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八年级数学第一学期学期期末模拟试卷（二）（解析版）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．精挑细选、一锤定音（每小题3分，共30分）
1．下列各代数式中，属于分式的是（ ）
1 x−1
A． B．x C．2x+1 D．
x 3
A
【分析】根据分式的定义，形 ，B中含有字母且B≠0，判断即可．
B
1
【解答】解：上列代数式中，属于分式的是 （x≠0）．
x
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．观察下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
3．已知三角形的两边长分别是5、7，则第三边长a的取值范围是（ ）A．2＜a＜12 B．2≤a≤12 C．a＞2 D．a＜12
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，即可解决问题．
【解答】解：∵三角形的第三边大于两边之差小于两边之和，
∴三角形的两边长分别是5、7，则第三边长a的取值范围是2＜a＜12．
故选：A．
【点评】本题考查三边关系，记住三角形的第三边大于两边之差小于两边之和是解题的关键，属于中考
常考题型．
4．因式分解：x2﹣4y2＝（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x+2y）（2x﹣y） D．（2x+y）（x﹣2y）
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4y2＝x2﹣（2y）2＝（x+2y）（x﹣2y），
故选：A．
【点评】本题考查利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的关键．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，求AB的长（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】根据直角三角形的性质求出∠BCD＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的
一半求出BC的长，从而求出AB．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
又∵CD是高，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝4cm．
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，正确记忆这类三角形中边长之间的关系是解题关键．
6．某工厂生产空气净化器，实际平均每天比原计划多生产100台空气净化器，实际生产1200台空气净化
器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同．若设原计划每天生产 x台空气净化器，则根据
题意可列方程为（ ）
1200 900 1200 900
A． = B． − =0
x+100 x x−100 x
900 1200 11200 900
C． = D． − =100
x+100 x x x
【分析】设原计划每天生产x台空气净化器，则实际平均每天生产（x+100）台空气净化器，根据题意
可得，实际生产1200台空气净化器的时间与原计划生产900台空气净化器所需时间相同，据此列方程
即可．
【解答】解：设原计划每天生产x台空气净化器，则实际平均每天生产（x+100）台空气净化器，
1200 900
由题意得， = ．
x+100 x
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列方程．
7．下列不可利用x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）分解因式的是（ ）
A．x2﹣3x+2 B．x2+3x+2 C．x2﹣2x﹣3 D．x2+2x+3
【分析】根据公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）进行分解即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝x2+（﹣1﹣2）x+（﹣1）×（﹣2）＝（x﹣1）（x﹣2），
x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2），
x2﹣2x﹣3＝x2+（1﹣3）x+1×（﹣3）＝（x+1）（x﹣3），
x2+2x+3不能用公式进行分解，
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对因式分解﹣十字相乘法的理解和掌握，能熟练地运用公式进行分解因式是解此题
的关键．
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形
的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交
点是三角形的直角顶点．
9．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为（ ）
A．15 B．11 C．8 D．6
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED＝EC，
进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
{
AE=AB
)
∠BAD=∠DAC ，
AD=AD
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，∠ADE＝∠ADB，
∵∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB＝∠BDE，
∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AB+CD＝AE+CE＝AC＝3+5＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法构造
全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AB的中点，M，N分别在BC，AC上，且BM＝
CN，现有以下四个结论：
①DN＝DM； ②∠NDM＝90°； ③四边形CMDN的面积为4；
④△CMN的面积最大为2．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质、三角形的面积公式可以分别判断出题目中的各个
小题是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：连接DC，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为AB的中点，
1
∴CD= AB＝AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，
2
在△CDN和△BDM中，
{
CN=BM
)
∠DCN=∠DBM ，
CD=BD
∴△CDN≌△BDM（SAS），
∴∠NDC＝∠MDB，DN＝DM，故①正确，
∵∠CDM+∠MDB＝∠CDB＝90，
∴∠NDC+∠CDM＝90°，
即∠NDM＝90°，故②正确，
∵四边形CMDN的面积等于△NDC与△CDM的面积之和，∴四边形CMDN的面积等于△MDB与△CDM的面积之和，
1 1 1 1
∴四边形CMDN的面积是： CA⋅CB× = ×4×4× =4，故③正确，
2 2 2 2
设CM＝x，则BM＝4﹣x，CN＝4﹣x，
CM⋅CN x(4−x) 1
∴△CMN的面积是： = =− (x−2) 2+2，
2 2 2
∵0＜x＜4，
∴当x＝2时，△CMN的面积取得最大值，此时△CMN的面积是2，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二．慎思妙解、画龙点睛（每小题3分，共18分）
11．一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数不可能是
【分析】一个多边形切去一个角后，多边形的边数分三种情况：增加一条，不变或减少一条，再根据
多边形内角和公式即可得出答案．
【解答】解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），
根据题意得：180（n﹣2）＝720，
解得：n＝6，
一个多边形切去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，可能不变，也可能减少了一条，
则多边形的边数可能是：5或6或7，边数不可能是4．
【点评】此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握n边形的内角和为（n﹣2）•180°是解题的关键．
12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1＝
∠2＝70°．
【解答】解：根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
因为两个全等三角形，
所以∠1＝∠2＝70°，
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的
面积是
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由角平分线的性质求出DE＝2，代入三角形面积公式计算，即可
得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝2，
∴AD＝DE＝2，
∵BC＝7，
1 1
∴△BDC的面积= •BC•DE= ×7×2＝7，
2 2
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
7 mx
14．若关于x的分式方程 +3= 无解，则实数m的值是
x−1 x−1
【分析】把分式方程变形为整式方程，分整式方程无解和整式方程的解为原方程的增根两种情况列式可解得答案．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：
7+3（x﹣1）＝mx，
变形整理为：（m﹣3）x＝4，
当m﹣3＝0，即m＝3时，原方程无解，
4
当m﹣3≠0，得x= ，
m−3
4
若 =1时，原方程有增根x＝1，
m−3
此时m＝7，
∴m的值为3或7时，原方程无解，
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程无解包括变形成的整式方程无解和整式
方程的解为原方程的增根两种情况．
b a 19
15．已知a+b＝5，ab＝3， + = ．
a b 3
b2+a2 (a+b) 2−2ab
【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式= = ，计算可得．
ab ab
【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时，
b2+a2
原式=
ab
(a+b) 2−2ab
=
ab
52−2×3
=
3
19
= ，
3
19
故答案为： ．
3
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
16．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON于点E，AE＝4，D为OM上一点，BC∥OM交DA
于点C，则CD的最小值为 8 ．【分析】由“ASA”可证△ABC≌△AOD，可得AC＝AD，可得CD＝2AD，由垂线段最短和角平分线的
性质可得结论．
【解答】解：∵A为OB的中点，
∴AB＝AO，
∵BC∥OM，
∴∠B＝∠DOA，且AB＝AO，∠BAC＝∠DAO，
∴△ABC≌△AOD（ASA）
∴AC＝AD，
∴CD＝2AD，
∴当AD有最小值时，CD有最小值，
∴当AD⊥OM是，AD有最小值，
∵OB平分∠MON，AE⊥ON，AD⊥OM，
∴AD＝AE＝4，
∴CD的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质性质，垂线段最短等知识，证明 CD＝
2AC是本题的关键．
三、过关斩将，胜利在望（共72分）
17．（6分）分解因式：
（1）x3y﹣2x2y2+xy3；
（2）a2（x﹣1）2+4a（1﹣x）．
【分析】（1）提取公因式，运用完全平方公式即可得；
（2）提取公因式，去括号即可得．
【解答】（1）解：x3y﹣2x2y2+xy3
＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2；
（2）解：a2（x﹣1）2+4a（1﹣x）
＝a（x﹣1）[a（x﹣1）﹣4]
＝a（x﹣1）（ax﹣a﹣4）．
【点评】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握提取公因式，完全平方公式．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形
网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ，点C 的坐标为 （ 1 ，﹣ 4 ） ；
1 1 1 1
（2）将△A B C 沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到△A B C ，直接写出顶点
1 1 1 2 2 2
A ，B ，C 的坐标：A （﹣ 3 ，﹣ 3 ） ，B （ 0 ，﹣ 4 ） ，C （﹣ 2 ，﹣ 6 ） ．
2 2 2 2 2 2
【分析】（1）先作出△ABC关于x轴的对称顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
（2）根据△A B C 沿x轴方向向左平移3个单位，即可得到△A B C ，进而写出顶点A ，B ，C 的坐
1 1 1 2 2 2 2 2 2
标．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
由图可见C （1，﹣4）．
1
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：△A B C ，即为所求，
2 2 2点A （﹣3，﹣3），B （0，﹣4），C （﹣2，﹣6）．
2 2 2
故答案为：（﹣3，﹣3），（0，﹣4），（﹣2，﹣6）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及轴对称变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的基本
要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方
向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
x−4 7
19．（6分）先化简，再求值： ÷(x+3− )，其中x＝2．
x−3 x−3
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x＝2代入化简后的式子即可解答本题．
x−4 7
【解答】解： ÷(x+3− )
x−3 x−3
x−4 (x+3)(x−3)−7
= ÷
x−3 x−3
x−4 x−3
= ⋅
x−3 (x+4)(x−4)
1
= ，
x+4
1 1
当x＝2时，原式= = ．
2+4 6
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（6分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．（1）试猜想△BDE的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）根据BE平分∠ABC，DE∥BC，可知∠ABE＝∠DEB，所以BD＝DE，从而可知△BDE
是等腰三角形．
（2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC＝180°，
∴∠BDE＝105°
【点评】本题考查三角形，解题的关键是熟练运用平行线的性质以及三角形的内角和定理，本题属于基
础题型．
21．（8分）一项工程，甲队单独做需20天完成．若乙队先做15天后，甲、乙两队一起合做10天恰好完
成任务，请问：
（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x天，乙队做另一部分工程用了y天，若x，
y都是正整数，且甲队做的时间不到9天，乙队做的时间不到35天，那么两队实际各做了多少天？
【分析】（1）设乙队单独做需要m天才能完成任务，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总
工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x，y的二元一次方程，化
5
简后可得出y＝50− x，由“甲队做的时间不到9天，乙队做的时间不到35天”，即可得出关于x的一
2
元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x，y均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙队单独做需要m天才能完成任务，
10 15+10
依题意得： + =1，
20 m
解得：m＝50，
经检验，m＝50是原方程的解，且符合题意．
答：乙队单独做需要50天才能完成任务．
x y
（2）依题意得： + =1，
20 50
5
化简得：y＝50− x．
2
∵甲队做的时间不到9天，乙队做的时间不到35天，
{ x＜9 )
∴ 5 ，
50− x＜35
2
∴6＜x＜9．
又∵x，y均为正整数，
{ x=8 )
∴ ．
y=30
答：甲队实际做了8天，乙队实际做了30天．
【点评】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．（8分）（1）如图，长方形ABCD的周长为16，四个正方形的面积和为68，求矩形ABCD的面积．
（2）若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2项和x3项，求m，n的值．
【分析】（1）设长方形ABCD的长和宽，然后用未知数表示长方形ABCD的周长和四个正方形的面积
和，利用完全平方公式将等式进行变形，求出长乘以宽的值即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算方法计算出结果，按x 的降幂排列后，使x3项和x2项的系数为0，
即可求出m、n的值．
【解答】解：（1）设AB＝x，BC＝y，由题意得，
∵长方形ABCD的周长为16，
∴2（x+y）＝16，
即x+y＝8 ①，
又∵四个正方形的面积和为68，
∴2x2+2y2＝68，
即：x2+y2＝34 ②，
①的两边平方得（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，
将②代入得，2xy＝30，
∴xy＝15，
即矩形ABCD的面积为15；
（2）（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）
＝x4+（﹣3+n）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m，
∵不含x2和x3项
∴﹣3+n＝0，m﹣3n+3＝0，
解得，m＝6，n＝3，
答：m、n的值为6，3．
【点评】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，理解“不含某一项，就是使该项的系数为0”是解决
问题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB＝DA，BE⊥AD于点
E，点F为BE上一点，连接AF．
（1）试说明∠BAC+∠EBD＝90°；
（2）过C作CG⊥BD，与AD交于点G，若∠BAC＝∠DAF，则AF＝AG吗？请说明理由．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠DAB＝∠DBA，由直角三角形的性质可得
出结论；（2）证明△ABF≌△ACG（AAS），由全等三角形的性质可得出AF＝AG．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠BDE＝180°﹣2∠ABC，
∴∠BAC＝∠BDE，
∵BE⊥AD，
∴∠BDE+∠DBE＝90°，
∴∠BAC+∠EBD＝90°．
（2）AF＝AG．
理由如下：
∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠CAG，
∵∠BAC＝∠BDE，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠CGD＝90°﹣∠BDG，∠AFE＝90°﹣∠DAF，
∴∠AFE＝∠CGD，
∴∠AFB＝∠AGC，
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAG，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF＝AG．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等
三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于 E．
（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；
（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；
（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的
面积为 5 ．【分析】（1）由条件可证∠BAE＝∠CBF，证明△ABE≌△BCF，可得BE＝CF，AE＝BF，则结论可得
证；
（2）过点C作 CF⊥BD于点F，可得BF＝DF，由（1）得AE＝BF，则BD＝2AE可得证；
（3）过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，可证得四边形
BGCH为矩形，则BG＝HC，由（1）得AE＝BH，BE＝CH，证明△BMN≌△HCN，可得BM＝CH，
1
BN＝HN，由AE＝2，求出BN＝1，则BE＝BM＝5，可由S = ×BM×CG求出结果．
△BCM 2
【解答】（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
{∠AEB=∠BFC
)
∠BAE=∠CBF ，
AB=BC
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；
（2）证明：如图1，过点C作 CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，
∴BF＝DF，
由（1）得AE＝BF，
∴AE＝DF，
∴BD＝2AE；
（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，
∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，
∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，
∴四边形BGCH为矩形，
∴BG＝HC，BH＝GC，
由（1）得△AEB≌△BHC，
∴AE＝BH，BE＝CH，
∵BM＝BE，
∴BM＝CH，
∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，
∴△BMN≌△HCN（AAS），
∴BM＝CH，BN＝HN，
∵AE＝BH＝2，
∴BN＝1，
∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，
1 1
∴S = ×BM×CG= ×5×2=5．
△BCM 2 2
故答案为：5．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等
知识，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识解决问题．25．（12分）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接
AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝ ，求∠BDC的大小（用含 的式子表示）；
（3）用等式表示α线段PB，PC与PE之间的数α量关系，并证明．
【分析】（1）正确画图；
（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结
论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明
△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．
【解答】（1）如图所示，
（2）解：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD．
∵∠ACN＝ ，
∴∠ACD＝α2∠ACN＝2 ．
∵等边△ABC， α
∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°．
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2 ．
1 α
∴∠BDC＝∠DBC= （180°﹣∠BCD）＝60°﹣ ．
2
α
（3）结论：PB＝PC+2PE．
本题证法不唯一，如：
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2
∴∠CDA＝∠CAD＝90°α﹣ ．
∵∠BDC＝60°﹣ ， α
α∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°．
∴PD＝2PE．
∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，
{∠CFB=∠CPD
)
∠CBF=∠CDP
CB=CD
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三
角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
