正确的是C．
故选：C．
【即学即练3】
9．计算 的结果为（ ）
A． B． C．a2 D．b2
【解答】解：原式＝ • •
＝ ．
故选：B．
知识点04 分式的加减法运算
1. 分式的加减法运算法则：
①同分母的分式相加减：分母 不变 ，分子 相加减 。
②异分母的分式相加减：先通分，变成 同分母 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法
则运算即可。
2. 具体步骤：
第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。
第二步：加减：分母不变，分子相加减。
第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。
第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
题型考点：①分式的加减运算。
【即学即练1】
10．计算 的结果为（ ）A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝ ．
故本题选：C．
【即学即练2】
11．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ．
故选：D．
【即学即练3】
12．化简 的结果是 ．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ，故答案为： ．
【即学即练4】
13．计算 的结果是（ ）
A． B． C．a+1 D．a2
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
故选：A．
【即学即练5】
14．计算：
（1） ﹣ ；
（2） ﹣x+1．
【解答】解：（1） ﹣
＝
＝
＝a；
（2） ﹣x+1
＝
＝ ．
知识点05 用科学计数法表示较小的数1. 科学计数法表示较小的数的方法：
用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中|a|的取值范围为 1 ≤ | a | ＜ 10
，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。
题型考点：①用科学计数法法表示较小的数。
【即学即练1】
15．光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片
的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为 0.000000193米，该光源波长用科学记
数法表示为（ ）
A．193×106米 B．193×10﹣9米
C．1.93×10﹣7米 D．1.93×10﹣9米
【解答】解：0.000000193米＝1.93×10﹣7米．
故选：C．
【即学即练2】
16．2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出
了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣6 D．2.8×10﹣9
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：B．
题型01 分式的乘除运算
【典例1】计算．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝ •
＝﹣ ；
（2）
＝ •
＝
＝ ．
【典例2】
计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝6a2b• • ＝6ab；
（2）原式＝ • ＝ ．
【典例3】
计算：
（1）（ ）3• ；（2） ．
【解答】解：（1）原式＝﹣ •
＝﹣ ；
（2）原式＝ •
＝ ．
【典例4】
计算：
（1） ÷ ；
（2） ．
【解答】解：（1） ÷
＝ ÷
＝ •
＝2（x﹣y）
＝2x﹣2y；
（2）
＝ • •
＝﹣ ．
题型02 分式的加减运算
【典例1】
计算：（1） ；
（2） ；
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝ ．
【典例2】
计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝x﹣y；
（2）原式＝
＝
＝
＝ ．【典例3】
化简：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝ +
＝
＝
＝ ；
（2）原式＝ +
＝ +
＝
＝2．
【典例4】
计算下列各题：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝ + ＝ ；
（2）原式＝ + ﹣
＝
＝
＝＝ ．
题型03 分式的混合运算
【典例1】
计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝ ；
（2）
＝ • +
＝ +
＝
＝ ．
【典例2】
分式计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）＝ •
＝ •
＝ •
＝ ；
（2）
＝ ÷
＝ •
＝ ．
【典例3】
计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝ + ﹣
＝ + ﹣
＝
＝
＝
＝ ；（2）
＝ • ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝1．
【典例4】
计算下列各式：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝x﹣1；
（2）
＝（ ﹣ ）×
＝ ×
＝ ．
题型04 分式的运算应用
【典例1】
若化简 的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（ ）A．2x B．x﹣2 C．x+4 D．4
【解答】解：原式＝{ + }• ＝ • ＝ ．
A、 ，结果是整数，故A符合；
B、 ，结果是分式，故B不符合；
C、 ，结果是分式，故C不符合；
D、 ，结果是整式，故D不符合；
故选：A．
【典例2】
若 ÷ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．y﹣x B．y+x C． D．3x
【解答】解： ÷ ＝ ×
∵运算的结果为整式，
∴□中式子一定含有x的单项式，
故只有D项符合．
故选：D．
【典例3】
对于任意的x值都有 ，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【典例4】
若 ＝ + ，则A，B的值为（ ）A．A＝3，B＝﹣2 B．A＝2，B＝3 C．A＝3，B＝2 D．A＝﹣2，B＝3
【解答】解：由于 + ＝ ＝ ，
＝ ，
∴5x﹣7＝（A+B）x﹣5A+B，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【典例5】
对于任意的x值都有 ＝ + ，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【解答】解： + ＝ ＝ ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
题型05 分式的化简求值
【典例1】
（1）先化简，再求值： + ÷ ，其中x＝﹣2．
（2）先化简，再求值：（ ﹣2+a）÷ ，从﹣2≤a≤1中选出合适的最大整数值代入求值．
【解答】解：（1） + ÷
＝ + •
＝ +＝
＝
＝
＝ ，
当x＝﹣2时，原式＝ ＝﹣1；
（2）（ ﹣2+a）÷
＝[ +（a﹣2）]•
＝ •
＝ •
＝ •
＝ •
＝ ，
∵a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2，a≠﹣1，
∵﹣2≤a≤1，且a取最大整数，
∴当a＝1时，原式＝ ＝0．
【典例2】
先化简，再求值： ，其中x为小于3的非负整数．
【解答】解：
＝ •＝ •
＝ ，
∵x为小于3的非负整数，x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴x＝0或x＝2，
当x＝0时，原式＝ ＝0．
【典例3】
先化简，再求值： ，其中 ．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
当a＝ ﹣1时，
原式＝ ＝ ．
【典例4】
先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【解答】解：
＝[ ]
＝
＝
＝ ，
当 时，
原式＝
＝ ．【典例5】
有这样一道题“求 的值，其中a＝2018”．“小马虎”不小心把a＝2018错抄成
a＝2008，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝1，
则原式的值与a的值无关，
∴“小马虎”不小心把a＝2018错抄成a＝2008，但他的计算结果却是正确的．
1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，用科学记数法表示正确的是（ ）A．3.2×10﹣10 B．3.2×10﹣8 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣9
【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7，
故选：C．
2．如果 ，那么分式 的值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．12
【解答】解：∵ ，
∴x+y＝3xy，
∴ ＝ ＝2，
故选：C．
3．若a+b＝2，则代数式 的值为（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【解答】解：
＝ ÷
＝﹣ •
＝﹣（a+b），
当a+b＝2时，原式＝﹣2，
故选：D．
4．若化简 的结果为 ，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解： ＝ ，
∵其结果为 ，
∴x﹣3+m＝x﹣1，
解得：m＝2．
故选：D．
5．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上
增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（ ）A． B． C． D．
【解答】解：A地到B地的路程＝vt（千米），
提速后的速度＝v+m（千米每小时），
提速后的时间： （小时），
∴提速后从A地到B地需要的时间比原来减少＝t﹣ ，
故选：B．
6．若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示 的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【解答】解：∵a＝2b，
∴
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∴表示 的点落在段③，
故选：C．
7．若M÷ ，则M是（ ）
A． B．
C． D．【解答】解：∵M÷ ，
∴M＝ •
＝ •
＝ ．
故选：B．
8．已知一列均不为1的数a ，a ，a ，…，a 满足如下关系：a ＝ ，a ＝ ， ，
1 2 3 n 2 3
，若a ＝2，则a 的值是（ ）
1 2023
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
【解答】解：由题意得，
a ＝2，
1
a ＝ ＝ ＝﹣3，
2
a ＝ ＝ ＝﹣ ，
3
a ＝ ＝ ＝ ，
4
a ＝ ＝ ＝2，
5
……，
∴a 的值按照2，﹣3，﹣ ， ，……4次一个循环周期的规律出现，
n
∵2023÷4＝505……3，
∴a 的值是﹣ ，
2023
故选：A．9．化简： 的结果是 ．
【解答】解：原式＝ ﹣（x﹣1）
＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
10．已知 ，则 的值为 ﹣ ．
【解答】解：由已知条件可得a﹣2b＝﹣8ab，
则 ＝ ＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
11．定义一种新运算 ，例如 ．则 ＝ ﹣ ．
【解答】解：由题意得，
＝4﹣1﹣2﹣1＝ ﹣ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
12．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分
式”．
例如： ；将“赋
整分式” 化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 2+ ．
【解答】解：
＝
＝2+ ，故答案为：2+ ．
13．先化简，再求值： ，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作
为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，
要使分式有意义，x不能取﹣1，1，
则当x＝0时，原式＝ ＝﹣1．
14．如果两个分式M与N的差为整数a，那么称M为N的“汇整分式”，整数a称为“汇整值”，如分式
，则M为N的“汇整分式”，“汇整值”a
＝2．
（1）已知分式 ，判断A是否为B的“汇整分式”，若不是，说明理由；若是，
请求出“汇整值”a；
（2）已知分式 ，其中E为多项式，且C为D的“汇整分式”且“汇整值”a＝
1，求E所表示的多项式．
【解答】解：（1）A﹣B＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝﹣1．
∴A为B的“汇整分式”，“汇整值”a＝﹣1；
（2）C﹣D＝ ﹣＝ +
＝
＝1．
∴E+x2﹣4＝（x+2）2，
即x2﹣4+E＝x2+4x+4，
∴E＝4x+8．
15．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐
分式”，如： ，则 是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 ①③ ；（只填序号）
① ；
② ；
③ ；
④ ．
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ＝ x ﹣
1+ ；
（3）判断 的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【解答】解：（1）∵ ＝1+ ，
∴①是和谐分式．
∵分式 分子的次数低于分母次数，
∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
∴②不是和谐分式．
∵ ＝ ＝1﹣ ，
∴③是和谐分式．∵ ＝ ＝2x+1，
∴④不是和谐分式．
故答案为：①③．
（2）由题意， ＝ ＝ ＝x﹣1+ ．
故答案为：x﹣1+ ．
（3） ﹣ ÷
＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝
＝
＝4+ ．
∴该分式是和谐分式．
